高代复习题及答案.pdf

研究生高等代数复习题研究生高等代数复习题 1 设 是数域P上线性空间V的线性变换且 2 证明 1 的特征值为 1 或 0 2 1 0 AV 3 1 0 VV 2 已知 是 n 维欧氏空间的正交变换 证明 的不变子空间W的正交补W 也是 的不变子空 间 3 已知复系数矩阵 A 1000 2100 3210 4321 1 求矩阵A的行列式因子 不变因子和初等因子 2 求矩阵A的若当标准形 15 分 4 已知二次型 32 2 3 2 2 2 1321 2332 xaxxxxxxxf 0 a 通过某个正交变换可化为标准形 2 3 2 2 2 1 52yyyf 1 写出二次型对应的矩阵 A 及 A 的特征多项式 并确定a的值 2 求出作用的正交变换 5 P为数域 1 10 00 2 11 00 3 11 10 4 11 11 为向量空间 2 2 VP 的 一组基 求 12 34 在这组基下的坐标 写成列向量的形式 6 设A为n阶方阵 1 0 n WxRAx 2 0 n WxRAE x 证明A为幂等矩阵 则 12 n RWW 7 若设 W n xRxffxf 0 1 试证 W 是 n xR 的子空间 并求出 W 的一组基及维数 8 设V是一个 n 维欧氏空间 12 m 为V中的正交向量组 令 miVW i 2 1 0 1 证明 W是V的一个子空间 2 证明 12 m WL 9 试求矩阵 3100 1100 3053 4131 A 的特征多项式 最小多项式 10 在线性空间 n P 中定义变换 122 0 nn xxxxx 1 证明 是 n P 的线性变换 2 求值域 n P 及核 1 0 的基和维数 11 证明二次型 22 1 11 2 nn nii ii fxxnxxn 是半正定的 12 求 的值 使 2222 12341231223134 222fxxxxxxxx xx xx xx 是正定二次型 12 分 13 设 111 333 222 A 1 求 A 的不变因子 2 求 A 的若当标准形 14 设 4 R 的线性变换 在标准基下的矩阵为 2111 1211 1121 1112 A 1 求 的特征值和特征向量 2 求 4 R 的一组标准正交基 使 在此基下的矩阵为对角矩阵 15 设 1234 是四维线性空间V的一组基 已知线性变换 在这组基下的矩阵为 1021 1213 1255 2212 A 1 求线性变换 的秩 2 求线性变换 核与值域 16 求正交变换使二次型 22 112223 244xx xxx x 化为标准形 并判定该二次型是否正定 17 设 125 eee是 5 维的欧几里得空间 5 R 的一组标准正交基 1123 VL 其中 12321243125 45eeeeeeee 求 1 V的一组标准正交基 18 设 ij Aa 是n n 矩阵 其中 1 a ij aij ij 1 求det A的值 2 设 0WX AX 求 W 的维数及 W 的一组基 19 设 是线性空间 3 R 上的线性变换 满足 3 x y zRxy yz zx 求 在基 0 1 1 1 0 1 1 1 0 下的矩阵 20 设 是n维线性空间V上的线性变换 12 n 是V的一组基 如果 是单射 则 12 n 也是一组基 21 已知二次型 123121323 222fxxxx xx xx x 1 写出二次型的矩阵 A 2 求出 A 的特征值与特征向量 3 求一正交变换 将化为标准形 f f 22 求方阵 220 131 113 A的不变因子 初等因子和若当标准形 23 设 V 是 n 维欧氏空间 n 3 给定非零向量V 令 2 VV 证明 1 是正交变换 2 如果 123 n 是正交基 则存在不全为零实数 12 n kkk使得 12 12 n n kkk 是 V 上的恒等变换 24 21 V V是0 21 n xxx 和1 2 1 0 1 nixx ii 的解空间 则 21 VVP n 25 设 和 是线性空间 P x中依据如下方式定义的两个线性变换 f xfx f xxf x 求 26 设欧氏空间中有 n 21 0 211n LW 212n LW 证明 如果0 i 那么 21 dimdimWW 27 求实二次型 324131214321 2422 xxxxxxxxxxxxf 的规范形及符号差 15 分 28 设A是一个8阶方阵 它的8个不变因子为1 1 1 1 1 1 1 32 3 2 1 求 A 的所有的初等因子及 A 的若当标准形 29 设V为数域P上的n维线性空间 且 12 n VL 证明 11212 n 是V的一组基 若V 在基 12 n 下的坐标为 1 21 n n 求 在基 11212 n 下的坐标 30 在三维空间 3 P 中 已知线性变换T在基 1 1 0 1 0 1 1 1 1 321 下的矩阵是 101 110 121 求T在基 1 0 0 0 1 0 0 0 1 321 eee下的矩阵 31 在线性空间 n R 中 定义 x y xAy 2 1212 xxxyyyR 其中 23 36 A 证明 x y是 2 R 的内积 因而 2 R 按此内积构成一个欧氏空间 求 2 R 的一组标准正交基 求矩阵P 使得AP P 32 设 4 R 的两个子空间为 0 432143211 xxxxxxxxV 0 432143212 xxxxxxxxV 求 21 VV 与 21 VV 的基与维数 33 设V是 3 维线性空间 123 为它的一个基 线性变换 VV 112233112233 234xxxxxx 求 在基 123 下的矩阵 求核 ker和值域 Im 34 设V是实数域上所有n阶对称阵所构成的线性空间 对任意 A BV 定义 A BtrAB 其中trAB表示AB的迹 证明 V构成一欧氏空间 求使0trA 的子空间S的 维数 求S的正交补S 的维数 35 试找出全体实 2 级矩阵 2 MR所构成的线性空间到 4 R 的一个线性同构 36 求 由 向 量 1 1 1 1 0 1 2 1 21 生 成 的 子 空 间 1 V 与 由 向 量 7 3 1 1 1 0 1 2 21 生成的子空间 2 V的交的基和维数 37 设 122 336 224 A 求 1 A的不变因子 行列式因子 初等因子 2 A的Jordan标准形 38 设 nn P 是数域P上n n 矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间 定义变换 AA AV 1 证明 是 nn P 上的对合线性变换 即 是满足 2 I 恒等变换 的线性变换 2 求 的特征值和特征向量 39 已知实二次型 323121 2 3 2 2 2 1321 444444 xtxxxxxxxxxxxf 1 假设 321 xxxf是负定二次型 求t的值 2 当1 t时 试用非退化线性变换化此二次型为标准形并写出所用的线性变换的矩阵 40 设 123 是 3 维欧氏空间 V 的一组基 这组基的度量矩阵为 112 121 216 1 令 12 证明 是一个单位向量 2 若 123 k 与 正交 求k 41 已知 Rba ba W 00 1 Rca c a W 11 1 1 2 0 0 是 22 R 的两个子空间 求 2121 WWWW 的一个基和维数 42 V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间 令 1 2 WfxfxVfxfx WfxfxVfxfx 证明 W1 W2皆为 V 的子空间 且 21 WWV 43 由三个函数 1 cos sintt生成的实线性空间记为V 求线性变换 T VV 3 f tf t 的迹 行列式和特征多项式 44 求 矩阵 222 2 1 1 的初等因子和不变因子 45 设 为 n 维欧氏空间 V 中一个单位向量 定义 V 的线性变换 如下 2 V 证明 为第二类的正交变换 称为镜面反射 46 已知 关于基 321 的坐标为 1 0 2 由基 321 到基 321 的过渡矩 阵为 012 001 423 求 关于基 321 的坐标 47 在线性空间 P2 2中 1212 12112111 10110137 AABB 1 求 1212 L AAL BB的维数与一组基 2 求 1212 L AAL BB 的维数与一组基 47 设为n维线性空间V的一个线性变换 且 2 恒等变换 证明 1 的特征值只能是 1 或 1 2 11 VVV 48 已知二次型 0 2332 32 2 3 2 2 2 1321 axaxxxxxxxf通过正交变换化为标准形 2 3 2 2 2 1 52yyyf 求a的值及所作的正交变换 49 3 P 中 线性变换 关于基 1 1 1 1 1 0 1 2 1 1 0 3 的矩阵为 121 011 101 A 1 求 关于标准基 321 的矩阵 2 设 321 6 321 求 关于基 321 的坐标 15 分 50 设 是 3 R 的线性变换 2 2 32132321321 xxxxxxxxxxx 1 求值域 Im 的一个基和维数 2 求核 Ker 的一个基和维数 51 1 实数域上 3 阶对称矩阵按合同关系可分为几类 2 某四元二次型有标准形 2 4 2 3 2 2 2 1 432yyyy 求其规范形 52 设 300 014 113 A 1 求 A 的最小多项式 2 求 A 的初等因子 3 求 A 的若当标准 形 53 设 123 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 在 4 R 中求与 123 同时正交的单位向量 内积按通常的定义 54 已知 n n P 的两个子空间 1 n n VA AAP 2 n n VA AAP 证明 12 nn PVV 55 求下面矩阵A的列空间在 4 R 中的正交补的一个标准正交基 15 分 56 设A为n阶方阵 1 0 n WxRAx 2 0 n WxRAE x 证明 A为幂等矩阵当且仅当 12 n RWW 57 设是数域 P 上线性空间 V 的线性变换 1 2 是A的特征值 且 12