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控制理论基础 科学出版社 习题答案 上海交通大学 1 第二章 2 1 求解下列微分方程求解下列微分方程 2 2 2 4 初始条件 0 2 0 0 解 首先对微分方程两边进行拉氏变换 得代数方程 2 0 0 0 1 4 代入初始条件 0 2 0 0 2 1 4 2 2 2 1 4 1 2 4 1 计算得到 A 0 25 B 0 05 C 0 2 4 7 1 5 4 1 20 1 拉氏反变换 y t 1 75 0 05 4 0 2 t 0 3 2 2 5 6 6 初始条件 0 2 0 2 解 首先对微分方程两边进行拉氏变换 得代数方程 2 0 0 5 5 0 6 6 2 2 12 6 2 3 2 3 计算得到 A 1 B 5 C 4 拉氏反变换得到 x t 1 5 2 4 3 t 0 2 2 一阶微分方程组为一阶微分方程组为 4 10 3 20 xy xyy 已知 已知 0 0 0 0 0 5xxy 求解 求解 x ty t 解解 首先对微分方程两边进行拉氏变换 得代数方程组 首先对微分方程两边进行拉氏变换 得代数方程组 4 4 0 10 s 3 2 3 0 控制理论基础 科学出版社 习题答案 上海交通大学 2 15 20 2 1 6 1 60 2 10 2 1 6 1 得到 20 6 25 1 2 26 25 1 6 10 12 5 1 2 17 5 1 6 x t 20 6 25 12 26 25 1 6 t 0 y t 10 12 5 12 17 5 1 6 t 0 2 3 解 根据基尔霍夫定律写出电路方程 如 1为分电流 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 OR 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 如 1为总电流 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 5 将滑阀节流扣流量方程将滑阀节流扣流量方程 2 v p Qc x 线性化 流量线性化 流量 Q 是阀芯位移是阀芯位移 xv和节流和节流 口压口压 p 的函数 的函数 c w 分别为流量系数和滑阀面梯度 为油的密度 分别为流量系数和滑阀面梯度 为油的密度 解 设阀的额定工作点参量为 0 0 其静态方程式为 控制理论基础 科学出版社 习题答案 上海交通大学 3 0 0 2 0 把非线性方程在额定工作点 o 附近展成泰勒级数 则有 0 0 0 0 减去静态方程式 即得流量的线性化方程式 0 0 0 0 2 0 0 1 2 0 2 7 解 R 0 R 1 88 10 10 T 293 15 2 9 a 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 b 1 2 1 1 2 4 1 2 3 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 11 解 进口流量 出口流量 0 拉氏变换 延迟环节 后得到料仓闸门开度 r 与传输带末物料流浪 q 之间的 传递函数 控制理论基础 科学出版社 习题答案 上海交通大学 4 2 13 解 a 对于机械系统 2 2 1 1 进行拉氏变换 2 2 1 1 则 1 1 1 2 1 2 对于电路系统 1 2 1 1 1 2 1 1 2 将方程式作拉氏变换 s 1 2 1 1 1 2 s 1 1 1 计算得到 s s 1 1 1 1 1 1 2 1 2 B 对应于 R K 对应于1 故他们是相似的 b 对机械系统 设 1处位移为 1 1处位移为 2则 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 方程组两边作拉氏变换 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 控制理论基础 科学出版社 习题答案 上海交通大学 5 计算得到 2 2 1 1 1 1 2 2 对于电系统 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 方程组两边作拉氏变换 s 2 1 2 1 1 s 2 1 2 1 1 1 1 计算得到 s s 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 B 对应于 R K 对应于1 故他们是相似的 2 20 解 1 以 R s 为输入 假定扰动量 N s 0 这是闭环传递函数可用下式表示 R s C s H s G1 s N s G2 s C s 以 为输出时 C s 1 2 1 1 2 以 为输出时 1 2 1 1 2 控制理论基础 科学出版社 习题答案 上海交通大学 6 以 为输出时 1 1 1 2 1 以 N s 为输入 假定扰动量 R s 0 这是闭环传递函数可用下式表示 1 2 以 为输出时 C s 2 1 1 2 以 为输出时 2 1 1 2 以 为输出时 2 1 1 2 2 22 a 控制理论基础 科学出版社 习题答案 上海交通大学 7 c 2 29 a 前向通路四条 增益分别为 P1 abcdef P2 agjf P3 agdef P4 abcjf 控制理论基础 科学出版社 习题答案 上海交通大学 8 系统中有两个单独回路 增益分别为 L1 i L2 cdh 系统中无不接触回路 特征值 1 L1 L2 1 i cdh 两个回路 L1 和 L2 与前向通路 P1 接触 故 1 1 回路 L1 与前向通路 P2不接触 故 2 1 i 回路 L1 与前向通路 P3不接触 故 3 1 i 两个回路 L1 和 L2 与前向通路 P4 接触 故 4 1 C s 1 b 前向通路三条 增益分别为 P1 1 P2 4 1 s P3 3s 2 s 1 s 系统中有两个单独回路 增益分别为 L1 3 s 1 L2 5s s 2 系统中两回路不接触 故特征值 1 L1 L2 L1L2 1 3 s 1 5s s 2 5s s 2 3 s 1 6S2 26S 8 S 1 S 2 回路 L1 和 L2 与前向通路 P1不接触 故 1 回路 L2 与前向通路 P2不接触 故 2 1 5s s 2 回路 L1 和 L2 与前向通路 P3 接触 故 3 1 两个回路 L1 和 L2 与前向通路 P4 接触 故 4 1 C s 36S2 135S 40 6S2 26S 8 d 前向通路六条 增益分别为 P1 2 4 6 P2 2 1 7 控制理论基础 科学出版社 习题答案 上海交通大学 9 P3 3 8 6 P4 3 5 7 P5 2 1 2 8 6 P6 4 8 1 1 7 系统中有三个单独回路 增益分别为 L1 1 4 L2 5 2 L3 8 1 1 2 系统中 L1 和 L2 不接触为回路 故特征值 1 L1 L2 L3 L1L2 1 1 4 5 2 8 1 1 2 1 4 5 2 回路 L2 与前向通路 P1 不接触 故 1 1 5 2 所有回路与前向通路 P2 接触 故 2 1 所有回路与前向通路 P3 接触 故 3 1 回路 L1 所有回路与前向通路 P4 不接触 故 4 1 1 4 所有回路与前向通路 P5 接触 故 3 1 所有回路与前向通路 P6 接触 故 3 1 C s 2 4 6 1 5 2 2 1 7 3 8 6 3 5 7 3 5 7 2 1 2 8 6 4 8 1 1 7 1 1 4 5 2 8 1 1 2 1 4 5 2 控制理论基础 科学出版社 习题答案 上海交通大学 10 第三章 3 13 1 已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为 10 10 5 G s s 求在频率为求在频率为 f 1Hz 幅值幅值 rm 10 的正弦输入信号作用下 系统的稳态输出的正弦输入信号作用下 系统的稳态输出 c t 的幅的幅 值和相位 值和相位 解 设输入信号1 sin10sin10sin2 m fHz c ttrtt 振幅比 22 1010 1 0 5 1 A jw 相位差 arctan arc2t0 an 72 35jwT 系统的稳态输出幅值 30 3 m c jwjwAr 输出相位 72 3c jwr jwjw 3 2 设单位反馈控制系统的开环传递函数为设单位反馈控制系统的开环传递函数为 10 1 G s s 当系统在输入信号当系统在输入信号 1 sin 30 r tt 2 2cos 245 r tt 作用下 试求系统的稳态输出 解 反馈 H s 1 闭环传递函数为 10101 1 111111 GG G s G sAT G ss 1 1 1A 2 2 10 11 0 9 1 1 1 1 11 G G A G j T 控制理论基础 科学出版社 习题答案 上海交通大学 11 arctan 5 2 sin 30 0 9sin 24 8 G c G jwT jttGtAjG 2 2sin 245 r tt 2 2A 同理求得 2 2 10 11 0 8944 1 1 1 2 11 G G A j T G arctan 10 3 sin 30 1 789s in 234 9 G c tGt G jwT AtjG j 3 4 已知系统方块题已知系统方块题 3 4 图所示图所示 1 试写出系统的频率特性谱 即幅相频率特性试写出系统的频率特性谱 即幅相频率特性 G j 幅频特性幅频特性 A j 相位特性相位特性 j 实频特性实频特性 U j 虚频特性虚频特性 V j 的表达式 的表达式 2 绘出绘出 K 100 T1 1s T2 5s 时系统的时系统的 Nyuist 图 并求出系统的无阻尼自然频率图 并求出系统的无阻尼自然频率 n 题 3 4 图 系统方框图 解 1 系统闭环传递函数为 12 12 12 1 1 1 1 1 1 1 1 K TsT s K G sK G s G sTsT sK TsT s 幅相特性 2 1 212 1 K Gw Tj TTK j T 幅频特性 222 1 2122 1 K Aw T j TTTK 相位特性 12 2 1 2 arctan 1 T jw K T TT 12 1 1 K TsT s R s C s 控制理论基础 科学出版社 习题答案 上海交通大学 12 实频特性 2 1 2 222 1 2122 1 1 K jw KTT U TTTTK 虚频特性 12 222 1 2122 1 K TT V T jw TTKT 2 当 K 100 T1 1s T2 5s 时 当 100 0 101 0G j 当 080 1G j Nyuist 图 3 5 已知系统的方框已知系统的方框如题如题 3 5 图图所示 是确定系统的谐振峰值 谐振频率及截止所示 是确定系统的谐振峰值 谐振频率及截止 频率 频率 题题 3 5 图图 系统方框图系统方框图 解 系统的闭环传递函数为 5 2 5 1 1 5 2 5 2 G s G s G s s s s s s s 频率特性 2 51 0 2 2 4105 G j j jjj 2 0 2 0 2 20 4 0 2TTT 谐振峰值 2 1 1 25 21 r M 谐振频率 2 1 23 rn WW w V U w 0 C s R s 5 2 s s 控制理论基础 科学出版社 习题答案 上海交通大学 13 3 10 已知系统的频率特性为已知系统的频率特性为 1 0 1 G K j jj 1 若满足系统谐振峰值若满足系统谐振峰值 Mr 1 4 求此时系统的增益 求此时系统的增益 2 求再次增益下系统的阻尼比和无阻尼自然频率 求再次增益下系统的阻尼比和无阻尼自然频率 解 1 频率特性 2 0 1 G j K K j j 2 0 10 11110 2 2 TTT KKKK 2 1 1 4 21 r M 计算得到 12 0 92 0 39 舍 则代入上面的狮子计算得到增益 K 16 65 2 无阻尼自然频率 1 1012 9 n WKHz T 3 11 已知最小相位系统的伯德图如题已知最小相位系统的伯德图如题 3 11 图所示 试求出系统的传递函数 图所示 试求出系统的传递函数 a c e 解 a 假设传递函数为 1 G s K Ts 0 时 低频段有 20lg12 3 98LKK 20 dB dec L dB O 12 1001 40 dB dec 40 dB dec 20 dB dec L dB O 20 0 1 2 12 1 5 20 dB dec 60 dB dec 40 dB dec L dB O 20 控制理论基础 科学出版社 习题答案 上海交通大学 14 又转角频率 1 100 则 1 T0 01 3 98 10 01 sG s c 假设传递函数为 1 1 v Ks G s s Ts 起始斜率为 40dB dec v 2 1 1 1 0 1 10 2 2 1 1 T1 当 w 趋于零时 0 20lg20 lg 0 1 200 1 1LKvLK 时 则 当 所以 2 0 1 101 1 s G ss s e 假设传递函数为 12 1 1 v K G s s TsT s 起始斜率为 20dB dec v 1 1 1 1 T 2 2 1 T 根据图得到 1 2 1 40 40lg540lg1 20lg20lg lgl 2 40g40540 K 计算得到 12 0 5 10 50K 传递函数 50 12 1 0 1 G ss s s 控制理论基础 科学出版社 习题答案 上海交通大学 15 第四章 4 1 4 1 应用应用劳斯判据判断下列特征方程所代表的系统的稳定性 如果系统不稳定 劳斯判据判断下列特征方程所代表的系统的稳定性 如果系统不稳定 求特征方程在求特征方程在s s平面右半部根的个数 平面右半部根的个数 1 432 28430ssss 2 432 224100ssss 3 5432 3916100sssss 解 1 根据特征方程系数列出劳斯阵列 4 3 2 1 0 183 240 63 30 3 s s s s s 该系统的劳斯阵列第一列元素符号不改变 系统稳定 2 根据特征方程系数列出劳斯阵列 4 3 2 1 0 1210 240 010 40 10 s s s s s 该系统的劳斯阵列第一列元素符号改变 2 次 系统不稳定 且有两个根位于 s 平 面的右半部 5 根据特征方程系数列出劳斯阵列 4 3 2 1 0 1910 660 1010 120 10 s s s s s 该系统的劳斯阵列第一列元素符号改变 2 次 系统不稳定 且有两个根位于 s 平 控制理论基础 科学出版社 习题答案 上海交通大学 16 面的右半部 4 2 控制系统特征方程如下 试求系统稳定时增益控制系统特征方程如下 试求系统稳定时增益 K 的范围 的范围 1 32 3 2 40sKsKs 2 432 413360ssssK 3 432 20510150sKsss 解 1 方法一 劳斯阵列 3 2 1 0 12 34 43 2 0 3 4 sk sk k k s k s 要使系统稳定 需满足条件 k 0 1 43 2 0 3 k k k 2 解不定方程组得到 k 0 528 方法二 赫尔维茨判据 0 123 1 2 3 1 3 2 4 340 120 034 30 3 2 40 4 3 2 160 n aak aka k k k k k k k k 2 根据特征方程系数列出劳斯阵列 4 3 2 1 0 1 13 4360 4 360 sk s sk sk sk 控制理论基础 科学出版社 习题答案 上海交通大学 17 要使系统稳定 需满足条件 k 0 1 360k 2 解得 36 k 0 3 赫尔维茨判据 1 2 2 3 200 0 1000100 0 1 100060001000 kk kk kkk 则 则 不存在 所以 k 不存在 即任意增益均不能使得系统稳定 4 4 如图 如图 4 4 图所示 当图所示 当 K 取何值时取何值时 系统才能稳定 系统才能稳定 题 4 4 图 系统方框图 解 系统开环传递函数为 7500 1 34 6 k G s H s s s s 闭环传递函数为 32 7500 1 34 675007500 C sG s H ssk R sG s H ssssk 系统特征方程为 32 34 6750075000sssk 根据特征方程系数列出劳斯阵列 3 2 1 0 17500 34 67500 7500 75000 34 6 7500 s sk k s sk 7500 7500 34 6 k 0 22 0 1 1 1 G ww K w w j R s C s 7500 34 6 s s 1 K s 控制理论基础 科学出版社 习题答案 上海交通大学 18 22 G 0 1 1 1w 90 arctanarctan0 1 18060 120 arctanarctan0 130 c cc cc ww Gww w wG K jw j ww jw w k 0 得到满足系统稳定的增益范围为 34 6 k 0 4 5 设单位反馈系统的开环传递函数为 1 1 5 2 K G s sss 若希望所有特征方程根都具有小于 1 的实根 试求满足此条件的K的最大值 解 系统的闭环传递函数 1 1 1 5 2 C sG sK R sG ssssK 令t s 1 代入特征方程 1 1 5 2 0sssK 得到 32 20 750tttK 根据劳斯判据得到 0 k 可见图 a 中的参数不满足要求 C s C s R s 50 0 051 ss C s R s 50 0 051 ss 1s 控制理论基础 科学