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非线性电路混沌实验 1 二 混沌的发现 四 倍周期分叉 阵发混沌和奇怪吸引子 三 混沌运动的主要特征 五 实验原理 仪器介绍 内容和现象 六 混沌和现代科学 一 引言 2 引言 非线性特性是自然界的基本特性和本质存在 在各种非线性的现象中 最具代表性的就是混沌现象 混沌学揭示的随机性存在于确定性之中的这一科学事实 最有力的说明客观实体可以兼有确定性和随机性 3 混沌现象的发现 公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家 物理学家 庞加莱 他是在研究天体力学 特别是在研究三体问题时发现混沌的 他发现三体引力相互作用能产生惊人的复杂行为 确定性动力学方程的某些解有不可预见性 他在 科学的价值 一书中写道 初始条件的微小差别在最后的现象中产生了极大的差别 前者的微小误差促成了后者的巨大误差 于是预言变的不可能了 这些描述实际上已经蕴涵了 确定性系统具有内在的随机性 这一混沌现象的重要特征 4 1 蝴蝶效应 5 内容 1979年12月 洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出 一只蝴蝶在巴西扇动翅膀 有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风 他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象 从此以后 所谓 蝴蝶效应 之说就不胫而走 名声远扬了 蝴蝶效应 之所以令人着迷 令人激动 发人深省 不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩 更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力 从科学的角度来看 蝴蝶效应 反映了混沌运动的一个重要特征 系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性 6 5 混沌学的意义 混沌的发现和混沌学的建立 同相对论和量子论一样 是对牛顿确定性经典理论的重大突破 为人类观察物质世界打开了一个新的窗口 所以 许多科学家认为 20世纪物理学永放光芒的三件事是 相对论 量子论和混沌学的创立 7 身边的混沌现象 1 当您的妈妈对这您大叫 你的房间简直一片混沌 混乱 她的话可能正确 但是她一定不会知道 混沌里蕴含着秩序 那些乱七八糟的书籍 五颜六色的果皮糖纸 臭气熏天的袜子里都隐藏着一种秩序 只是等待您的发现 2 美国有句言语 一根稻草能压死一头骆驼 这是蝴蝶效应的最好体现 小的事情往往能产生让人难以预料的结果 但是 永远是这样的吗 不是 如果放在骆驼脊背的那根稻草是第一根稻草 不但不会压死骆驼的脊背 可能还会为骆驼送上一份美餐 同样的道理 并不是只要北京蝴蝶拍动一下翅膀 就真的能够引起纽约的一场风暴 8 混沌运动的主要特征 初值敏感性长期行为的不可预见性 例 洛仑兹的天气模型 下一页 9 看两条轨道是如何分道扬镳的 初值分别为0 506 0 506127 10 倍周期分岔 解释倍周期分岔现象 我们从混沌描述中最重要的的一维非线性迭代方程式入手 这类方程中最有典型意义的是虫口方程 式中的是与虫口增长率有关的控制参数 同时它的大小也反映了系统非线性的强弱 当时 不管初值是多少 经过足够长的迭代 结果都会达到同一个确定值 这个值就叫做周期一或不动点 我们可以把这一结果想象成每年的虫口都一样 下一页 11 继续增大参数 当 3 周期一点不再稳定 初值稍有变化 迭代的结果就再也不会回到周期一点1 1 而出现了周期二 例如 当 时 0 7是周期一点 现用0 669去迭代 就会出现周期二 迭代情况如下 0 669 0 738 0 644 0 764 0 601 0 799 0 545 0 829 0 472 0 830 0 469 0 830 0 470 0 830 0 470 下一页 12 现在 让参数 再增大 当 3 449时 周期二解也变的不稳定了 取而代之的是稳定的周期四解 当参数继续增大 使得 3 544时 周期四解又变的不稳定了 取而代之的是稳定的周期八解 一直迭代下去 还会出现周期十六 周期三十二等等 这就是著名的倍周期分岔现象 值得注意的是 周期倍增过程没有限制 可以一直这样分下去 但对应的 值却有一个极限 到达 时 迭代的稳定解是2 周期解 周期无穷大 也就是没有周期 所以这时得到的是非周期解 迭代的数据到处乱跑 无法把握 系统进入混沌状态 倍周期分岔产生的混沌 在心脏生理学方面有潜在的应用价值 心律不齐 心肌梗塞这些医学难题 有可能找到正确的答案 下一页 13 倍周期分岔图 14 混沌的科学定义混沌是指确定的宏观的非线性系统在一定条件下所呈现的不确定的或不可预测的随机现象 是确定性与不确定性或规则性与非规则性或有序性与无序性融为一体的现象 其不确定性或无序随机性不是来源于外部干扰 而是来源于内部的非线性项 非线性系统在一定的临界条件下才表现出混沌现象 才导致其对初值的敏感性 产生内在的不稳定性 15 本实验用一个非线性电路通过微调可变电阻 来观察研究电路中的混沌现象 实验表明一个非常简单的确定系统 由于自身的非线性作用 会产生随机性 若使确定系统的初始条件发生微小改变 整个系统的结果将会导致巨变 16 R有源非线性负阻元件 G电导 C1和C2电容 G R C1 C2 L 各区域的作用 黄色区 产生振荡 蓝色区 移相 粉色区 有源非线性元件 实验原理 17 上图是一个非线性负阻的电压电流特性曲线 它的实现方法有许多种 本实验使用的是Kennedy于1993年提出的方法 它采用了两个运算放大器和六个配置电阻来实现的 由于我们主要研究的是元件的外部效应 即电路两端的电压和流过其电流的关系 因此我们可以把上述元件看成是一个黑匣子即 有源非线性负阻 有源非线性元件的电压 电流特性 下一页 18 电路方程组 这三个方程一般没有解析解 但可以在简化后利用计算机求解 19 实验仪器介绍 有源非线性电阻 LC组成的振荡电路 20 实验内容 1 连接电路 并将示波器打到合成档 2 通过调节电位器W1 粗调 和W2 细调 在示波器上观察一倍周期李萨茹图 并记录之 并分别观看1 2通道波形图并记录之 4 逐步减小 出现四倍周期 8倍周期 16倍周期与阵发混沌交替现象 记录4倍周期与阵发混沌相应图形 3 逐步减小 李萨茹图开始出现分叉 即由1倍周期变为2倍周期 记录之 并分别记录1 2通道波形图 21 实验内容 5 再减小 出现三倍周期 图像十分清楚稳定 并记录相应图形 根据Yorke的著名论断 周期3意味着混沌 这说明电路即将出现混沌 6 继续减小 则出现单个吸引子 并记录相应图形 7 再减小 出现双吸引子 记录之 22 实验现象的观察一 一倍周期 二倍周期 23 实验现象的观察二 四倍周期 24 实验现象的观察二 阵发混沌 25 实验现象的观察三 三倍周期 奇异吸引子 26 实验现象的观察四 双吸引子 27 混沌和现代科学 今日科学认为混沌无处不在 过去的科学研究忽视了大自然的不规则的 不连续的 稀奇古怪的一面 把它们认为是偶然的现象 而弃置一旁 当人们在实验中看到了古怪变化的数字 或者是不要这些数字 或是说这是干扰 噪声 甚至认为是实验的失败 长久以来 人们已无数次地见到了混沌 但是视而不见 现代混沌学家们在广泛的科学领域内寻找混沌 抓住那些无法解释的 噪声 捉住那些出人意外的 涨落 专门注意那些 规则与不规则的混合 从这类紊乱复杂的现象中去发现规律 28 混沌在现代科技领域的应用举例 在通信领域的使用 混沌在其他学科的应用 在气象学中的应用 在生物学中的应用 在经济学中的应用 29 在通信领域的使用通信在我们的生活中的作用越来越重要 尤其是电子商务的兴起 对保密通信提出了更高的要求 利用混沌进行保密通信是现在十分热门的研究课题 混沌信号最本质的特征是对初始条件极为敏感 并导致了混沌信号的类随机特性 用它作为载波调制出来的信号当然也具有类随机特性 因而 调制混沌信号即使被敌方截获 也很难被破译 这就为混沌应用于保密通信提供了有利条件 因此利用混沌进行保密通信是目前十分热门的研究课题 混沌信号最本质的特征是对初始条件极为敏感 并由此信号又具有整体稳定性 当我们用同一个混沌信号去驱动两个相同的系统时 两个系统的某些部分将产生同步化的行为 这就为混沌应用于保密通信提供了可行性 30 早在1904年 挪威气象学家Bjerknes就提出天气预报问题应提成大气运动方程组的初值问题 在近年的气象研究中 利用混沌进行中期预报的研究 由于气候系统是非线性系统 其初值问题的数值解是不确定的 研究气候状态的特征就要研究混沌态的特征 研究气候系统的演变机制就要研究混沌态的变化 在这些研究中使用的数学工具主要是分形理论 如分数维 李亚普诺夫指数 标度指数和功率谱指数等 利用这些数学方法分别考察 分析气候状态特征量随控制变量的变化 在气象学中的应用 下一页 31 在数学上把天气 气候 预报问题提成初值问题 即用动力学的方法进行预报 从认识论上讲就是把大气看成是确定论的系统 这在较短的时间尺度内是行得通的 而在时间较长的时候却是有问题的 主要是大气运动是非线性 强迫和耗散的 由这三大特点 可以得到一幅这样的图像 误差是随着时间呈指数增加的 初始场的作用随着时间是衰减的 必须考虑能量的补充和耗散 Lorenz发现了 蝴蝶效应 指的就是初始场微小的不确定性的指数放大 这就提出了确定论预报的可预报性问题 中期数值天气预报逐日预报的可预报时限大约是两三周左右的时间 也就是说进行长期预报是不可能的 32 在生物学中的应用 混沌在生物学研究中的应用主要集中在生态学中的种群变化 医学诊断疾病等方面 这也许是最后的生命图景 从还原 综合还原高度整合 生命不仅是空间结构的范畴 更是时间的范畴 千千万万种物质的时空组合和演变 构成复杂而完美的动态生命体 将生命与非生命区分开来 如何解决生命的本质 很多科学家认为应从多角度入手 不仅仅是生物学的问题 而是一项系统工程 即未来的生命科学 必需包含有数学成分 研究人体这一复杂系统 混沌学 甚至弦论都不可少 只有将这些能研究复杂体系的数理方法融入医学生物学才能带来真正意义上的生命科学的突破 因为生命的最基本本质是具有时空性 混沌性 下一页 33 生命的整体性 包括 1 时间上整体 即生命活动的高度有序性 2 空间上整体 即生命结构和物质相互作用 相互影响形成网络状整体 如形态上 人体结构和功能混沌调节机制 如免疫网络调控 心脏 肺 肠的分形结构学原理 心电的混沌产生与心脏普肯野氏纤维分形分布联系等等 在物质信号相互作用的动力学研究上 其相互作用不仅仅是激活 失活或抑制 促进这一简单的关系 而应包括复杂的数学过程 这种复杂的数学过程应是非线性的 很可能符合混沌原理 这一现象至今尚未有人意识到这一点 但将来肯定会的 当然 想彻底了解生命意义 这条路还很长很长 34 在经济学中的应用 像自然界的所有领域一样 在经济领域同样存在着混沌现象 南美洲热带雨林中的彩蝶轻展双翅 北美大草原竟掀起了一场风暴 这是极言世界复杂性的蝴蝶效应 对此 美国赛纳尔公司 Cerner 纽约证交所代码CERN 首席执行官尼尔 帕特森对此有刻骨铭心的认识 就因为他向公司400名中层经理发出的一份电子邮件竟让公司市值在短短三天时间内猛烈下跌了两成 逾3亿美元蒸发殆尽 类似的事情在经济学领域中数不胜数 由此应运而生了经济混沌和经济波动的非线性动力学理论 下一页 35 虽然混沌现象的理论和实验研究在物理学 化学 生物学 天体物理 气象学以及神经生理学等广泛领域获得重要进展 但在经济学中遇到严重困难 济活动是人的行为 动力学系统的时间尺度和观察者相近 所以经济主体和经济结构随时间的演变难以忽略 时间序列的非稳态性质使目前常用的稳态