2017届高考数学(文)一轮复习讲练测：专题5.2平面向量基本定理及坐标表示(讲).doc

2017年高考数学讲练测【新课标版】【讲】第五章 平面向量第二节 平面向量基本定理及坐标表示【课前小测摸底细】1.【课本典型习题】在ABC中，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若，则等于()A(2,7)B(6,21)C(2，7) D(6，21)【答案】【解析】 (),选2. 【2015高考新课标1，文2】已知点，向量，则向量( )A. B. C. D.【答案】A【解析】=（3,1），=(-7,-4)，故选A. 3. 【2016年高考四川文数】在平面内，定点A，B，C，D满足 =,=-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又，它表示圆上点与点距离平方的，故选B4. 【改编自北京高考】向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_【答案】5. 【2016高考新课标2文数】已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且ab，则m=_. 【答案】【解析】因为ab，所以，解得【考点深度剖析】平面向量基本定理及坐标表示，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现【经典例题精析】考点1 平面向量基本定理及其应用【1-1】 如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设，若2，则_(用向量和表示)【答案】【课本回眸】平面向量基本定理如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【方法规律技巧】1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算2.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的【新题变式探究】【变式一】如图，已知，用，表示，则等于()A. B. C. D.【答案】C【解析】 ()，选C.【综合点评】在几何图形中应用平面向量基本定理，往往要借助于几何图形的特征，灵活应用三角形法则、平行四边形法则.考点2 平面向量的坐标运算【2-1】【百强校】2016届海南省海南中学高三考前模拟十二】已知向量，则（ ）A B C D【答案】D【2-2】【百强校】2016届广西柳州市高三下4月模拟】已知向量，且，则等于（ ）A1 B3 C4 D5【答案】D【解析】因,故,所以,故,故应选D.【课本回眸】1. 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标(2)若，则3平面向量的坐标运算(1)若，则；(2)若，则(3)设，则，.【方法规律技巧】注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息【新题变式探究】【变式一】【北京卷】已知向量，则（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以=，故选A.【变式二】【百强校】2016届河北省衡水中学高三下学期一模】已知平面直角坐标系内的两个向量，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成（为实数），则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【综合点评】涉及平面向量坐标运算的题目，还常常与平面解析几何曲线方程有关.灵活应用曲线的方程，联立方程组，利用函数方程思想予以解答.考点3 平面向量共线的坐标表示【3-1】【百强校】2016届宁夏六盘山高中高三第二次模拟】向量且，则（ ）A B C D【答案】A【3-2】设向量=，=，则“”是“/”的( ).A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，此时；当时，解得.所以“”是“”的充分而不必要条件.【课本回眸】向量共线的充要条件的坐标表示若，则.【方法规律技巧】1.向量共线的充要条件有两种：（1）.（2）若，则.当涉及到向量或点的坐标问题时，应用（2）解题较为方便.2.两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等.【新题变式探究】【变式一】【百强校】2015-2016学年河北省武邑中学】已知向量，且，则（ ）A B C D【答案】A【解析】由，可知，解得，故选A.【变式二】【2016届山东省德州市高三上学期期末】已知向量=（2，2），=（cos，sin），则向量的模的最小值是（ ）A3 B3 C D2【答案】C【综合点评】涉及平面向量坐标运算的题目，还常常与向量的共线、垂直有关，向量的坐标常常与三角函数有关.关键是根据向量共线的充要条件，建立方程（组）解题.考点4 平面向量共线的应用【4-1】【百强校】2016届福建省上杭县一中高三12月考】设，为坐标原点，若、三点共线，则的最小值是（ ）A2 B4 C6 D8【答案】D【解析】，若、三点共线，由向量共线定理得，故【4-2】如图，在中, ,是上的一点,若,则实数的值为( ) A B C D【答案】C【课本回眸】向量共线的充要条件有两种：（1）.（2）若，则.【方法规律技巧】当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件（2）解题较为方便.【新题变式探究】【变式一】【百强校】2016届天津市和平区高三第四次模拟】设两个向量，其中若，则的最小值为_【答案】【变式二】如图所示，在ABCD中，已知，AC与BE相交于点F，则_.【答案】【解析】设a，b.则.而，所以故.与共线，且a与b不共线，.【综合点评】平面向量共线的应用，主要有两种情况，一是已知向量的坐标和两向量共线求参数值（或范围），利用向量共线的充要条件，建立方程（组）或建立函数式，应用函数方程思想求解；二是涉及几何图形的问题，从不同角度，利用三点共线，确定共线向量，建立方程（组）求解.【易错试题常警惕】易错典例：如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量 易错分析：不能结合图形特征，灵活建立直角坐标系，将向量用坐标表示，将问题转化成三角问题求解正确解析：以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为，则 设 .又向量所以，由题意得当时，同时，时，取最小值为.温馨提醒：涉及几何图形问题，要注意分析图形特征，利用已有的垂直关系，建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，利用向量共线的充要条件，应用函数方程思想解题.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:数形结合百般好，隔裂分家万事休。数与形反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过以形助数或以数解形即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标