分形几何概述1.ppt

分形几何概述 海岸线长度问题 二十世纪七十年代 法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中讨论英国海岸线的长度 他发现 这个问题取决于测量所使用的尺度 采用公里做单位 一些几米和几十米的曲折会被忽略 如果采用米做单位 测得的长度会增加 但厘米以下的量仍然无法反映 测量单位的缩小使测得的长度增加 由于在自然尺度之间有许多个数量级 这种增加不会停止 海岸线的长度会趋于无限长 也就是说 长度不是海岸线的定量特征 英国的海岸线地图 数学的不规则图形 实际上 在曼德尔勃朗特的问题提出之前 数学家就曾经构造过多种不规则的几何图形 他们具有和海岸线相似的性质 Cantor集 Cantor在1883年构造了如下一类集合 取一段欧式长度为l的直线段 将该线段三等分 去掉中间的一段 剩下两段 再将剩下的两段分别三等分 各去掉中间的一段 剩下四段 将这个操作进行下去 直至无穷 可得到一个离散的点集 点数趋于无穷多 而长度趋于零 经无限次操作所得到的离散点集称为Cantor集 Cantor集C Cantor集C中的点的表示 Cantor集C的基本性质 1 长度 为零 2 没有孤立点 3 闭集 4 自相似 Koch雪花线 瑞典数学家科赫 H vonKoch 在1904年提出了一种曲线 它的生成方法是把一条直线段分成三段 将中间的一段用夹角为60度的两条等长折线来代替 形成一个生成元 然后再把每个直线段用生成元进行代换 经无穷次迭代后就呈现出一条有无穷多弯曲的Koch曲线 Koch曲线 Koch曲线的生成过程 第0步 第1步 Koch曲线的生成过程 第2步 第3步 Koch曲线 Koch曲线 续 Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼 同样的道理 长度无限 面积为零 而曲线还有 界 另外 有一个特点 当取其中的一部分展开 与整体有完全的自相似性 似乎是一个什么东西的无数次的自我复制 Koch曲线与雪花曲线 连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线 Koch曲线的一些基本性质 Koch曲线具有与Cantor集 Sierpinski垫片类似的性质 长度等于无穷 Sierpinski集 首先 将一个等边三角形四等分 得到四个小等边三角形 去掉中间的一个 保留它的边 将剩下的三个小三角形再分别进行四等分 并分别去掉中间的一个 保留它的边 重复操作直至无穷 得到一个面积为零 线的欧式长度趋于无穷大的图形 这个图形被人们称为谢尔宾斯基垫片 Sierpinsk垫片 Sierpinsk垫片的生成过程 第0步 第1步 Sierpinsk垫片的生成过程 第2步 第3步 Sierpinski垫片的基本性质 与Cantor集类似 面积等于0 Sierpinski地毯 将一个正方形九等分 去掉中间的一个 保留四条边 剩下八个小正方形 将这九个小正方形再分别进行九等分 各自去掉中间的一个保留它们的边 重复操作直至无穷 Sierpinski地毯 对一个正六面体 将它的每条边进行三等分 即对正六面体进行27等分 去掉体心和面心处的7个小正六面体 剩下20个小正六面体 并保留它们的表面 重复操作直无穷 得到的图形 体积趋于零 而其表面的欧式面积趋于无穷大 Sierpinski海绵 Sierpinski集的共同特点 它们都是经典几何无法描述的图形 是一种 只有皮没有肉 的几何集合 它们都具有无穷多个自相似的内部结构 任何一个分割后的图形放大后都是原来图形的翻版 分形几何的历史 萌芽期 十九世纪末 二十世纪初 Cantor集 Weierstrass函数等的提出 形成期 二十世纪六 七十年代 Mandelbrot的大量工作 1 1967年 Science 英国的海岸线有多长 2 1975年 分形对象 形 机遇和维数 分形 fractal 这个词源于这本书 它是从意思是 不规则的或者断裂的 拉丁语 fractus 派生出来的 发展期 二十世纪八十年代至今 1 Hutchinson 1981 分形与自相似 给出了自相似集合的数学理论基础 2 Mandelbrot 1982 自然界的分形几何 3 Barnsley 1988 Fractaleverywhere 4 Falconer 1990 分形几何 数学基础及其应用 分形的概念 分形理论的创始人B B Mandelbrot 有人译为曼德尔布罗特 有人译为曼得勃罗等等通过对这些不具有特征长度 欧氏几何学研究不了的问题 提出了一个全新的概念 分形 分形几何 分数维 fractal fractal一词是由Mandelbrot自创的 来自于描述碎石的拉丁文fractus曼德布罗特擅长于形象的 空间的思维 具有把复杂问题化为简单的 生动的 甚至彩色的图象的本领 他是个数学特别是几何学与计算机兼通的难得人才 1967年发表于美国 科学 杂志上的 英国的海岸线有多长 的划时代论文 是他的分形思想萌芽的重要标志 1973年 在法兰西学院讲课期间 他提出了分形几何学的整体思想 并认为分维是个可用于研究许多物理现象的有力工具 定义1如果一个集合在欧式空间中的Hausdorff维数DH恒大于其拓扑维数DT 则称该集合为分形集 简称分形 由Mandelbrot在1982年提出 四年后 他又提出了一个更是实用的定义 定义2组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形 分形的概念 分形看作具有如下所列性质的集合F F具有精细结构 即在任意小的比例尺度内包含整体 F是不规则的 以致于不能用传统的几何语言来描述 F通常具有某种自相似性 或许是近似的或许是统计意义下的 F在某种方式下定义的 分维数 通常大于F的扑维数 F的定义常常是非常简单的 或许是递归的 迭代 动力系统 的问题 Julia集的定义 Julia集的图象 C 1 C 0 5 0 5i C 0 2 0 75i C 0 64i Mandelbrot集 在复平面中 M集是通过下述迭代式产生的 Zn 1 Zn 2 C 其中 Z和c都是复数 由各自的实部和虚部组成Xn 1 iYn 1 Xn iYn 2 Cx iCy 展开得 Xn 1 Xn2 Yn2 Cx 实部 Yn 1 2 XnYn Cy 虚部 对上述迭代式反复进行迭代 得到的数集 称为Mandelbrot集 简称M集 在迭代过程中 Z的初值定为0 而C选择一个不为0的数 使C在复平面的某个区域内有规律地变化 对于二次函数fc Z Z 2 C的迭代 定义M集为 M c C fck 0 k 用不同的C值反复进行迭代 由此产生的Zk序列有两种情况 1 Zk序列自由地朝着无穷大的方向扩散 即发散 2 Zk序列被限制在复平面的某一区域内 即收敛 建立判断收敛与发散的判断准则 对于那些收敛的Zk序列的点 设置某种颜色的色调 就可以显示M集的计算机图象 对于那些发散的Zk序列的点 根据发散速度的不同 按照给定的规则着上不同颜色的色调 就能显示M集周围的图象 Mandelbrot集 分形几何的研究对象 自仿射集 每个映射都是压缩的仿射映射 迭代函数系统的不变集 每个映射都是压缩映射 分形函数 如 Weierstrass函数 随机分形 如 随机Koch曲线 如何来研究分形 Mandelbrot提出了一个分形维数的概念 在Euchlid几何学中我们知道维数的概念点 0维 线 1维 面 2维 体 3维 如何来研究分形 续 将长度为1的线段分为n等分 每段长为r 则n r 1 将面积为1的正方形n等分 每一个小正方形的边长为r 则n r2 1 将体积为1的正方体n等分 每一个小正方体的边长为r 则n r3 1 分形维数 从上面的等式中可以看到 幂次r实际就是该几何体的空间维数 可以表示为 n rD 1对上式两边取对数得 显然 D具有维数的概念 分形维数 续 对Koch曲线而言 分形维数 续 在第n步时 其等长折线段总数为4n 每段的长度为则Koch曲线的维数为 英国海岸线的维数为D 1 25 Mandelbrot Koch曲线 4 3 1 2618Cantor集 2 3 0 6309Sierpinski集 垫片 3 2 1 5850地毯 8 3 1 8927海绵 20 3 2 7268 图形迭代生成分形 给定初始图形 依照某一规则对图形反复作用得到图形序列其极限图形是分形 作用规则称为生成元 例如 Cantor集的生成元是VanKoch雪花曲线的生成元是 其它实例 Minkowski 香肠 Sierpinski地毯 Hilbert曲线 花草树木 L系统 生物学家Lindenmayer提出 一个L系统可表示为一个有序的三元素集合 其中 V是一些运动过程集合 w是初始形状 P是生成式 例如 F表示向前距离d 表示左转弯a 表示右转弯 表示压栈 表示出栈 花草树木 L系统 函数迭代产生的分形 用Z表示复数 定义在复平面上的函数f Z 称为复变函数 任意给定初始复数值 定义复数序列对于什么样的初始值 复数序列收敛或有界 Julia集考虑复变函数迭代固定复参数c 使得迭代序列有界的初值在复平面上的分布图形称为Julia集 亦即迭代序列有界 Julia集的绘制方法 1 设定初值p q 最大的迭代次数N 图形的大小a b 及使用的颜色数K 2 设定区域的界值3 将区域分成的网格 分别以每个网格点为初值利用 3 做迭代 如果对所有的都有 则将象素 i j 置为黑色 如果从某一步n开始 则将象素 i j 置为颜色nmodK Mandelbrot集固定初值 使得迭代序列 2 有界的参数c在复平面上的分布图形称为Mandelbrot集 即迭代序列有界 记则 2 变为 分形几何的应用 图像 数据压缩方面的研究 如 对某一个静态场景的分形压缩 自然景物的模拟如 雪花 海岸线 分形山 分形树叶分形生长模型 对某一个静态场景的分形压缩 原图 分形压缩得到的图形 分形山 分形树叶 分形树叶 续1 分形理论的应用 生物学 肺 人肺的分形维数约为2 17 血管 血管直径分布的分形维数约为2 3 人脑 人脑表面的皱纹的分形维数约为2 73 2 79 蛋白质 地球物理学 海岸线 河流的干流和支流分布 地震研究 物理学和化学 超导 固体表面 高分子 天文学 材料科学 计算机图形学 经济学 语言学和情报学 自然界中的分形 股票价格曲线岩石裂缝金属损伤裂缝道路分布神经末梢的分布