全国通用2017届高考数学第六章数列6.4数列求和数列的综合应用课件理新人教B版.pptx

6 4数列求和 数列的综合应用 高考理数 1 求数列的前n项和的方法 1 公式法 i 等差数列的前n项和公式Sn na1 ii 等比数列的前n项和公式a 当q 1时 Sn na1 b 当q 1时 Sn 2 分组求和 把一个数列分成几个可以直接求和的数列 3 裂项相消 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式 相加过程中消去中间项 只剩有限 知识清单 项再求和 4 错位相减 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 5 倒序相加 把数列正着写和倒着写再相加 例如等差数列前n项和的推导方法 2 常见的拆项公式 1 2 3 4 5 若 an 为等差数列 公差为d d 0 an 0 则 3 常见数列的前n项和 1 1 2 3 n 2 2 4 6 2n n2 n 3 1 3 5 2n 1 n2 4 12 22 32 n2 5 13 23 33 n3 1 一般地 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 an bn 的前n项和时 可采用错位相减法 2 用错位相减法求和时 应注意 1 要善于识别题目类型 特别是等比数列公比为负数的情形 2 在写出 Sn 与 qSn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便于下一步准确地写出 Sn qSn 的表达式 3 应用等比数列求和公式必须注意公比q 1这一前提条件 如果不能确定公比q是否为1 应分两种情况进行讨论 这在以前的高考中经常考查 例1 2016浙江宁波二模 18 14分 设数列 an 满足a1 3a2 32a3 3n 1an n N 1 求数列 an 的通项 2 设bn 求数列 bn 的前n项和Sn 突破方法 方法1错位相减法求和 解析 1 因为a1 3a2 32a3 3n 1an 所以当n 2时 a1 3a2 32a3 3n 2an 1 得3n 1an n 2 所以an n 2 在 中 令n 1 得a1 适合an 所以an 2 因为bn 所以bn n 3n 所以Sn 3 2 32 3 33 n 3n 所以3Sn 32 2 33 3 34 n 3n 1 得2Sn n 3n 1 3 32 33 3n 即2Sn n 3n 1 所以Sn 1 1 2016广西玉林贵港联考 17 12分 已知数列 an 中 a1 3 a2 5 且 an 1 是等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 若bn nan 求数列 bn 的前n项和Tn 解析 1 an 1 是等比数列且a1 1 2 a2 1 4 2 an 1 2 2n 1 2n an 2n 1 2 bn nan n 2n n 故Tn b1 b2 b3 bn 2 2 22 3 23 n 2n 1 2 3 n 令T 2 2 22 3 23 n 2n 则2T 22 2 23 3 24 n 2n 1 两式相减 得 T 2 22 23 2n n 2n 1 n 2n 1 T 2 1 2n n 2n 1 2 n 1 2n 1 1 2 3 n Tn n 1 2n 1 1 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列 在求和时常用 裂项法 分式数列的求和多用此法 2 利用裂项相消法求和时 应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项 也有可能前面剩两项 后面也剩两项 有些情况下 裂项时需要调整前面的系数 使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等 例2 2013江西 17 12分 正项数列 an 的前n项和Sn满足 n2 n 1 Sn n2 n 0 1 求数列 an 的通项an 2 令bn 数列 bn 的前n项和为Tn 证明 对于任意的n N 都有Tn 解题导引 1 将已知等式变形求Sn 由an与Sn的关系求an 2 求bn 结合式子特点裂项求和 用放缩法证Tn 方法2裂项相消法求和 解析 1 由 n2 n 1 Sn n2 n 0 得 Sn n2 n Sn 1 0 由于 an 是正项数列 所以Sn 0 Sn n2 n 于是a1 S1 2 n 2时 an Sn Sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2n 经验证a1 2符合上式 综上 数列 an 的通项an 2n 2 证明 由于an 2n bn 则bn 所以Tn 1 2 1 2016广东广州汕头模拟 已知等比数列 an 的首项a1 2 前n项和为Sn 且a2是3S2 4与2 S1的等差中项 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn n 1 an Tn是数列 bn 的前n项和 n N 求Tn 解析 1 由题意得2a2 3S2 S1 2 可得公比q an 2 由 1 知 an 则Tn b1 b2 bn 2 3 4 n 1 Tn 2 3 4 n 1 得Tn 2 n 1 4 n 1 4 2 2 n 1 6 Tn 12 数列常与函数 不等式问题综合 以数列为载体 考查不等式恒成立问题 考查数列相关不等式的证明 常见的考查方式与解答办法有如下三种 1 判断数列中的一些不等关系 可以利用数列的单调性比较大小 也可以利用数列对应函数的单调性进行大小比较 注 对应函数y f x x 0 2 以数列为载体 考查不等式恒成立问题 可转化为函数的最值问题 3 考查与数列有关的不等式证明问题 此类问题往往借助构造函数去证明 或者直接利用放缩法证明 例3 2013安徽 20 12分 设函数fn x 1 x x R n N 证明 1 对每个n N 存在唯一的xn 满足fn xn 0 2 对任意p N 由 1 中xn构成的数列 xn 满足00时 f n x 1 0 故fn x 在 0 内单调递增 方法3与数列有关的综合应用问题 由于f1 1 0 当n 2时 fn 1 0 故fn 1 0 又fn 1 0时 fn 1 x fn x fn x 故fn 1 xn fn xn fn 1 xn 1 0 由fn 1 x 在 0 内单调递增知 xn 1 xn 故 xn 为单调递减数列 从而对任意n p N xn p xn 对任意p N 由于 fn xn 1 xn 0 fn p xn p 1 xn p 0 式减去 式并移项 利用0 xn p xn 1 得xn xn p 因此 对任意p N 都有0 xn xn p 3 1 2016甘肃西北师大附中3月月考 17 12分 若数列 an 的前n项和为Sn 点 an Sn 在y x的图象上 n N 1 求数列 an 的通项公式 2 若c1 0 且对任意正整数n都有cn 1 cn loan 求证 对任意正整数n 2 总有 解析 1 Sn an 当n 2时 an Sn Sn 1 an 1 an an an 1 又 S1 a1