江苏省常州市西夏墅中学高中数学 第2章 平面向量教案 新人教版必修.doc

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 第2章 平面向量教案 新人教版必修4目标定位：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景在本章中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量的语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力这部分内容的教育价值主要体现在以下几个方面1通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量以及向量相等的含义，理解向量的几何表示2掌握平面向量的加法、减法和向量数乘的运算，并理解其几何意义，理解两个向量共线的含义3了解平面向量基本定理及其意义，理解平面向量的正交分解及其坐标表示，掌握平面向量的坐标运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件4通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会向量的数量积与投影间的关系，掌握数量积的坐标表达式，会用平面向量的数量积解决有关角度和垂直的问题5经历向量(及其运算)的建构的过程，以及用向量方法解决某些简单的实际问题(几何问题、力学问题等)的过程，了解向量的实际背景，理解向量及其运算的意义，并从中了解到数学和现实世界的深刻联系，体会数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量，培养学生的理性思维的能力、运算能力和解决实际问题的能力 教材解读：向量既是重要的数学模型，又是重要的物理模型是刻画和描绘现实世界的重要数学模型数学模型是从现实原型中抽象出来的，它高于原型，可用于研究和解决包括原型在内的更加广泛的一类问题学习数学模型的最好方法是经历数学建模过程，即“问题情景建立模型解释、应用与拓展”本章立足于现实生活，根据学生的生活经验，创设丰富的情境，从大量的实际背景中抽象出向量的概念(数学模型)，然后用数学的方法研究向量及其运算的性质，再运用数学模型去解决实际问题这样处理体现了数学知识产生和发展的过程，突出了数学的来龙去脉，有助于学生理解数学的本质，形成对数学完整的认识，达到培养学生的创新思维和理性思维的目的力、速度、位移等在实际生活中随处可见，这些都是向量的实际背景，也可以用向量加以刻画和描述本章突出向量的实际背景与应用，这样有助于学生认识到向量与实际生活的紧密联系，以及向量在解决实际问题中的广泛应用，从中感受数学的价值，学会用数学的思维方式去观察、分析现实世界，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，发展数学应用意识向量作为代数对象，可以如同数和字母一样进行运算运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索数的运算，字母运算，向量运算，函数运算，映射、变换、矩阵运算等都是数学中的基本运算从数的运算、字母运算到向量运算，是运算的一次飞跃，向量运算使运算对象从一元扩充到多元，对于进一步理解其它数学运算具有基础作用本章要求学生掌握向量的线性运算(加、减、数乘)和数量积的运算，有助于学生体会数学运算的意义，感悟运算、推理在探索和发现数学结论，以及建立数学体系中的作用，发展学生的运算能力和推理能力，提高学生的数学素养“平面向量”的主背景源于前一章“三角函数”，仍然从圆周上一点的表示(r，)出发，导出“既要考虑大小(r)，又要考虑方向()”；而自然界广泛地存在着“既要考虑大小，又要考虑方向”的现象，如力、速度接着提出问题：用什么样的数学模型来刻画力、速度这样的量；这就明确了任务：建构这样的数学模型，同时也指明了教学起点：对向量的数学(分析)研究另外，本章特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引人向量概念本章的章头图中，矫健的银燕连同它身后的航迹，像利箭直插天穹它使人联想到下面的问题：怎样表示运动物体的位移和速度呢？于是建构向量的思维活动就此展开了引言(章首语)首先说明了本章的研究课题是前一章“三角函数”研究内容的拓展三角函数可以看成是圆周上一点P绕圆周运动的数学模型，而向量则是为了刻画更一般的运动而建立的数学模型这时，只有同时考虑点P的方向和大小才能确定点P的位置接着引言又指出，在生活中，既有大小又有方向的量是很多的，如位移、速度、力等等都是这样就从知识结构和现实生活两个方面为向量的研究提供了广阔的背景在此基础上，引言提出了问题：用什么样的数学模型来刻划位移、速度、力这样的量？这个数学模型有什么性质与应用？这就是本章的中心问题，也是本章的知识增长点与“函数”、“三角函数”类似，本章也是对一种数学模型的研究教材是按照对数学模型研究的一般程序即“建构模型研究模型应用模型”的顺序展开的这样的顺序不仅符合向量知识的发展过程，而且可以唤起学生在“函数”、“三角函数”学习中获得的经验，有助于发挥学生在学习中的主动权本章也起到了承前启后的作用，在延伸“三角函数”的同时，为“三角恒等变换”作好铺垫例如，教材P81就安排了这样的习题：“设向量a = (cos75，sin75)，b = (cos15，sin15)，试分别计算a b=| a | b |cos及a b = x1x2 + y1y2比较两次计算的结果，你能发现什么？”在第1章“三角函数”中，我们迈出了对周期现象研究的第一步：建立了一种描述和刻划周期现象的重要的数学模型，并初步探讨了它的性质而在第3章“三角恒等变换”中，我们又将以向量为工具来进一步探讨三角函数的性质因此，从整体上看，“平面向量”的学习应该放在对周期性现象的研究这一大背景下进行这样可以更好地体现向量这工具价值本章内容的处理，从具体的生活、实践问题入手，以问题为背景，按照“问题情境数学活动意义建构数学理论数学应用反思”的顺序结构，激发学生开展活动，结合实验、观察、思考、归纳、抽象、概括、运用，力求使学生对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断，数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际应用问题)在学习向量时或在学习向量后，要有意识地将向量与三角恒等变形、与几何、与代数之间的相应内容进行有机的联系，并通过比较和感受向量在处理三角、几何、代数等各不同数学分支问题中的独到之处和桥梁作用，认识数学的整体性这样，有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体验数学的发现与创造过程教学方法与教学建议：向量既是代数的对象，又是几何的对象作为代数对象，向量可以运算作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、角度等几何对象；向量有大小，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量“数”的特征，方向反映了向量“形”的特征，是数学中数形结合思想的典型体现教学中应加强几何直观，突出几何直观对理解抽象数学概念的作用要强调向量概念的几何背景，理解向量运算(加、减、数乘、数量积)及其性质的几何意义在教学中要突出数形结合思想，注意从形和数两个方面来理解、研究向量及其运算教学中应强调数学建模所谓数学模型，是指针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表示出来的一种数学结构教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察，分析和比较，得出抽象的数学模型，从而使数学的学术形态转化为学生易于接收的教育形态例如，物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念都是向量概念的原型，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型同时，注重向量模型的运用，引导现实地解决一些物理和几何问题这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用在向量概念教学中，应根据学生的生活经验，创设丰富的情境例如，物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念都是向量概念的原型，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型教学中要展现并让学生经历这个抽象的过程同时，注重向量模型的运用，引导现实解决一些物理和几何问题这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用与数学中的概念一样，数学对象的运算也是一种数学模型，它也有一个建构的过程，它同样是从原型中抽象出来的如向量的加法就是从位移的积累，从分力和合力的关系中抽象出来的特别地，向量的数量积是以作功为原型抽象出来的教学中要特别重视向量的运算运算是向量的核心内容，要根据现实的原型，自觉地“构造”运算虽然学生对运算并不陌生，但是，在此之前他们接触的运算只有数的运算、字母(式)的运算(还