设ABCDE是圆内接五边形.doc

C1-091 设ABCDE是圆内接五边形，假设AC、BD、CE、DA和EB分别平行于DE、EA、AB、BC和CD问是否可以推出这个五边形是正五边形？证明你的结论【题说】1992年英国数学奥林匹克题2【解】结论是肯定的易知1=4，2=5，又由于ABCE，所以6=7=3从而A=BB-C=D=E又2=8=9=3，所以BC=CD同理，有CD=DE=EA=AB综上知，ABCDE是正五边形C1-092 已知凸多边形的任意两边均不平行，对于它的每条边，考察与边所在直线距离最远的顶点对该边的张角证明：所有这样的张角之和等于180【题说】第二十二届（1996年）全俄数学奥林匹克十年级题7【证】对多边形的边AB，恰有一个顶点到AB所在直线a的距离最远，记这个顶点为Pa。在平面上任取一点O，过O作两条直线分别平行于PaA、PaB，这两条直线构成的对顶角称为边AB的对应角对每一条边，都可作出顶点为O的对应角首先证明：不同边的对应角决不重叠设以O为端点的射线l，在边AB的对应角内边AB所在直线为a，对应顶点为Pa，过Pa作l的平行线必交边AB于它内部的点Q过Pa作直线a的平行线b由于Pa到a的距离最远，所以多边形在平行线a、b所夹的带形中，由于多边形的边互不平行，在b上只有Pa这一点属于多边形于是线段PaQ是l的平行线截多边形所得的线段中最长的，而且最长的只有PaQ这一条也是l的平行线截多边形所得线段中最长的这就产生矛盾其次，证明这些对应角覆盖整个平面设l是以O为端点的射线，它与多边形的边及对角线均不平行l的平行线截多边形所得线段，端点在多边形的边上，可以平行移动使得一个端点与多边形的顶点重合，而线段的长度比原来增加在过顶点的这些截线中又有一条最长设它为PQ，P是多边形的顶点，Q在边AB的内部过P作AB所在直线a的平行线b因为PQ最长，所以多边形夹在a、b之间，从而P是距a最远的顶点Pa，l在AB的对应角内根据以上所述，对应角的和为360，而所有张角之和是它的一半，即180C1-093 设线段AB的长为2l，中点为C，以点C为圆心，小于l的任意长为半径，在AB上作一半圆，并从A、B作这半圆的切线，切点分别记为D、E若DE弧上任意一点F处的切线与自A、B所作切线分别交于A、B证明：AABB=l2【题说】1956年武汉市赛题5利用相似三角形【证】按题意，作出图，因为AC=BC=l，CD=CE=r（半径）故RtADCRtBEC，从而有1=6，DAC=EBC又由切线性质知，2=3，4=5，所以2+5+6=90从而有 AAC=90-2=5+6=BCB故 AACCBB即 AABB=l2C1-094 设P为单位圆周上的任意一点，A1、A2、An为圆内接正n边形的顶点求证：PA12+PA22+PAn2是常数【题说】 1957年上海市赛高三决赛题5【证】如图，在PA1O内，令POA1=，则由余弦定理，=2-2cos=2n-2S【别证】以O为原点，以OA1为实轴，以OA1为单位长，建立复平面，用复数方法来计算C1-095 假设E是正方形ABCD的边AB的中点，在边BC和CD上取点F和G，使AG和EF平行证明：线段FG和正方形ABCD的内切圆相切【题说】1960年匈牙利数学奥林匹克题3题中正方形可以改为菱形【证】如果点F给定，那么点G由条件AGEF唯一确定因此可改证：如果线段FG和正方形的内切圆相切，那么AGEF正方形的内切圆是FCG的旁切圆我们再画出该三角形的与CF边相切的旁切圆设这个圆与DC的延长线切于R点点F是两个圆的内相似心，因为它是内公切线的交点这两个圆分别与平行直线AB、DC相切，切点E、R和内相似心F在一直线上并在F的两侧设K为CD的中点，则它也是FCG的一个旁切圆与CG延长线的切点，易知所以，四边形AERG是平行四边形，AGEFC1-096 在一小岛上有一架探照灯，它照在海面上的光柱长为a（如图），并绕一垂直轴旋转其光柱末端以速度v运动证明：以最大速度v8行驶的快艇，不可能在不被探照灯照到的情况下驶到海岛【题说】1965年全俄数学奥林匹克八年级题5【证】假设快艇从A点进入探照区（以O为圆心、以a为半径的圆），分R（以A为圆心、S为半径的圆与O的重叠部分）整个区域R因此，快艇一定会被探照灯照射到C1-097 一个半圆周y以线段AB为直径C是y上与A、B不同的一点D是C到AB的垂足若y1、y2、y3是以AB为公切线的三个圆，且y2是ABC的内切圆，y1、y3同时切CD和y求证：圆y1、y2、y3有两条公切线【题说】第十一届（1969年）国际数学奥林匹克题4本题由芬兰提供【证】令AB=2r，CAB=，则不难算出O1、O2、O3（如图）的半径为O1E1=2rsin（1-sin）O2E2=r（cos+sin-1）O3E3=2rcos（1-cos）以及它们与AB的切点距AB中点O的距离E1O=r（2sin-1）E2O=r（cos-sin）E3O=r（2cos-1）由此不难得出O2E2E1E3=O1E1E2E2+O3E3E1E2于是O1、O2、O3在一直线上由对称性，这三个圆还有另一条公切线C1-098 大小不等的三个圆两两外切，半径成等差数列，以各圆心为顶点的三角形，其三个内角的大小可否成等差数列？证明你的结论【题说】1979年天津市赛一试题3【解】如图设三个圆的圆心分别为O1、O2、O3，半径依次为r-d，r，r+d，于是O1O2O3的三边分别是O1O2=2r-d，O1O3=2r，O2O3=2r+d若O1O2O3的三内角成等差数列，则必有一个角为60，并且夹这个角的两边必为2r-d与2r+d因此，由余弦定理有：（2r-d）2+（2r+d）2-2（2r-d）（2r+d）cos60=（2r）2此式左端=4r2+3d2，而右端=4r2，但由题设知d0，故上式不能成立这就证明了O1O2O3的三个内角不能成等差数列C1-099 如图，圆中的三条弦PP1、QQ1、RR1两两相交，交点分别为A、B、C已知AP=BQ=CR，AR1=BP1=CQ1求证ABC是正三角形【题说】1979年北京市赛一试题3【证】如图，设AP=BQ=CR=m，AR1=BP1=CQ1=n，BC=x，AC=y，AB=z则由相交弦定理得三式相加得m=n，因此x=y=z，故ABC是正三角形C1-100 位于圆形斗兽场中心的狗看见墙那里有