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第三章微分中值定理及其应用 3 1费尔马引理与函数最值 3 2罗尔中值定理及应用 11 一 费马引理 费马引理 则 设f x 在点的某邻域内有定义 且在处可导 注 导数为零的点称为函数的驻点 21 证 设对于 有 由极限的保号性 31 推论 最值的必要条件 设 如果存在 如果在 a b 上连续 则在 a b 上一 定有最大值和最小值 由最值的必要条件 最大 最小值点只可能是的驻点 不可导点或区间的端点 41 求函数最大值与最小值的一般步骤 1 求驻点和不可导点 2 求出区间端点及驻点和不可导点的函数值 比较大小 其中最大者就是最大值 最小者就是最小值 3 在实际问题的应用中 问题本身可以保证目标函数的最大值或最小值一定存在 我们通常用这种思想求取应用问题的最值 51 例1求函数在 1 4 上的最大值 解 计算 与最小值 1 4 内驻点 比较得 最大值最小值 61 解 得 例2求内接于球的圆柱体的最大体积 设球的半径R 设圆柱体的高为2h 底半径为r 体积为V 71 圆柱体的最大体积一定存在 故唯一驻点 就是最大值点 最大体积为 令 得 舍去负值 唯一驻点 81 定理3 2 罗尔定理 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 3 使得 3 2罗尔中值定理及其应用 证 若函数f x 满足 必有最大值M和最小值m 91 由费尔马引理 推论 可微函数的任意两个零点之间至少有的一个零点 101 若定理条件不全具备 结论不一定成立 111 例1证明是方程的唯一实根 证 矛盾 由罗尔定理 原命题得证 使得 121 对可导函数f x 之间 在方程f x 0的两实根 推论 至少存在方程 的一个实根 例 证 131 例2设常数满足 试证方程 分析 注意到 在 0 1 内存在一个实根 141 证设 且 由罗尔定理 即 在 0 1 内可导 151 在 0 1 上二阶可导 且 则在内至少存在一点 例3若 证 使得 使得 上使用罗尔定理 使得 使用罗尔定理 161 两种常用的构造辅助函数的方法 1 常数k法构造函数 基本思路是令待证等式中的常数为k 通过 恒等变形将含有的式子写成的形式 然后用罗尔定理 则就是需要的辅助函数 进行证明 171 例4设 分析 证 令 罗尔定理 整理得 使得 故 即 181 2 通过对待证等式的恒等变形寻找辅助函数 然后再观察所得函数是哪个函数的导数 这个函数就是我们需要的辅助函数 因为等式中出现的中值一定是对某个函数使用中值定理得到的 因此 可以首先把还原为x 如果待证等式出现的形式 则可以考虑形如的辅助函数 191 问题转化为证 设辅助函数 在 0 1 上用罗尔定理 使得 即有 例5
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