2011年中考真题二次函数的几何应用.doc

二次函数的几何应用一、选择题 （2011安顺）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH设小正方形EFGH的面积为y，AE=x则y关于x的函数图象大致是（C）A、B、C、D、二、填空题（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN当BM=2时，四边形ABCN的面积最大考点：二次函数的最值；正方形的性质；相似三角形的判定与性质。点评：本题考查了二次函数的性质的运用关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式三、解答题1. （2011江苏淮安，26，10分）如图，已知二次函数y= -x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，与y轴交于点B.(1)求此二次函数关系式和点B的坐标；(2)在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PAB是以AB为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）把点A的坐标代入二次函数，求出b的值，确定二次函数关系式，把x=0代入二次函数求出点B的坐标（2）作AB的垂直平分线，交x轴于点P，求出点P的坐标，若点P的横坐标是正数，那么点P就符合题意，这样的点是存在的解答：解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有： 0=16+4b+3,得：b=所以二次函数的关系式为：y=x2+x+3当x=0时，y=3, 点B的坐标为（0，3）（2）如图：作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，则：BP=AP设BP=AP=x，则OP=4x，在直角OBP中，BP2=OB2+OP2即：x2=32+（4x）2, 解得：x=，OP=4=所以点P的坐标为：（，0）点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据二次函数的概念求出抛物线的解析式及点B的坐标（2）根据等腰三角形的性质，利用勾股定理求出点P的坐标2. （2011江苏淮安，28，12分）如图，在RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t0），正方形EFGH与ABC重叠部分面积为S.(1)当t=1时，正方形EFGH的边长是 ；当t=3时，正方形EFGH的边长是 ；(2)当0t2时，求S与t的函数关系式；(3)直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。分析：（1）当时t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；（2）正方形EFGH与ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：当0t时；当t时；当t2时；依次求S与t的函数关系式；（3）当t=5时，面积最大；解答：解：（1）当时t=1时，则PE=1，PF=1，正方形EFGH的边长是2；当t=3时，PE=1，PF=3，正方形EFGH的边长是4；（2）：当0t时， S与t的函数关系式是y=2t2t=4t2；当t时， S与t的函数关系式是： y=4t2 =t2+11t3；当t2时； S与t的函数关系式是y=（t+2）（t+2）（2t）（2t）=3t；（3）当t=5时，最大面积是： S=16=；点评：本题考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力3. （2011江苏宿迁，27，12）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t（0t2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QEAB于点E，过M作MFBC于点F（1）当t1时，求证：PEQNFM；（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值考点：正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。专题：代数几何综合题。分析：（1）由四边形ABCD是正方形得到A=B=D=90，AD=AB，又由EQP=FMN，而证得；（2）由点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t，又由勾股定理求得PQ，由PEQNFM得到PQ的值，又PQMN求得面积S，由t范围得到S的最小值解答：证明：（1）四边形ABCD是正方形，A=B=D=90，AD=AB，QEAB，MFBC，AEQ=MFB=90，四边形ABFM、AEQD都是矩形，MF=AB，QE=AD，MFQE，又PQMN，EQP=FMN，又QEP=MFN=90，PEQNFM；（2）点P是边AB的中点，AB2，DQAEtPA1，PE1t，QE2由勾股定理，得PQPEQNFMMNPQ又PQMNSt2t0t2当t1时，S最小值2综上：St2t，S的最小值为2点评：本题考查了正方形的性质，（1）由四边形ABCD是正方形得到A=B=D=90，AD=AB，又由EQP=FMN，而证得；（2）由勾股定理求得PQ，由PEQNFM得到PQ的值，又PQMN求得面积S，由t范围得到答案4. （2011南昌，25，10分）如图所示，抛物线m：y=ax2+b（a0，b0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C将抛物线m绕点B旋转180，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1（1）当a=1，b=1时，求抛物线n的解析式；（2）四边形AC1A1C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；（3）若四边形AC1A1C为矩形，请求出a，b应满足的关系式考点：二次函数综合题专题：代数几何综合题分析：（1）根据a=1，b=1得出抛物线m的解析式，再利用C与C1关于点B中心对称，得出二次函数的顶点坐标，即可得出答案；（2）利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明；（3）利用矩形性质得出要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB=BC，即可求出解答：解：（1）当a=1，b=1时，抛物线m的解析式为：y=x2+1令x=0，得：y=1C（0，1）令y=0，得：x=1A（1，0），B（1，0），C与C1关于点B中心对称，抛物线n的解析式为：y=（x2）21=x24x+3；（2）四边形AC1A1C是平行四边形理由：C与C1、A与A1都关于点B中心对称，AB=BA1，BC=BC1，四边形AC1A1C是平行四边形（3）令x=0，得：y=bC（0，b）令y=0，得：ax2+b=0，.要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB=BC，ab3a、b应满足关系式ab3点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质，灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键5.（2011宁夏，26，10分）在等腰ABC中，AB=AC=5，BC=6动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MNBC将AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？（2）当MN=x，MNP与等腰ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？考点：翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质。分析：（1）首先连接AP，交MN于O，由MNBC将AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P，即可得AMNABC，则可求得当MN为何值时，点P恰好落在BC上；（2）此题需要分为当AOAD时与当AOAD时去分析，首先由AMNABC，求得各线段的长，然后求MNP与等腰ABC重叠部分的面积，即可得关于x的二次函数，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案解答：解：（1）连接AP，交MN于O，将AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P，OA=OP，APMN，AN=PN，AM=PM，MNBC，AMNABC，AOMN，BC=6，MN=3，当MN=3时，点P恰好落在BC上；（3）过点A作ADBC于D，交MN于O，MNBC，AOMN，AMNABC，AB=AC=5，BC=6，ADBC，ADB=90，BD=BC=3，AD=4，AO=x，SAMN=MNAO=xx=x2，当AOAD时，根据题意得：SPMN=SAMN，MNP与等腰ABC重叠部分的面积为SAMN，y=x2，当AO=AD时，即MN=BC=3时，y最小，最小值为3；当AOAD时，连接AP交MN于O，则AOMN，MNBC，APBC，AMNABC，PEFPMNAMN，即：，AO=x，EF=2x6，OD=ADAO=4x，y=S梯形MNFE=（EF+MN）OD=（2x6+x）（4x）=（x4）2+4，当x=4时，y有最大值，最大值为4，综上所述：当x=4时，y的值最大，最大值是4点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题等知识解题的关键是方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用6. （2011山东日照，24，10分）如图，抛物线y=ax2+bx（a0）与双曲线y=相交于点A，B已知点B的坐标为（2，2），点A在第一象限内，且tanAOx=4过点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算ABC的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使ABD的面积等于ABC的面积若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）根据已知条件可以推出A点的坐标，把A、B两点的坐标代入抛物线解析式和双曲线解析式，即可得出a、b、k的值，就可以确定双曲线和抛物线的解析式了；（2）根据A、B抛物线解析式，可以确定C点的坐标，即可去顶AC和AC边上的高的长度，就可以计算出ABC的面积了；（3）根据题意画出图形，根据A、B两点坐标出去直线AB相应的一次函数结合C点的坐标，CDAB，得出直线CD相应的一次函数，然后结合D点也在抛物线上，解方程组，求D点坐标解答：解：（1）把点B（2，2）的坐标，代入y=，得：2=，k=4即双曲线的解析式为：y=（2分）设A点的坐标为（m，n）A点在双曲线上，mn=4又tanAOx=4，=4，即m=4n又，得：n2=1，n=1A点在第一象限，n=1，m=4，A点的坐标为（1，4）把A、B点的坐标代入y=ax2+bx，得：解得a=1，b=3；抛物线的解析式为：y=x2+3x；（4分）（2）ACx轴，点C的纵坐标y=4，代入y=x2+3x，得方程x2+3x4=0，解得x1=4，x2=1（舍去）C点的坐标为（4，4），且AC=5，（6分）又ABC的高为6，ABC的面积=56=15；（7分）（3）存在D点使ABD的面积等于ABC的面积过点C作CDAB交抛物线于另一点D因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为（4，4），CDAB，所以直线CD相应的一次函数是：y=2x+12（9分）解方程组得所以点D的坐标是（3，18）（10分）点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的到大知识点根据点的坐标求抛物线解析式和双曲线解析式以及三角形的面积求法关键在于根据点的坐标和相关的知识点求抛物线解析式，曲线解析式和直线解析式7. （2011山西，26，14分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，直线l经过O、C两点，点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A B C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线OCB相交于点M，当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t 0），MPQ的面积为S（1）点C的坐标为_，直线l的解析式为_；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段BC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N试探究：当t为何值时，QMN为等腰三角形？请直接写出t的值考点：二次函数，一次函数，三角形面积，最值，分类讨论专题：压轴题分析：由题意不难得出点C的坐标为(3，4)因为直线l经过O、C两点，所以设其解析式为，将点C(3，4)代入，解得，所以直线l 的解析式为求 S与t的函数关系式，关键是确定MP及点Q到MP的距离根据题意，得OPt， AQ2t， 根据动点的运动过程，需分三种情况来讨论 当0t时； 如图第26题（2）图1，由题意可证AEQODC，得，Q点的坐标是（，） 当t3时； 如图第26题（2）图2，BQ2t5，OF11(2t5)162tQ点的坐标是（162t，4）PF162tt163t当3t时，如图第26题（2）图3，当点Q与点M相遇时，162tt，解得当3t时，如图3，MQ162tt163t，MP4根据题（2）中S与t的函数关系，先分别求出当0t时；当t3时；当3t时， t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值最后综合上述各情况判断得出t为何值时， S的最大值当0t时，a0，