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圆幂定理 1 我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 O P A B 切线长定理 切线与切线长的区别与联系 1 切线是一条与圆相切的直线 2 切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长 2 PA PB分别切 O于A B PA PB 1 2 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 切线长定理 几何语言 1 2 3 相交弦定理圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 PA PB PC PD 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 PT2 PA PB 4 如图 CD是弦 AB是直径 CD AB 垂足为P 求证 PC2 PA PB 相交弦定理推论如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 PC2 PA PB 5 如图 PAB和PCD是 O的两条割线 求证 PA PB PC PD 切割线定理推论 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 PA PB PC PD 6 如图 在 O中 P是弦AB上一点 OP PC PC交 O于C 求证 PC2 PA PB 练习 7 如图 两个以O为圆心的同心圆 AB切大圆于B AC切小圆于C 交大圆于D E AB 12 AO 15 AD 8 求两圆的半径 练习 8 如图 C为AB的中点 BCDE是以BC为一边的正方形 以B为圆心 BD为半径的圆与AB及其延长线相交于H K 求证 AH AK 2AC2 如图 O和 O 都经过点A B PQ切 O于P 交 O 于Q M 交AB的延长线于N 求证 PN2 NM NQ 练习 9 学会用半径加减或加减半径 如图 已知PAB是 O的割线 PO 14cm PA 4cm AB 16cm 求 O的半径 10 运动观点看本质 切线长定理相交弦定理相交弦定理推论切割线定理割线定理 本质一样圆幂定理 11 P A B C D 相交弦定理割线定理切割线定理切线长定理 PA PB PC PDPA PB PC PDPA PC PDPA PC 几个定理得统一 统一叙述为 过一点P 无论点P在圆内 还是在圆外 的两条直线 与圆相交或相切 把切点看成两个重合的 交点 于点A B C D PA PB PC PD 12 1 经过 O内或外一点P作两条直线交 O于A B C D四点 得到了如图所示的六种不同情况 在六种情况下 PA PB PC PD四条线段在数量上满足的关系式可用同一个式子表示 请先写出这个式子 然后只就图 给予证明 13 圆幂定理 过一个定点P的任何一条直线与圆相交 则这点到直线与圆的交点的两条线段的乘积为定值 d 等于点P到圆心的距离与半径的平方差的绝对值 14 已知 P是 O的直径CB的延长线上的一点 PA和 O相切于A 若PA 15 PB 5 1 求tan ABC的值 2 弦AD使 BAD P 求AD的长 圆幂定理求AE ED的值即等于r2 OE2 E 连接CD正相似 可得AE与ED的比 15 如图已知 点C是 O外一点 过C作 O的切线CB和CD 切点分别为B D 连BO并延长交 O于点E 交CD的延长线于A 若AD m AE 且 求m的值 3 连接OD 16 如图 PA切 O于A 割线PBC交 O于B C两点 D为PC的中点 且AD延长线交 O于E 又求证 1 PA PD 17 证明 1 连结AB PA切 O于A PAB AEB PA PD 2 由切割线定理 由相交弦定理 BD DC AD DE 又PA PD PC 2PD 18 已知