大学文科数学知识点与试题及解答.pdf

一 一 本题本题 10 分分 袋中装有袋中装有 10 个号码球 分别标有个号码球 分别标有 1 10 号 现从袋中任取号 现从袋中任取 3 个球 个球 记录下其号码 求 记录下其号码 求 1 最小号码为 最小号码为 5 的概率 的概率 2 中间号码为 中间号码为 5 号的概率号的概率 解解A 最小号码为最小号码为5 2 5 3 10 1 12 C P A C B 中间号码为中间号码为5 11 45 3 10 1 6 C C P B C 南开大学2008级大学文科数学统考试卷 A卷 2010年1月17日 二 二 本题本题 10 分分 由现在的天气状况分析 政府有由现在的天气状况分析 政府有 90 的概率进行人工降雨 的概率进行人工降雨 10 的概率不进行人工降雨 的概率不进行人工降雨 若进行人工降雨后下雨的概率为若进行人工降雨后下雨的概率为 0 8 不进行人工降 雨而下雨的概率为 不进行人工降 雨而下雨的概率为 0 15 试求试求 1 下雨的概率 下雨的概率 2 在已知没有下雨的条件下 求没有进行人工降雨的概率 在已知没有下雨的条件下 求没有进行人工降雨的概率 则事件则事件A 构成一个完备事件组 构成一个完备事件组 解 设事件设事件A表示表示 人工降雨人工降雨 表示 表示 不进行人工降雨不进行人工降雨 事件 事件B表示表示 下雨下雨 BBABA A A P A P B AP A P B A 0 9 0 8 0 1 0 15 P BP BABA 0 735 二 二 本题本题 10 分分 由现在的天气状况分析 政府有由现在的天气状况分析 政府有 90 的概率进行人工降雨 的概率进行人工降雨 10 的概率不进行人工降雨 的概率不进行人工降雨 若进行人工降雨后下雨的概率为若进行人工降雨后下雨的概率为 0 8 不进行人工降 雨而下雨的概率为 不进行人工降 雨而下雨的概率为 0 15 试求试求 1 下雨的概率 下雨的概率 2 在已知没有下雨的条件下 求没有进行人工降雨的概率 在已知没有下雨的条件下 求没有进行人工降雨的概率 解 P AB P A B P B 0 321 P A P B A P B 0 1 10 15 0 085 10 7350 265 1 1 P AP B A P B 三 三 本题本题 8 分分 若随机事件若随机事件 A B C 为相互独立事件为相互独立事件 且且 0 2P A 0 4P B 0 5P C 求事件求事件 A B C 中至少有一个发生的概率中至少有一个发生的概率 1 1 P ABCP ABCP ABC 解 1 10 2 10 4 10 5 0 76 1 P A P B P C 四 设四 设 A B 为两个随机事件 已知为两个随机事件 已知 1 3 P AP B 且 且 P B AP B A 求 求 P B A P BP BABA 解 P A P B AP A P B A 设 P B AP B Aa P A aP A a P AP A aa 1 3 aP B 1 P B AP B A 12 1 33 南开大学2009级大学文科数学统考试卷 A卷 2010年1月17日 一 填空题 每小题一 填空题 每小题 4 分 共分 共 40 分 分 1 设矩阵 设矩阵 32 54 A 34 25 B 110 14 C 则 则 ABC 2 设 设A为为3阶 方 阵 若阶 方 阵 若det 4A 则 则 det 2 A 3 设矩阵 设矩阵 101 210 323 A 则 则 r A 2 32 48 1 84 3 3 2 1 5cos 1 4 lim 2 x xx x 4 2 5 函 数 函 数 3 1yxx 在 点 在 点 1 1 处 的 切 线 方 程 为 处 的 切 线 方 程 为 6 设 设 sin ln 5 x y 则 则 dy dx 4 25 21yx sin ln 1 6 5ln5cos ln x x x 7 若函数 若函数 1 fx x x 0 则则 f x 8 若 若 1 4 0 2 2xkx dx 其中其中 k 为常数为常数 则 则 k 9 设 设 f x 为连续函数为连续函数 结论结论 d f x dxf x dx 是否正 确 为什么 是否正 确 为什么 7 2xC 16 8 5 9 正确 根据微积分学基本定理 连续函数一定存在原函数 正确 根据微积分学基本定理 连续函数一定存在原函数 10 原函数原函数 与与 不定积分不定积分 这两个概念的区别是 这两个概念的区别是 联系是 联系是 10 原函数是一个函数 不定积分是一族函数 它们的导数相等 而且原函数的全体就是不定积分 原函数是一个函数 不定积分是一族函数 它们的导数相等 而且原函数的全体就是不定积分 二 计算下列各题 每小题二 计算下列各题 每小题 6 分 共分 共 42 分 分 1 已 知 已 知 311 012 112 A 21 10 31 B 满 足 满 足 2AXBX 求矩阵 求矩阵 X 解 解 若2若2E A 可逆 可逆 1 2 XEAB 则则 2AX BX 变形 得变形 得 2 EA XB 11121 01210 11031 X 1 11021 01110 10131 X 1 11021 01110 10131 X 2 31 31 321 2 31 32 310 1 32 31 331 21 10 10 解法二解法二 二 计算下列各题 每小题二 计算下列各题 每小题 6 分 共分 共 42 分 分 1 已 知 已 知 311 012 112 A 21 10 31 B 满 足 满 足 2AXBX 求矩阵 求矩阵 X 2AX BX 变形 得变形 得 2 EA XB 2 EA B 11121 01210 11031 31 r r 11121 01210 021 10 12 32 2 r r rr 10111 01210 00330 12 32 2 r r rr 10111 01210 00330 3 3r 10111 01210 00110 13 23 2 r r rr 10021 01010 00110 13 23 2 r r rr 10021 01010 00110 21 10 10 X 2 解齐次线性方程组 解齐次线性方程组 1234 1234 1234 0 0 0 xxxx xxxx xxxx 解解对系数矩阵对系数矩阵A施以初等行变换 矩阵 化为行最简形施以初等行变换 矩阵 化为行最简形 1111 1111 1111 A 21 31 rr rr 1111 0220 0202 1111 0110 0101 2 3 2 2 r r 1001 0110 0011 12 32 rr rr 即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组 14 24 34 0 0 0 xx xx xx 1001 0101 0011 12 2rr 即即 14 244 24 xx xxx xx 可取任意 可取任意值值 取取 4 xc 得原方程组的全部解得原方程组的全部解 c为任意实数为任意实数 1 xc 2 xc 3 xc 4 xc 2 3 1 23 3 lim x xx xx 原式原式 2 1 22 lim 31 x x x 4 2 2 解 解 1 3 1 lim 1 1 x xx x xx 1 3 lim 1 x x x x 2 解法二 解法二 原式原式 2 2 4 lim 1 x x x 解解 2 1 lim 1 2 x xx 4 2 1 lim1 2 x xx 4 e 原式原式 4 2 1 lim 1 2 x xx 2 2 4 lim 1 x x x 令 则 2 2 0 1 lim u u u 解法二 解法二 2 u x 2 x u 原式原式 1 44 0 1 lim u u ue 解法三 解法三 2 2 ln 1 2 2 1 x x x e x 取对数得 取对数得 2 lim2 ln 1 x x x 2 2ln 1 lim 1x x x 4 2 lim 2 ln 1 x x x e 原式 原式 0 0 4 e 2 2 4 lim 1 x x x 2 2 lim 1x x x 4 2 tan1 5 lim sin4 x x x 解解 4 2 tan1 lim sin4 x x x 4 2 2tansec lim 4cos4 x xx x 2 2tansec 44 4cos 1 3 6 lnxxdx 解解 ln xu 4 4 3 dv x ddxx xdxx ln 3 dxxxx 34 4 1 ln 4 1 16 1 ln 4 1 44 Cxxx 被积函数是两类不同性质函数的乘积 按 反 对 幂 指 三 顺序选择 被积函数是两类不同性质函数的乘积 按 反 对 幂 指 三 顺序选择u和和v 22 0 7 a x ax dx 解解 令令 sin xat 则dcos d xat t 0 0 tx时当 2 tax时 原式 原式 3 a 2 32 0 cosdcosatt 3 3 cos 3 a t 0 2 3 3 a 2 0 2 sin cosdtt t 且且 三 综合题 本题三 综合题 本题 10 分 分 设函数设函数 2 1 2 0 0 2 20 62 xxx f xx x 1 当 当0 x 时 时 f x的极限是否存在 为什么 的极限是否存在 为什么 2 yf x 在在0 x 处是否连续 为什么 处是否连续 为什么 3 yf x 在在0 x 处是否可导 为什么 处是否可导 为什么 4 yf x 在 在 2 2 上是否存在极大值或极小值 若存 在 请给出 上是否存在极大值或极小值 若存 在 请给出 5 yf x 在在 2 2 上是否存在最大值或最小值 若存在 请给出 上是否存在最大值或最小值 若存在 请给出 解解 1 因为因为 lim 0 xf x 2 0 lim 1 x xx 1 lim 0 xf x 1 显然显然 0 0 ff 所以所以 lim 0 xf x 存在存在 0 f xx 在不连续在不连续 2 0 lim 1 x f x 0 2f 0 lim 0 x f xf 0 f xx 故在点处不连续故在点处不连续 lim 0 xf x 存在存在 因为因为 2 0 lim 1 x xx 因为因为 0 f xx 在不可导在不可导 3 0 f xx 在点处不连续在点处不连续 0 f xx 故在点处不可导故在点处不可导 0 xf x 为的不可导点为的不可导点 4 令令 210 fxx 1 2 x 得驻点 得驻点 列表讨论如下 所以 列表讨论如下 所以 极大值极大值 1 0 75 f 极小值极小值 0 2 f x x f xf极大值极小值极大值极小值 2 1 2 1 2 0 0 0 2 1 2 不存在不存在0 5 2 lim 7 x f x 0 2 f 2 6 f 最小值最小值 1 0 75 2 f 无最大值无最大值 比较知在 上比较知在 上 计算计算 2 3 f 1 0 75 2 f 2 2 四 设四 设 f x 有一个原函数有一个原函数 sin x x 求 求 xfx dx 本题 本题 4 分 分 2 sincos sin sin x xxx x x xf xf x x 的原函数是的原函数是 C x x x C x x x xxx dxxfxxfxfxddxxfx sin 2cos sinsincos sin C x x dxxf 并且并且 解解 五 设函数五 设函数 f x满足满足 1 2f 1 0f 试问 试问 f x 在在1x 点处是否连续 并说明理由点处是否连续 并说明理由 本题 本题 4 分 分 解解 1 2f 11 1 lim 1 lim 1 0 1 xx f xf f xfx x 1 lim 1 x f xf 1 lim 1 x f xf 同理同理 1 f xx 在处连续在处连续 CH1 3 一元函数微分学CH1 3 一元函数微分学 一 基本概念 一 基本概念 极限 连续 导数 微分 极限 连续 导数 微分 定义 性质 无穷小 替换 两准则两极限 定义式 三个条件 单侧连续 间断点 定义式 几何意义 求导公式与法则 复合 定义 性质 无穷小 替换 两准则两极限 定义式 三个条件 单侧连续 间断点 定义式 几何意义 求导公式与法则 复合 二 关系 二 关系 极限存在连续 可导可微 极限存在连续 可导可微 定义式 几何意义 求微公式与法则 复合 定义式 几何意义 求微公式与法则 复合 第一部分 微积分第一部分 微积分 三 计算 三 计算 16 8 5 3 dyfx dx 求微分复合 微分形式的不变性 求微分复合 微分形式的不变性 包含洛必达法则列的极限用各种方法求函数及数 包含洛必达法则列的极限用各种方法求函数及数 1 4 求函数的驻点极值最值 判断单调性求函数的驻点极值最值 判断单调性 四 应用 四 应用 1 证明不等式 利用拉格朗日定理 单调性 最值等证法 证明不等式 利用拉格朗日定理 单调性 最值等证法 2 单调性及介值定理等定理利用 研究方程根的问题 单调性及介值定理等定理利用 研究方程根的问题 Rolle 3 求驻点等 实际应用中的最值问题 求驻点等 实际应用中的最值问题 CH4 5 一元函数积分学CH4 5 一元函数积分学 一 基本概念 二 计算 一 基本概念 二 计算 定义 性质定义 性质 定定 意义 常用恒等式 意义 常用恒等式 分部积分 三角代换 凑微分 基本积分公式 不定积分 分部积分 三角代换 凑微分 基本积分公式 不定积分 1 注意结果中的常数 注意结果中的常数C 2 牛顿莱公式 定积分 换元法 分部积分 牛顿莱公式 定积分 换元法 分部积分 注意对称性的应用 注意对称性的应用 三 应用 三 应用 平面图形的面积平面图形的面积 b a dxxfxfA 12直角坐标情形直角坐标情形 CH12 微分方程CH12 微分方程 二 基本计算 二 基本计算 求解方程求解方程 一阶方程 可分离变量 一阶线性 一阶方程 可分离变量 一阶线性 一 基本概念 一 基本概念 微分方程的解微分方程的解 类型类型 特解形式特解形式 1 微分方程 微分方程的阶 微分方程的解 通解 初始条件 特解 初值问题 积分曲线 1 微分方程 微分方程的阶 微分方程的解 通解 初始条件 特解 初值问题 积分曲线 1 变量分离方程1 变量分离方程1 变量分离方程1 变量分离方程 分离变量法步骤 1 分离变量 2 两端积分 得显式或隐式通解 2 可分离变量的微分方程 特点 能化成如下形式 分离变量法步骤 1 分离变量 2 两端积分 得显式或隐式通解 2 可分离变量的微分方程 特点 能化成如下形式 dy f xg y dx 形如 形如 1 一阶线性方程1 一阶线性方程 dy P x yQ x dx 0 xQ 齐次 线性 的 可分离变量的方程 非齐次的 由常数变易法得通解公式 齐次 线性 的 可分离变量的方程 非齐次的 由常数变易法得通解公式 0 xQ 2 变量代换法是微分方程求解中经常使用的方法 变量代换法是微分方程求解中经常使用的方法 2 一阶线性微分方程2 一阶线性微分方程2 一阶线性微分方程2 一阶线性微分方程 善总结善总结 勤归纳勤归纳 巧做题巧做题 线性代数的复习方法线性代数的复习方法 熟记性质熟记性质 不忘定义不忘定义 掌握方法掌握方法 不忘原理不忘原理 求行列式 矩阵的秩 矩阵的逆 矩阵方程 线性方程组的解 求行列式 矩阵的秩 矩阵的逆 矩阵方程 线性方程组的解 第二部分 线性代数第二部分 线性代数 二 行列式的性质 二 行列式的性质 二 行列式的性质 二 行列式的性质 1 1 5 5 三 克莱姆法则三 克莱姆法则三 克莱姆法则三 克莱姆法则 未知数个数 未知数个数 未知数个数 未知数个数 方程个数 方程个数 方程个数 方程个数 0 1 2 2 1 1 01 0 0 D nj D D x D j j 则有无穷多组解或无解 若方程组 有唯一解 则方程组当系数行列式 则有无穷多组解或无解 若方程组 有唯一解 则方程组当系数行列式 定理 定理 对于给定的方程组 对于给定的方程组 二 行列式的计算二 行列式的计算 三角法 降阶法 递推法三角法 降阶法 递推法 特殊行列式特殊行列式特殊行列式特殊行列式 三种常用方法 三种常用方法 三种常用方法 三种常用方法 三角行列式 上三角 下三角 对角行列式 三角行列式 上三角 下三角 对角行列式 一 一 一 一 n n 级行列式的定义级行列式的定义级行列式的定义级行列式的定义 一 有关行列式的概念 性质 定理一 有关行列式的概念 性质 定理 CH7 行列式CH7 行列式 性质性质1 行列式与它的转置行列式相等 行列式与它的转置行列式相等 推论 推论 如果行列式的两行 列 完全相等 此行列式为零如果行列式的两行 列 完全相等 此行列式为零 性质性质2 互换行列式的两行 列 行列式变号 互换行列式的两行 列 行列式变号 推论推论3 若行列式中某一行若行列式中某一行 列列 的元素全为零 则此行 列式等于零 的元素全为零 则此行 列式等于零 性质性质3 行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同 一数 行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同 一数k 等于用数 等于用数k乘此行列式 乘此行列式 推论推论2 若行列式中有两行若行列式中有两行 列列 成比例成比例 则此行列式 等于零 则此行列式 等于零 推论推论1 行列式中某一行 列 的所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外边 行列式中某一行 列 的所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外边 二 行列式的性质 二 行列式的性质 二 行列式的性质 二 行列式的性质 性质性质5 把行列式的某一行 列 的各元素乘以同一数 然后加到另一行 列 对应的元素上去 把行列式的某一行 列 的各元素乘以同一数 然后加到另一行 列 对应的元素上去 行列式不变行列式不变 性质性质4 若行列式的某一行 列 的元素都是两数之和若行列式的某一行 列 的元素都是两数之和 则 此行列式等于两个行列式之和 则 此行列式等于两个行列式之和 1 三角行列式 上三角 下三角 对角行列式 1 三角行列式 上三角 下三角 对角行列式 重要行列式 重要行列式 行列式按行 列 展开定理行列式按行 列 展开定理 ji jiD AaAaAaAa jninjiji n k jkik 当 当 当 当 0 2211 1 ji jiD AaAaAaAa njnijiji n k kjki 当 当 当 当 0 2211 1 三 克莱姆法则 三 克莱姆法则 三 克莱姆法则 三 克莱姆法则 未知数个数 未知数个数 未知数个数 未知数个数 方程个数方程个数方程个数方程个数 1 若线性方程组 1 的系数行列式 则存在唯一解 若线性方程组 1 的系数行列式 则存在唯一解 0 D 2 若线性方程组 1 无解或有多个不同的解 则系数行列式 若线性方程组 1 无解或有多个不同的解 则系数行列式 0 D 3 若齐次线性方程组 2 的系数行列式 则存在唯一零解 若齐次线性方程组 2 的系数行列式 则存在唯一零解 0 D 4 若齐次线性方程组 2 有非零解 则系数行列式 若齐次线性方程组 2 有非零解 则系数行列式 0 D 二 行列式的计算二 行列式的计算 三角法 三角法 根据行列式的特点 利用行列式的性 质 把它逐步化为三角行列式 然后求得其值 根据行列式的特点 利用行列式的性 质 把它逐步化为三角行列式 然后求得其值 降阶法 降阶法 利用行列式按行 列 展开法则降 阶 把它降为较低阶的行列式 然后求解 通常此 法需结合化简性质运用 利用行列式按行 列 展开法则降 阶 把它降为较低阶的行列式 然后求解 通常此 法需结合化简性质运用 递推法 递推法 通过降阶法建立起行列式与其同形的 较低阶的行列式的关系式 通过降阶法建立起行列式与其同形的 较低阶的行列式的关系式 递推关系式 然后 由递推关系式求解其值 递推关系式 然后 由递推关系式求解其值 三种常用方法三种常用方法 CH8 矩阵与线性方程组CH8 矩阵与线性方程组 1 基本概念 由由m n个数排成的个数排成的m行行n列数表列数表 mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 称为一个称为一个m n型矩阵型矩阵 简记 为 简记 为A aij m n或或A aij 特殊矩阵特殊矩阵 反对称矩阵 对称矩阵 单位矩阵 对角矩阵 三角矩阵 方阵 反对称矩阵 对称矩阵 单位矩阵 对角矩阵 三角矩阵 方阵 行矩阵 列矩阵 零矩阵 行矩阵 列矩阵 零矩阵 2 矩阵的运算 nmijijnmijnmijnmij bacCbBaA 则则 BACBA 的和 记为与称为矩阵的和 记为与称为矩阵 1 矩阵加法 2 数乘矩阵 1 矩阵加法 2 数乘矩阵 设设k为常数 矩阵为为常数 矩阵为A aij m n 则数 乘矩阵为 则数 乘矩阵为kA kaij m n 两矩阵相乘条件两矩阵相乘条件 左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数 s t tjit ba 1 3 矩阵的乘法 3 矩阵的乘法 设矩阵 设矩阵A aij m s B bij s n 则定 义 则定 义C AB cij m n m n为矩阵为矩阵A与与B的乘积 的乘积 4 矩阵的转置 4 矩阵的转置 把矩阵把矩阵A的行换成同序数的列而得到的 矩阵称为矩阵 的行换成同序数的列而得到的 矩阵称为矩阵A的转置矩阵 记为的转置矩阵 记为AT 注 注 矩阵的乘法不满足交换律矩阵的乘法不满足交换律 1 AB 定义 定义 设设A为一个为一个n阶方阵 若存在一个阶方阵 若存在一个n阶方阵阶方阵B 使 使 AB BA E 则称则称B为矩阵为矩阵A的逆矩阵 记为的逆矩阵 记为 3 逆矩阵3 逆矩阵 可逆矩阵的性质 可逆矩阵的性质 若矩阵若矩阵A B是同阶的可逆是同阶的可逆 1 A 1也可逆 且也可逆 且 A 1 1 A A 1 A 1 2 AB 也可逆 且也可逆 且 AB 1 B 1A 1 1 1 1 AA k k 3 若数若数k 0 则 则kA也可逆 且 也可逆 且 4 AT也可逆 且也可逆 且 AT 1 A 1 T 注注 若矩阵若矩阵A B满足满足AB E A B可逆 可逆 若方矩阵若方矩阵A B满足满足AB E A B可逆 可逆 矩阵可逆的充要条件矩阵可逆的充要条件 方阵方阵A可逆可逆 1 0A 非奇异 2 r An 满秩 3 1 s APP i P为初等矩阵 4 A可经行变换变成 E 5 A与E等价 6 6 0Ax 只有零解 7 只有零解 7 Axb 有唯一解 有唯一解 b 4 矩阵的行列式4 矩阵的行列式 设设A B为两个为两个n阶方阵 则阶方阵 则 BAAB 3 1 AT A 2 A n A 4 A 1 A 1 下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行 变换 初等行 变换 1 对调两行 对调对调两行 对调i与与j两行 记为 两行 记为 ji rr ji cc 2 以数以数k 0乘第乘第i行 的所有元素行 的所有元素 记为 记为 i ck 3 把某一行 所有元素的把某一行 所有元素的k倍分别加到另一行 对应的元素 上去 倍分别加到另一行 对应的元素 上去 第第j行 行 k倍加到第倍加到第i行上去行上去 记为 记为 ji krr ji kcc 列列 列列 列列 列列 列列 列列 列列 列列 注 注 1 矩阵的初等行 列变换统称为矩阵的 矩阵的初等行 列变换统称为矩阵的初等变换初等变换 2 矩阵的初等变换是 矩阵的初等变换是可逆可逆的 的 i rk 1 首先满足上述首先满足上述1 2 1 2 2 各个非零行左起的第一个非零元素为1 且其所在的列除此元 素外 其余元素均为零 各个非零行左起的第一个非零元素为1 且其所在的列除此元 素外 其余元素均为零 行阶梯矩阵的特点 行最简形矩阵的特点 行阶梯矩阵的特点 行最简形矩阵的特点 2 各个非零行的左起第一个非零元素的列标由上到下严格递增 1 若矩阵有零行 那么零行全部位于非零行的下方 2 各个非零行的左起第一个非零元素的列标由上到下严格递增 1 若矩阵有零行 那么零行全部位于非零行的下方 5 矩阵的初等变换 矩阵的秩及性质5 矩阵的初等变换 矩阵的秩及性质 min 0 1 nmAR 2 ARAR T 0 0 0 4 kAR k kAR 5 其中其中A1 为为A的任一子阵 的任一子阵 1 ARAR 3 n 阶方阵阶方阵A可逆的充要条件为可逆的充要条件为R A n 6 行阶梯矩阵的秩等于该矩阵非零行的个数行阶梯矩阵的秩等于该矩阵非零行的个数 7 ABAB 若则若则RR 8 P QPAQA 若可逆 则若可逆 则RR 设设为为矩阵 矩阵 Anm 如果存在如果存在A的的r阶子式不阶子式不 为零 为零 而任何阶子式 如果存在的话 皆为零 而任何阶子式 如果存在的话 皆为零 1 r Ar称为矩阵的秩 称为矩阵的秩 记为记为 Ar 或 或 R A 1 用初等变换求逆矩阵的方法 用初等变换求逆矩阵的方法 1 构造1 构造 A E 2 做初等行变换2 做初等行变换 1 AEEA 行行 2 用初等变换解矩阵方程 用初等变换解矩阵方程 AX B 其中 其中A可逆 的方法 可逆 的方法 BAEBA 1 1 行行 BAX 1 2 3 用初等变换解矩阵方程 用初等变换解矩阵方程 XA B 其中 其中A可逆 的方法 可逆 的方法 初等变换的应用 初等变换的应用 1 1 BA E B A 列列 1 2 BAX 4 用初等变换求矩阵的秩的方法 用初等变换求矩阵的秩的方法 1 将1 将A用初等变换化为行阶梯矩阵 2 用初等变换化为行阶梯矩阵 2 R A A的行阶梯矩阵的非零行数 的行阶梯矩阵的非零行数 初等矩阵初等矩阵 由单位矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵 对对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的 初等阵左乘矩阵 施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的 初等阵左乘矩阵A 对 对A施行一次初等列变换的结果等于 用一个相应的初等阵右乘矩阵 施行一次初等列变换的结果等于 用一个相应的初等阵右乘矩阵A 6 6 线性方程组线性方程组 一一 齐次线性方程组齐次线性方程组Ax 0 1 设设A是是m n矩阵矩阵 则则 1 齐次方程组 齐次方程组 1 只有零解 只有零解 未知量的个数未知量的个数 nAR 2 齐次方程组 齐次方程组 1 有非零解 有非零解 未知量个数未知量个数 nAR 有非零解有非零解的充要条件是它的系数矩阵行列式的充要条件是它的系数矩阵行列式 0 A 有有n个未知数个未知数n个方程的齐次线性方程组个方程的齐次线性方程组 求解齐次线性方程组的一般步骤 求解齐次线性方程组的一般步骤 对系数矩阵 对系数矩阵A施行初等行变换化为行最简矩阵 由行最简矩阵写出对应的同解方程组 令同解方程组中的自由未知量分别为 从而得出原方程组的全部解 施行初等行变换化为行最简矩阵 由行最简矩阵写出对应的同解方程组 令同解方程组中的自由未知量分别为 从而得出原方程组的全部解 12 nr ccc 设矩阵设矩阵A与矩阵与矩阵B分别是非齐次线性方程方程组分别是非齐次线性方程方程组Ax b的系数 矩阵与增广矩阵 则 的系数 矩阵与增广矩阵 则 2 Ax b有无穷多解有无穷多解r A r B n 未知量的个数未知量的个数 r A r B n 未知量的个数未知量的个数 1 Ax b有唯一解有唯一解 3 Ax b有无解有无解r A r B 未知量的个数未知量的个数 解非齐次线性方程组解非齐次线性方程组Ax b的一般步骤为 的一般步骤为 2 对增广矩阵 2 对增广矩阵B施行初等行变换化为行最简形矩阵 3 由行最简形矩阵写出同解方程组 4 求出同解方程组的全部解 1 对增广矩阵 施行初等行变换化为行最简形矩阵 3 由行最简形矩阵写出同解方程组 4 求出同解方程组的全部解 1 对增广矩阵B施行初等行变换 将其化为行阶梯矩阵 观 察 施行初等行变换 将其化为行阶梯矩阵 观 察R A R B 若若R A R B 则方程组无解 解题完毕 若 则方程组无解 解题完毕 若R A R B 转向 转向2 步 步 问题 问题 问题 问题 1 1 1 1 何时有解 何时有解 何时有解 何时有解 2 2 2 2 有多少个解 有多少个解 有多少个解 有多少个解 3 3 3 3 怎样怎样怎样 怎样 求解 求解 求解 求解 线性方程组 线性方程组 D D ADbxAna i nn 解为 有唯一解 有解 则 若元非齐次线性方程组 对于 321 0 阶梯行求解 行变换化成 有无穷多解 用初等 有唯一的解 当 时 没有解 当 我们引入矩阵 元非齐次线性方程组 对于 nbARARii nbARARi bARAR bARAR bxAnb nm 0两者 不能同时成立 两者 不能同时成立 3 概率的计算方法概率的计算方法 直接计算 直接计算 中样本点总数 中包含的样本点个数 中样本点总数 中包含的样本点个数 S A P A 注 注 放回抽样 不放回抽样 利用公式 放回抽样 不放回抽样 利用公式 条件概率公式条件概率公式 AP ABP ABP 乘法公式乘法公式 ABPAPABP A