隐函数的求导公式ppt课件.ppt

隐函数在实际问题中是常见的 平面曲线方程 空间曲面方程 空间曲线方程 下面讨论如何由隐函数方程 如 求偏导数 1 一个方程的情形 方程组的情形 小结思考题作业 implicitfunction 8 5隐函数的求导公式 第8章多元函数微分法及其应用 2 一 一个方程的情形 在一元函数微分学中 现在利用复合函数的链导法则给出隐函数 的求导法 并指出 曾介绍过隐函数 1 的求导公式 隐函数存在的一个充分条件 1 由二元方程F x y 0确定一元隐函数 y f x 3 隐函数存在定理1 设二元函数F x y 在点 P x0 y0 的某一邻域内满足 并有 1 具有连续偏导数 它满足条件y0 f x0 则方程F x y 0在点P x0 y0 的某一邻域内恒 隐函数的求导公式 2 3 能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 证明从略 仅推导公式 将恒等式 两边关于x求导 由链导法则 得 y f x 4 或简写 于是得 所以存在 x0 y0 的一个邻域 在这个邻域内 5 证 记 1 的邻域内连续 所以方程在点 0 0 附近确定一个有连续导数 且 的隐函数y f x 则 2 3 例 证明方程 一个隐函数y f x 在 0 0 点附近确定 隐函数存在定理1 6 先变形方程 方程两边对x求导 例 法一 推导法 解 即一元隐函数求导法 7 解 令 则 例 法二 公式法 8 则方程F x y z 0在点 x0 y0 z0 的某一邻域内 恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 并有 若三元函数F x y z 满足 它满足条件 在点P x0 y0 z0 的某一邻域内具有连续 2 由三元方程F x y z 0确定二元隐函数 隐函数存在定理2 1 2 3 z f x y z f x y 偏导数 9 证明从略 仅推导公式 将恒等式 两边分别关于x和y求导 应用复合函数求导法得 设z f x y 是方程F x y z 0所确定的 隐函数 则 所以存在 点 x0 y0 z0 的一个邻域 在这个邻域内 因为 连续 于是得 10 例 解 则 令 法一 公式法 x y z的三个自变量的函数 在求Fx Fy Fz时 将F x y z 看作是 11 方程确定了一个二元函数z f x y 方程两边对x求导 y看作常数 方程两边对y求导 x看作常数 法二 推导法 例 解 12 将隐函数方程两边取全微分 法三 全微分法 例 13 将 再一次对y求偏导数 得 对复合函数求高阶偏导数时 需注意 导函数仍是复合函数 故对导函数再求偏导数时 仍需用复合函数求导的方法 14 解 法一 用公式 练习 15 法二 用全微分 得 16 例设有隐函数 其中F的偏导数连续 求 解 令 法一 由公式 17 将隐函数方程两边取全微分 即 故 从而 此法步骤清楚 法二 利用全微分 得 18 将方程两边求导 推导法 对x求偏导 u v 即 自己练习 法三 19 二 方程组的情形 隐函数组 下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的 确定两个二元函数u u x y v v x y 求 故由方程组 求导方法 20 则方程组F x y u v 0 G x y u v 0在点 x0 y0 v0 v x0 y0 的单值连续函数u u x y v v x y 且有偏导数公式 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件u0 u x0 y0 隐函数存在定理3 若函数F x y u v G x y u v 满足 在点P x0 y0 u0 v0 的某一邻域内具有对各个 1 变量的连续偏导数 2 3 21 证明从略 仅推导公式 22 将恒等式 两边关于x求偏导 解这个以 为未知量的线性方程组 由链导法则得 求 23 解得 当系数行列式不为零时 即 雅可比行列式 Jacobi C G j 德 1804 1851 24 同理 两边关于y求偏导 得 求 25 特 如果方程组 它可能确定两个 现假定它确定 且两个函数 则求 的方法同前面求 的方法相同 为 都可微 别 一元函数 26 例 解 分析 直接代入公式 法一 令 27 28 29 方程组两边对 x求导 得 运用公式推导的方法 注意 例 解 克莱姆法则 30 例 设方程组 确定函数 解 运用公式推导的方法 原方程组两边分别对 x求偏导数 u与v都视为x y的二元函数 31 解方程组得 移项得 32 原方程组两边分别对 解方程组得 自己练 y求偏导数 33 反函数组存在定理 列式 或 设函数组x x u v y y u v 在点 u v 的某邻域内具有连续偏导数 邻域内 能确定连续且具有连续偏导数的反函数组 则函数组 相对应的点 x y 的邻域内 并有 其Jacobi行 在与点 u v 也称为在点 x y u v 的 34 证 令 有 已知 所以由隐函数存在定理3知 方程组 能确定函数 和 所以存在反函数组 35 两边分别对x和对y求偏导数 得 再在方程 所以有 36 例 解 法一 对x求偏导 这是含有四个变量两个方程的方程组 它可以 确定两个二元的隐函数 如果把 作因变量 x y 作自变量 那么隐函数 也就是函数组的 反函数 37 对y求偏导 同理 自己练 38 法二 用全微分形式不变性 所以 39 所以 40 以下三种情况 隐函数的求导法则 三 小结 41 思考题 分析 方程组中含有五个变量 由题意看出 u v是因变量 x z是自变量 y究竟是因变量 自变量 在这种所求偏导是一阶 而又有一变量 的属性不太明确的情况下 来处理比较简便 用全微分形式不变性 还是 42 解答 的两边求全微分 得 43 作业 习题8 5 340页 2 3 4 4 7 1 10 11 13 17 19 22 24 4 25 44 隐函数求导原则 n个方程 m个变量的方程组 可确定n个 m n元 函数 一般的 由题目情况 其余m n个变量作自变量 选定n个变量作函数变量 方程组对某一个自变量求导时 其余自变量 求导后 从含有偏导数的方程组中 求出所求偏导数 看作常数 一个方程推广到多个方程 45 1个方程2个变量 确定了1个 1元函数 1个方程3个变量 确定了1个 2元函数 46 如果方程组为 则可求 方程组两边关于x求导 方程组的情形 隐函数组 2个方程3个变量 确定了2个 1元函数 47 如果方程组为 可则求 方程组两边关于x求偏导 y看成常数 方程组两边关于y求偏导 x看成常数 则可求 2个方程4个变量 确定了2个 2元函数 48 49 A 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z z x y 设有三元方程 根据隐函数 存在定理 考研数学 一 选择题4分 在此邻域内该方程 存在点 0 1 1 的一个邻域 B 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y y x z 和z z x y C 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x y z 和z z x y D 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x y z 和y y x z 令 隐函数存在定理2 49 50 其中F为可微函数 解 考研数学 一 选择 4分 练习 将隐函数方程两边取全微分 得 即 故 利用全微分 50 51 解 令 则 练习 整理得 1 2 把z看成x y的函数对x求偏导数 得 把x看成y z的函数对y求偏导数 得 整理得 51 52 整理得 3 把y看成x z的函数对z求偏导数 得 52 53 考研数学 四 7分 有连续偏导数 且 解 法一 则 用公式 故 而 所以 练习 多元复合函数的链导法则 53 54 有连续偏导数 法二 用全微分 两边微分 得 故 故 考研数学 四 7分 54 55 研究生考题