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中国农业大学2006 2007 学年春季学期高等数学B课程考试试题(A卷) 2007/07解答及评分标准一、单项选择题(满分15分，每小题3分，共5道小题), 请将合适选项填在括号内1. 曲线 在点处的法平面方程为【 B 】.A. ; B.; C. ; D. .2. 设L是从点沿直线到点的直线段，则曲线积分=【 B 】.A. 0; B. ; C. ;D. .3. 调和级数的敛散性为【 D 】.A. 收敛； B. 条件收敛； C. 绝对收敛； D. 发散.4. 若区域D为, 则= 【 A 】.A. 0 ; B. ; C. ; D. 256 .5. 表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy为某个二元函数的全微分的充分必要条件是【 C 】A.; B.; C. ; D. 二、填空题(满分15分，每小题3分，共5道小题)，请将答案填在横线上1. 设二元函数，则全微分= .2. 二元函数在点（1，1）处沿方向的方向导数是.3. 设f(x,y)为连续函数，则二次积分交换积分次序后为.4. 微分方程的通解是 5. 设周期函数在一个周期内的表达式为 , 则它的傅里叶级数在处收敛于 0 .三. (10分)设具有二阶连续偏导数, 求及.解 四. (12分) 求线性微分方程的通解.解 特征方程为, 特征根 的通解为 的一个特解为 的一个特解为 所以原方程的通解为 . 五. (10分) 计算曲线积分，其中L为圆周沿逆时针方向.解 由格林公式， 六.(12分)计算曲面积分 ，其中为球面的内侧.解 由高斯公式有 (其中是由围成的立体) . 七. (12分) （1）求幂级数的收敛域及和函数；（2）求数项级数的和.解 （1） 收敛域为(-1,1) 设和函数为S(x), -1x1 所以 （2） 八. (8分) 计划做一批形状为圆柱体的油桶，每只油桶的造价定为600元，已知油桶侧面每单位面积的造价是150元，油桶上下两面每单位面积的造价为100元, 问如何设计油桶的尺寸，才能使每只油桶的容积达到最大？解 设油桶底圆半径为r，高为h. 则每只油桶的容积 且令由得由于实际问题必定存在最大值，因此当油桶的底圆半径与高分别取时，每只油桶的容积最大. 九.(6分) 设函数在内具有连续导数, 且满足, 求.解 因, 且是偶函数, 故只
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