【教学设计】《最小二乘估计》（北师大版）.docx

最小二乘估计 教材分析教材通过思考交流引入了最小二乘估计，进一步提出了线性回归方程。教材再探索用多种方法确定线性回归直线的过程中，向学生展示创造性思维的过程，帮助学生理解最小二乘法的思想，通过实例使学生了解利用线性回归方程解决实际问题的全过程，体会线性回归方程作出的预测结果的随机性，并且可能犯的错误。进一步的，教师可以利用计算机模拟和多媒体技术，直观形象地展示预测结果的随机性和规律性。 教学目标【知识与能力目标】了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。【过程与方法目标】经历用不同的估算方法来描述两个变量线性相关的过程，能根据得到的近似直线进行简单的估计。【情感态度价值观目标】体会现实生活中大量存在着具有相关关系的两个量，感受统计与日常生活的密切联系。 教学重难点【教学重点】求线性回归方程，以及线性回归分析。 【教学难点】确定线性回归方程的系数。 课前准备 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 教学过程一、导入部分高二某班学生每周用于数学学习的时间 x(单位:h)与数学成绩 y(单位:分)之间有如下数据:x24152319161120161713y92799789644783687159某同学每周用于数学学习的时间为18h， 试预测该生数学成绩。设计意图:从生活实际切入，激发了学生的学习兴趣，又为新知作好铺垫。2、 研探新知，建构概念1.电子白板投影出上面实例。2.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。（1)选择怎样的直线近似地表示用于数学学习的时间与数学成绩之间的关系？（2）最小二乘法如果有n个点(x1， y1)， (x2， y2)， ， (xn， yn)， 可以用下面的表达式来刻画这些点与直线 y=a+bx的接近程度:如果x用 x1+x2+xnn 表示，用y表示 y1+y2+ynn 则可以求得b=x1y1+x2y2+xnyn-nx yx12+x22+xn2-nx2 a， b是线性回归方程的系数。 线性回归方程必有解。设计意图:在自主探究，合作交流中构建新知，体验用最小二乘法的特点，从而突出重点。三、质疑答辩，发展思维 1.举例： 某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天的气温(x)之间是线性相关的。数据如下表:气温(xi)/oC261813104-1杯数(yi)/杯202434385064（1） 试用最小二乘法求出线性回归方程；（2）如果某天的气温是-3oC， 请预测这天可能会卖出热茶多少杯。解：（1）根据要求列出下表ixi yi xi2xi yi 126206765202182432443231334169442410381003805450162006-1641-64合计7023012861910计算得由系数公式得于是， 线性回归方程为:（2）根据（1）得到的线性回归方程当某天的气温是-5oC时， 卖出热茶的杯数估计为:57.557-1.648-5=65.79766注意：尽管我们利用线性回归方程所得到值仅是一个估计值， 具有随机性，但我们是根据统计规律得到的，因而所得结论正确的概率是最大的， 故我们可以放心大胆地利用线性回归方程进行预测。2.利用线性回归方程对总体进行估计的过程（1）求线性回归方程 y=a+bx:列表求x，y， x1 y1+ x2 y2+ xn yn的值； 由 b=x1y1+x2y2+xnyn-nx yx12+x22+xn2-nx2 ， 求系数a和b（2） 利用线性回归方程， 我们可以进行预测， 并对总体进行估计， 即在 x=x0处的估计值为y=a+bx03.例题例：下面是两个变量的一组数据:x1234567用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程解：根据要求列出下ixi yi xi2xi yi 111112244833992744161664552525125663636216774949343886464512合计362042041296计算得 ，由系数公式得于是，线性回归方程为:注意：在本题中，从所给的数据中我们不难看出，满足函数， 是一条曲线， 而我们利用最小二乘法进行估计时， 所求出的是一条直线， 因而估计也就失去了意义。利用最小二乘法估计时， 要先作出散点图。如果散点图呈现一定的规律性， 我们再根据这个规律性进行拟合，如果散点图呈现出线性关系，我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合。4.巩固练习（1）某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t之间的数据，将其整理后得到如图的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是()A.y=2tB.y=2t2 C.y=t3D.y=log2t【解析】选D 结合对数函数图像的特点以及散点图中样本点的分布规律可判断（3） 2013年秋季，我国部分地区发生甲型流感，党和政府采取果断措施，使疫情得到控制。下表是某体检站记录的9月1日9月12日体检中发烧人数，并给出散点图如图日期9.19.29.39.49.59.6人数100109115118121131日期9.79.89.99.109.119.12人数141152158175186203 下列说法:根据此散点图，可以判断日期与发烧人数具有线性相关关系；根据此散点图，可以判断日期与发烧人数具有一次函数关系。其中正确的是_【解析】由散点图可以发现样本点大致分布在一条直线附近，所以可以判断日期与发烧人数具有线性相关关系。答案:（3）在10年期间， 一城市居民的年收入与某种商品的销售额之间的关系有如下数据:第n年12345678910城市居民年收入x(亿元)32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0某商品销售额y(万元)25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0（1）画出散点图；（2）如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近， 求y与x之间的线性回归方程；（3）估计该城市居民收入在40万元时， 某商品的销售额大概是多少？解：(1) 散点图如下:由（1）知城市居民的年收入与该商品的销售额之间存在着显著的线性相关关系，列表:i12345678910xi 32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0yi 25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0xiyi 8059331118.61324.61446.91558163818922140.82346通过计算得 因此所求的线性回归方程是（3）当x=40亿元时， y=42.037万元四、课堂小结：1.求线性回归方程的步骤：列表求x，y，x1 y1+ x2 y2+ xn yn的值； 由b=x1y1+x2y2+xnyn-nx yx12+x22+