现代控制理论知识点比较.pdf

1 线性系统性质状态能控性状态能观性 定义 设线性系统的状态方程为BuAxx 如果对状态空间中某一非零的有限点 0 x 可以找到容许控制 tu 控制信号的各分量均满足平方可积条件 保证解存在且唯 一 实际均满足 使得当系统以 0 x为初始状态 即 00 xtx 在 tu作用下 系统在某个有限时刻 01 ttt 状态达到坐标原 点 即0 1 tx 则称 0 x是系统的能控状态 如果 0 x为状态空间 任意一点 则称系统是完全能控的 设线性系统的状态空间模型为 Cxy Ax x 设 0 x为状态空间中非零有限点 将 0 x作为系统初始状态 即 00 xtx 若存在有限时刻 01 tt 使得对任意 10 t tt 有 0 y 则称 0 x为该系统的不能观状态 对于一个系统而言 只 要状态空间中存在不能观状态 则称该系统不是状态完全能观的 反之 称系统是完全能观 任一状态初值均可唯一确定 的 传递函数形式 nn nn nn nn asasas bsbsbsb sU sY sG 1 1 1 1 1 10 微分方程形式 1 1 1 1 0 1 1 1 1 tubtubtubtubtyatyatyaty nn nn nn nn DuCxy BuAx x sDUsCXsY sBUsAXssX 1 sUDBAsICsY DBAsIC sU sY sG 1 2 矩阵形式 u x x x x aaaax x x x n n nnn n 1 0 0 0 1000 0100 0010 1 2 1 1210 1 2 1 ub x x x x abbabbabbabby n n n nnnnnnnn 1 2 1 11221100 u abb abb abb abb x x x x a a a a x x x x nnn nnn n n n n nn n 11 22 11 00 1 2 1 1 2 1 0 1 2 1 100 010 001 000 ub x x x x y n n n 1 2 1 1000 判 据 格拉姆 Gram 矩阵判据 线性定常系统BuAxx 完全能控的充要条件是存在有限 时刻0 1 t 使 1 0 1 0 t tATAt dteBBetWc T 成为非奇异矩阵 线性定常系统 Cxy Ax x 0 0 0 txx完全能观的充要条件 是存在有限时刻0 1 t 使 1 0 10 0 t AtTtA dtCeCetW T 非奇异 代数判据 n 维线性定常系统BuAxx 完全能控的充要条件是 rank c Q rank 1 n ABABB n n 维线性定常系统 Cxy Ax x 0 0 0 txx完全能观的充要 条件是 rank o Q rank 1n CA CA C n 3 方 法 特征值判据 PBH判据 n 维线性定常系统BuAxx 完全能控的充要条件是对矩 阵 A 的所有特征值 i ni 1 均满足 rank BAI i n n 维线性定常系统 Cxy Ax x 0 0 0 txx完全能观的充要 条件是对矩阵 A 的所有特征值ni i 1 均有 rank AI C i n 推论 1 设线性定常系统用如下特征值规范型表示 u bb bb xx nmn m n 1 1111 0 0 该系统完全能控的充要条件是 B 矩阵中没有元素全为零的 行 若 B 中某行元素全为零 即mjbij 1 0 则该行对应 运动模态 t i e 不能控 设线性定常系统用如下特征值规范型表示 Cxy xx n 1 则系统完全能观的充要条件是矩阵 C 中不包含元素全为零的 列 推论 2 一个若尔当块的情形 若尔当型系统 u bb bb xx kmk m 1 111 1 1 1 1 完 全 能 控 的 充 要 条 件 是 B 矩 阵 最 后 一 行 的 元 素 一个若尔当块的情形 若尔当型系统 x Cxy x n 1 1 1 4 1 mjbkj 不全为零 完全能观的充要条件是矩阵 C 的第一列的元素不全为零 推论 3 设 l JJ 1 是对应同一特征值 1 的若尔当块 则系统 u B B B x J J J x ll 2 1 2 1 完全能控的充要条件是每个若尔当块所对应的输入矩阵块 l BB 1 的最后一行是线性无关的 设 l JJ 1 是对应同一特征值 1 的若尔当块 则系统 x xCCCy J J J x l n 21 2 1 完全能观的充要条件是每个若尔当块所对应的输出矩阵块 l CC 1 的第一列是线性无关的 对偶关系 系 统 能 控 性 矩 阵 为 BAABBQ n c 1 系 统 能 观 性 矩 阵 为 1n o CA CA C Q 将 o Q转 置 后 得 到 TnTTTTT o CACACQ 1 由于 o Q与 T o Q的秩完全一样 这意味着 若系统 Cxy Ax x 完全能观 则其对偶系统 vCzAz TT 完全能控 同样地 若系统BuAxx 完全能控 则其对偶系统 zBw zAz T T 完全能观 一个系统的能观性可由其对偶系统的能控性来检验 反之亦然 若对于任一线性定常系统 能通过状态变换 状态变换不改若对于任一线性定常系统 能通过状态变换 状态变换不改 5 控制系 统的结 构分解 定义 变系统的能控性 将系统变换成如下形式 u B x x A AA x x c c c c c c c 0 0 12 其中子系统 cc BA 完全能控 则可以直观地确定系统的能控 子空间和不能控子空间 变系统的能观性 将系统变换成如下形式 o o o o o o o o o x x Cy u B B x x AA A x x 0 0 2 1 21 其中子系统 oo CA 完全能观 则可以直观地确定系统的能观 子空间和不能观子空间 分解方 法 对 n 维线性定常系统 CBA 设 rank c Q rank BAABB n 1 k n k ll 1 是 c Q中 k 个线性无关的列向量 nk ll 1 是与向量组 k ll 1 线性无关的 n k 个线性独立的列向量 令 nkk lllllP 121 则状态变换xPx 1 可将系统 CBA 化为按能控性分解 的规范形式 对 n 维线性定常系统 CBA 设 rank o Q rank 1n CA CA C m n T m T 1 是 o Q中 m 个线性无关的行向量 T n T m 1 是与 向量组 T m T 1 线性无关的 n m 个线性独立的向量 令 6 c c c c c c c c c x x CCy u B x x A AA x x 0 21 12 其中 21 1 12 1 0 0 CCCPC B BPB A AA APPA c c c 并有如下结论 1 cc BA是完全能控的 2 2 子系统 1 CBA cc 的传递函数等于整个系统的 传递函数 即BAsICBAsIC cc 11 1 T n T m T m T P 1 1 1 则线性变换xPx 1 将系统 CBA 化为按能观性分解的 规范型 o o o o o o o o o x x Cy u B B x x AA A x x 0 0 2 1 21 其中 0 0 2 11 21 1 o o o CCPC B B BPB AA A APPA 并有如下结论 7 1 oo CA是完全能观的 2 子系统 1oo CBA 的传递函数等于整个系统的传递函 数 即BAsICBAsIC oo 1 1 1 按能控 性和能 观性分 解 对于 n 维线性定常系统 Cxy BuAx x 一般情况下 系统可能既不完全能控 也不完全能观 设系统能控性判别矩阵的秩和能观性判别矩阵的秩分别为 rank c Q nn 1 rank o Q nn 2 此时 可以将系统按能控性和能观性分解成如下的形式 8 oc oc oc co occo oc co oc oc oc co occ oc occ co oc oc oc co x x x x CCy u B B x x x x AA A AAAA AA x x x x 0 0 0 0 00 0 00 0 0 43 242321 13 其中 co x 代表既能控又能观部分 oc x 代表能控但不能观部分 oc x 代表不能控但能观部分 oc x 代表既不能控又不能观部分 系统的传递函数与系统的既能控又能观部分的传递函数一致 即 cococo BAsICsG 1 定义 考虑单输入 单输出线性定常系统 cxy buAx x 其中 A 为nn 常数矩阵 b 和 c 分别为1 n和n 1的常数 矩阵 设系统完全能控 因此 rank c Q rank bAAbb n 1 n 系统的特征多项式为 01 1 1 det sssAsI n n n 考虑单输入 单输出线性定常系统 cxy buAx x 其中 A 为nn 常数矩阵 b 和 c 分别为1 n和n 1的常数 矩阵 设系统完全能观 因此 9 单输入 单输出 线性定 常系统 规范型 构造变换矩阵 1 1 1 1 1 32 121 1 n n n bAAbbP rank o Q rank 1n cA cA c n 系统的特征多项式为 01 1 1 det sssAsI n n n 构造变换矩阵 11 32 121 1 1 1 1 nn n cA cA c Q 对于完全能控系统 通过非奇异线性变换xPx 1 可将系统 变换成如下能控规范型 xy uxx n n 1 0 0 10 10 21 110 对于完全能控系统 通过非奇异线性变换xQx 1 可将系统 变换成如下能观规范型 xy uxx nn 100 1 1 00 2 1 1 1 0 10 化为 规范型 方法 其中 n 21 可由下式计算 cbbcAbcA cbbcAbcA cbcAb cb n n n n n n nn n 1 2 1 1 1 2 3 1 2 2 11 cPc bPb APPA c c 1 1 其中 n 21 可由下式计算 cbbcAbcA cbbcAbcA cbcAb cb n n n n n n nn n 1 2 1 1 1 2 3 1 2 2 11 cQc Qbb QAQA 1 1 线性系统的反馈状态反馈输出反馈 定义 考虑线性定常系统 Cxy BuAx x 当将系统的控制u取为状态x的线性函数 RKxu 时 称这种控制形式为状态控制 其中 为参考输入 K称为状态 反馈增益矩阵 R为前馈增益矩阵 考虑线性定常系统 Cxy BuAx x 当将u取为输出y的线性函数 RFyu 时 称这种控制 形式为输出反馈 其中 F为输出反馈增益矩阵 反馈后闭环系统 的状态空间模型 Cxy BRxBKAx Cxy BRxBFCAx 11 反馈后闭环系统 的闭环传递函数 BRBKAsICsGK 1 BRBFCAsICsGF 1 两种反馈的关系 状态反馈和输出反馈都可以起到改变系统传递函数的作用 但两者的能力是不一样的 由于输出反馈可以看成状态反馈的特殊情 况 设FCK 输出反馈的功能同样可以用状态反馈来实现 但反过来状态反馈的功能却不一定可以用输出反馈来实现 能控性能观性 两种反 馈对系 统能观 性和能 控性的 影响 状态反 馈 状态反馈对系统能控性的影响 状态反馈形成的闭环系统为 CBRBKA 设 R 为非奇异矩阵 由于 rank BRBKAI rank RK I BAI 0 rank BAI 状态反馈不会改变系统的能控性 状态反馈对系统能观性的影响 状态反馈形成的闭环系统为 CBRBKA 由于对矩阵 C BKAI 并不能做出类似于输出反馈情况下的分解 不能作出判断 故状态反馈有可能改变系统的能观性 输出反 馈 输出反馈对系统能控性的影响 输出反馈形成的闭环系统为 CBRBFCA 设 R 为非奇异矩阵 由于 rank BRBFCAI rank RFC I BAI 0 rank BAI 输出反馈不会改变系统的能控性 输出反馈对系统能观性的影响 输出反馈形成的闭环系统为 CBRBFCA 由于 rank C BFCAI rank C AI I BFI 0 rank C AI 输出反馈不会改变系统的能观性 离散系统状态状态能控性状态能观性 12 定义 对于离散时间系统 1 kCxky kHukGxkx 0 k 若对于状态空间中的任意非零初始状态 0 x 都存在时刻 0 f k和对应的控制 ku 使得在 ku作用下0 f kx 则称 系统完全能控 对于离散时间系统 1 kCxky kHukGxkx 0 k 若对于任一非零初始状态 0 x 都存在有限时刻0 f k 且可 由 f k 0上的输出唯一地确定 0 x 则称系统完全能观 判定方法 其余推论与线 性系统相同 n 维线性定常系统 1 kCxky kHukGxkx 0 k 完全能 控的充分必要条件是如下条件之一成立 1 rank HGGHH n 1 n 2 对矩阵 G 的所有特征值 i ni 1 有 rank HGI i n n 维线性定常系统 1 kCxky kHukGxkx 0 k 完全能 观的充分必要条件是如下条件之一成立 1 rank 1n CG CG C 2 对矩阵 G 的所有特征值 i ni 1 有 rank GI C i 保证采样系统完 全能控和完全能 观的附加要求 当连续时间对象有特征值 j 时 采样周期应满足如下条件 n T 2 13 对角线规范型若尔当规范型 定义 若系统 DCBA 的 A 矩阵具有如下形式 n 2 1 则称 DCBA 为对角线规范型 一个矩阵被成为是若尔当矩阵 是指它具有如下形式 m J J J J 2 1 其中 对角线上的每个矩阵块 1 miJi 具有形式 i i i J 1 1 1 miJi 被称为若尔当块 称每个若尔当块的行数 或 列数 为其阶数 结论 1 对系统 DCBA 其特征值定义为方程0 det AI 的根 若 nn RA 则系统必有 n 个特征值 一个非零的向量 n i R 若满足 iii A 则称 i 是系统对应于 i 的一个特 若系统矩阵 A 具有若尔当型 则系统每个状态的导数最多只 与该状态和下一个状态有关 构造变换矩阵 P 使得JAPP 1 将 P 按 J 的阶数分块写成 m PPP 1 14 征向量 特征向量并不唯一 若 A 的特征值 n 1 两两相异 则其对应的 n 个特征向量 n 1 必线性无关 即 n P 1 为非奇异方阵 根据特征向量的定义知 P AAAP n n nnn 1 1 111 即 APP 1 因 此 只 要 令xPx 1 并 记 CPCBPB 1 则有 DuxCDuxCPy uBxBuPxAPP BuAxPxPx 11 11 有结论 若系统矩阵 A 有两两相异的特征值 则存在非奇异 线性变换xPx 1 将系统变换为对角线规范型 对角线上的元素 即为系统的特征值 变换矩阵 P 的各列即为相应的特征值 dim dim ii JP 则JAPP 1 可改写成 mmm JPJPJPAPAPAP 221121 将JAPP 1 按若尔当块逐个写成 miJPAP iii 1 其中 ii ll i i i J 1 1 显然 i P的维数应为 i ln 将 i P 再改写成列向量的形式 i iliii P 21 其中 n ij R 由miJPAP iii 1 得 iii iliilil iiii iii A A A 1 212 11 或写成 推断 1若系统矩阵 A 具有两两相异的特征值 且具有如下形式 15 1 12 1 0 ii ilili iii ii AI AI AI 由上式第一个方程可知 1 i 是 A 的对应于 i 的一个特征向 量 由于重特征值 i 可以有 i 个 i 为 i 的几何重数 线性无 关的特征向量 因此有结论 重特征值 i 对应的若尔当块个数等于 i 的几何重数 i 而 且 这 i 个若尔当块的阶数之和应等于 i 的代数重数 i 当每个特征值得几何重数与其代数重数相等时 共有 n 个线 性无关的特征向量 对应 n 个若尔当块 故每个若尔当块的阶数 只能是11 即对角线规范型 110 10 10 n aaa A 则将系统转换为对角线规范型的变换矩阵可取为 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 1111 n n nnn n n P 其中 n 1 是 A 的特征值 若系统矩阵 A 的某个特征值是其特征方程的重根 即特征方 程可写成 det ii i AI 且0 ii 称 i 为 i 的代数重数 若 rank ii nAI 则称 i 为 i 的几何重数 一般地 若 i 的几何重数为 i 即 rank ii nAI 则 i 的 i 个若尔当块之间阶数的分配情况 在 12iii AI 的两端同乘以AI i 可得 0 12 2 iiii AIAI 由于 2i 与 1 i 是线性无关的 因此 2i