平面问题的直角坐标解答.ppt

第三章平面问题的直角坐标解答 本章要点 利用第二章得出的基本方程 求解平面问题在直角坐标下的解答 主要包括以下主要内容 1 逆解法与半逆解法 2 多项式解答 3 位移分量的求出 4 简支梁受均布荷载 5 楔形体受重力和液体压力 第三章平面问题的直角坐标解答 3 1逆解法与半逆解法 1 平衡微分方程解的形式 常体力下问题的基本方程 边界条件 位移单值条件 a b 式 a 为非齐次方程 其解 全解 齐次方程通解 非齐次方程的特解 1 特解 常体力下特解形式 1 2 3 2 通解 式 a 的齐次方程 c d 的通解 第三章平面问题的直角坐标解答 3 1逆解法与半逆解法 1 平衡微分方程解的形式 d 将式 d 第一式改写为 e f 由微分方程理论 必存在一函数A x y 使得 同理 将式 d 第二式改写为 g h 比较式 f 与 h 有 也必存在一函数B x y 使得 第三章平面问题的直角坐标解答 3 1逆解法与半逆解法 1 平衡微分方程解的形式 由微分方程理论 必存在一函数 x y 使得 i j 将式 i j 代入 e f g h 得通解 k 3 全解 取特解为 则其全解为 3 1 常体力下平衡方程 a 的全解 由式 3 1 看 不管 x y 是什么函数 都能满足平衡方程 x y 平面问题的应力函数 Airy应力函数 第三章平面问题的直角坐标解答 3 1逆解法与半逆解法 2 相容方程的应力函数表示 将式 3 1 代入常体力下的相容方程得 注意到体力X Y为常量 有 将上式展开 有 3 2 应力函数表示的相容方程 给出了应力函数满足的条件 第三章平面问题的直角坐标解答 3 1逆解法与半逆解法 2 相容方程的应力函数表示 3 2 式 3 2 可简记为 或 式中 满足方程 3 2 的函数 x y 称为重调和函数 或双调和函数 按应力求解平面问题 X Y 常量 的归结为 先由方程 3 2 求出应力函数 然后将代入式 3 1 求出应力分量 1 2 第三章平面问题的直角坐标解答 3 1逆解法与半逆解法 3 应力函数求解方法 1 逆解法 1 根据问题的条件 几何形状 受力特点 边界条件等 假设各种满足相容方程 2 27 的 x y 的形式 2 然后利用应力分量计算式 2 26 求出 具有待定系数 3 再利用应力边界条件式 2 18 来考察这些应力函数 x y 对应什么样的边界面力问题 从而得知所设应力函数 x y 可以求解什么问题 1 根据问题的条件 几何形状 受力特点 边界条件等 假设部分应力分量的某种函数形式 2 根据与应力函数 x y 的关系及 求出 x y 的形式 3 最后利用式 2 26 计算出并让其满足边界条件和位移单值条件 2 半逆解法 第三章平面问题的直角坐标解答 3 2多项式解答 1 一次多项式多项式解答的适用于由一些直线边界构成的弹性体 多项式解答的目的 考察一些简单多项式函数作为应力函数 x y 能解决什么样的力学问题 2 检验 x y 是否满足双调和方程 显然 x y 满足双调和方程 因而可作为应力函数 3 对应的应力分量 若体力 X Y 0 则有 1 设 其中 a b c为待定系数 在该函数 x y 上加上或减去一个一次多项式 对应力无影响 对应于无体力和无应力状态 第三章平面问题的直角坐标解答 3 2多项式解答 2 二次多项式 其中 a b c为待定系数 设X Y 0 a 0 b 0 c 0 检验 x y 是否满足双调和方程 显然有 可作为应力函数 由式 2 26 计算应力分量 2c 2c 2a 2a 结论 二次多项式对应于均匀应力分布 第三章平面问题的直角坐标解答 3 2多项式解答 3 三次多项式 1 其中 a b c d为待定系数 检验 x y 是否满足双调和方程 显然有 2 可作为应力函数 假定 X Y 0 3 由式 2 26 计算应力分量 结论 三次多项式对应于线性应力分布 讨论 可算得 图示梁对应的边界条件 可见 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布 常数d与弯矩M的关系 1 由梁端部的边界条件 2 此结果与材力中结果相同 说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的 第三章平面问题的直角坐标解答 3 2多项式解答 3 三次多项式 第三章平面问题的直角坐标解答 3 3位移分量的求出 1 形变分量本节以纯弯曲梁为例 说明如何由 个应力分量求出形变分量 位移分量 由前节可知 平面应力下的物理方程如下 a 将 a 代入物理方程得 b 第三章平面问题的直角坐标解答 3 3位移分量的求出 2 位移分量将 b 式代入几何方程得 将 c 式前两式积分得 式中为未知函数将 d 代入 c 式第三式知 c b d 几何方程 第三章平面问题的直角坐标解答 3 3位移分量的求出 2 位移分量 上式左边仅为x的函数的函数 右边仅为y的函数 要使之相等 则 e 积分左式 得 将上边右式代入式 d 得 f 式中 为常数 第三章平面问题的直角坐标解答 3 3位移分量的求出 2 位移分量 讨论 式中 u0 v0 由位移边界条件确定 当x x0 常数 u关于铅垂方向的变化率 即铅垂方向线段的转角 说明 同一截面上的各铅垂线段转角相同 横截面保持平面 材力中 横截面保持平面 的假设成立 f 第三章平面问题的直角坐标解答 3 3位移分量的求出 2 位移分量 上式第二式求二阶导数得 f 说明 在微小位移下 梁纵向纤维的曲率相同 即 材料力学中挠曲线微分方程 第三章平面问题的直角坐标解答 3 3位移分量的求出 3 位移边界条件的利用1 两端简支 如右图其边界条件 将其代入 f 式 有 将其代回 f 式 有 3 3 梁的挠曲线方程 与材力中结果相同 第三章平面问题的直角坐标解答 3 3位移分量的求出 3 位移边界条件的利用2 悬臂梁 边界条件 由式 f 可知 此边界条件无法满足 边界条件改写为 代入式 f 有 可求得 则 第三章平面问题的直角坐标解答 3 3位移分量的求出 3 位移边界条件的利用2 悬臂梁由前面得出的结论有则挠曲线方程 与材料力学得出的结论一致 3 4 注 平面应变问题只要将式中的换成即可 第三章平面问题的直角坐标解答 3 4简支梁受均布荷载 1 应力函数的确定分析 主要由弯矩引起 主要由剪力引起 由q引起 挤压应力 又 q 常数 图示坐标系和几何对称 不随x变化 则 由应力分量表达式确定应力函数的形式 积分得 a b 任意的待定函数 第三章平面问题的直角坐标解答 3 4简支梁受均布荷载 1 应力函数的确定 a b 任意的待定函数 由确定 代入相容方程 第三章平面问题的直角坐标解答 3 4简支梁受均布荷载 1 应力函数的确定 方程的特点 关于x的二次方程 且要求 l x l内方程均成立 由 高等代数 理论 须有x的一 二次的系数 自由项同时为零 即 对前两个方程积分 此处略去了f1 y 中的常数项 对第三个方程得 积分得 d c 第三章平面问题的直角坐标解答 3 4简支梁受均布荷载 1 应力函数的确定 e c d 将 c d 代入 b 有 式中含有9个待定常数 第三章平面问题的直角坐标解答 3 4简支梁受均布荷载 2 应力分量的确定由上式知 e f g h 第三章平面问题的直角坐标解答 3 4简支梁受均布荷载 3 对称条件与边界条件的应用 1 对称条件的应用 由q对称 几何对称 x的偶函数 x的奇函数 由此得 要使上式对任意的y成立 须有 第三章平面问题的直角坐标解答 3 4简支梁受均布荷载 3 对称条件与边界条件的应用 2 边界条件的应用 a 上下边界 主要边界 由此解得 代入 f g h 式得 第三章平面问题的直角坐标解答 3 4简支梁受均布荷载 3 对称条件与边界条件的应用 2 边界条件的应用 a 上下边界 主要边界 代入应力公式得 i j k 第三章平面问题的直角坐标解答 3 4简支梁受均布荷载 3 对称条件与边界条件的应用 2 边界条件的应用 b 左右边界 次要边界 由于对称 只考虑右边界即可 难以满足 需借助于圣维南原理 静力等效条件 轴力N 0 弯矩M 0 剪力Q ql 第三章平面问题的直角坐标解答 3 4简支梁受均布荷载 3 对称条件与边界条件的应用 2 边界条件的应用 b 左右边界 次要边界 可见剪力条件自动满足 第三章平面问题的直角坐标解答 3 4简支梁受均布荷载 3 对称条件与边界条件的应用 2 边界条件的应用 b 左右边界 次要边界 将上式代入应力方程有 p 截面上的应力分布如下图 第三章平面问题的直角坐标解答 3 4简支梁受均布荷载 4 与材料力学结果进行比较 p 截面宽 b 1 截面惯矩 静矩 弯矩 剪力 将上述参数代入式 p 有 3 6 根据材料力学理论知 第三章平面问题的直角坐标解答 3 4简支梁受均布荷载 4 与材料力学结果进行比较 与材料力学公式比较 得 1 第一项与材力结果相同 为主要项 第二项为修正项 当h l 1 该项误差很小 可略 当h l较大时 须修正 2 为梁各层纤维间的挤压应力 材力中不考虑 3 与材力中相同 说明式 3 5 在两端不适用 4 第三章平面问题的直角坐标解答 3 4简支梁受均布荷载 5 解题步骤小结 1 2 3 根据问题的条件 几何特点 受力特点 约束特点 面力分布规律 对称性等 估计某个应力分量 的变化形式 由与应力函数的关系式 2 26 求得应力函数的具体形式 具有待定函数 4 5 将具有待定函数的应力函数代入相容方程 确定中的待定函数形式 由与应力函数的关系式 2 26 求得应力分量 由边界条件确定中的待定常数 用半逆解法求解梁 矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤 第三章平面问题的直角坐标解答 3 5楔形体受重力和液体压力 1 应力函数与应力分量1 问题描述设有楔形体 如右图 左面铅直 右面与铅直面成角为 下端为无限长 承受重力及液体压力 楔形体的密度为 液体的密度为 由此求应力分量 分析 a b 由推理得 应力函数可假设为 的量纲为 N m3 的量纲为N m2 的形式应为 的线形组合 应为x y的三次函数 第三章平面问题的直角坐标解答 3 5楔形体受重力和液体压力 1 应力函数与应力分量应力函数为 将应力函数代入应力方程 考虑到 X 0 Y 常体力 得 a 显然 上述应力函数满足相容方程 第三章平面问题的直角坐标解答 3 5楔形体受重力和液体压力 2 边界条件 x 0 应力边界 代入式 a 则应力分量为 b 第三章平面问题的直角坐标解答 3 5楔形体受重力和液体压力 2 边界条件 2 应力边界 将 b 代入 有 其中 解上式得 第三章平面问题的直角坐标解答 3 5楔形体受重力和液体压力 2 边界条件 2 应力边界 代入式 b 有 3 6 李维 Levy 解答 沿水平方向的应力分布 与材力结果比较 沿水平方向不变 在材力中无法求得 沿水平方向线性分布 与材力中偏心受压公式算得结果相同 沿水平方向线性分布 材力中为抛物线分布 第三章平面问题的直角坐标解答 3 5楔形体受重力和液体压力 2 边界条件 2 应力边界 结果的适用性 1 当坝的横截面变化时 不再为平面应变问题 其结果误差较大 2 假定坝下端无限延伸 可自由变形 而实际坝高有限 底部与基础相连 有地基约束 故底部处结果误差较大 3 实际坝顶非尖顶 坝顶处有其它载荷 故坝顶处结果误差较大 三角形重力坝的精确分析 常借助于有限元数值方法求解 工程应用 求使坝稳定时的角度 称为安息角 例 图示矩形截面简支梁 长为l 高为h 受有三角形分布载荷作用 体力不计 试求其应力分布 解 1 应力函数形式的确定 梁截面上弯矩和剪