波函数的几种不.ppt

波函数的几种不同的形式 三 平面波的波动方程WaveEquationofPlaneWave 平面波的波动方程 将平面简谐波的波函数对t和x分别求二阶偏导数 有 具有普遍意义 三维空间 一维简谐波的波函数就是此波动方程的解 Y 杨氏弹性模量 体密度 2 固体棒中的纵波 3 固体中的横波 G 切变模量 G Y 固体中 横波 纵波 波速 1 弹性绳上的横波 FT 绳的切向张力 L 绳的线密度 4 流体中的声波 k 体积模量 0 无声波时的流体密度 5 水面波 h0 水的平均深度 6 5 波的能量和能流 一 波的能量 以横波为例 其波函数为 任取一体积元 V 其质量 m V 1 微元的动能 2 微元的势能 各微元的势能和动能相等 而且势能的变化和动能的变化 步调一致 3 总机械能 4 能量密度 单位体积中的能量 5 平均能量密度 在一个周期内的能量密度的平均值 特点 D 能量以速度u传播 平衡位置 y 0 Ek Ep最大 振幅处 y A Ek Ep为0 二 波的能流 描述波的能量传播的物理量 1 能流 单位时间内垂直通过某一截面的能量 为截面所在位置的能量密度 显然能流是随时间周期性变化的 但它总为正值 设波速为u 在时间内通过垂直于波速截面的能量 能流为 2 平均能流 在一个周期内能流的平均值称为平均能流 3 能流密度 通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流称为能流密度或波的强度 能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的平均能量 能流密度是矢量 其方向与波速方向相同 单位 W m2 波在媒质中传播时 媒质总要吸收一部分能量 吸收的能量转换为媒质的内能和热 因此 波的振幅要减小 波的强度将减弱 这种现象称为波的吸收 4 波的吸收 为吸收系数 取决于媒质和波的频率 注意 在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在传播方向上振幅不变 若不考虑能量吸收即能量守恒 可讨论波传播时振幅的变化 三 平面波 球面波 柱面波的振幅 所以 平面波振幅不变 1 平面波 由于振动的相位沿波速方向随距离的增加而落后的关系 与平面波类似 球面简谐波的波函数 所以球面波的振幅与离波源的距离成反比 如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r处的振幅为 2 球面波 同理 初相位为零 所以柱面波的振幅与离波源的距离的平方根成反比 如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r处的振幅为 3 柱面波 同理 则柱面简谐波的波函数 一 惠更斯原理 1 媒质中任一波面上的各点 都是发射子波的新波源 2 其后任意时刻 这些子波的包络面就是新的波面 1 表述 只要已知某时刻的波面和波速 可以确定下时刻的波面和波的传播速度 2 惠更斯原理的意义 3 惠更斯原理的应用 解释波的衍射 波的散射 波的反射 折射等现象 6 6波的反射和透射 波的传播 球面S上任一点都可以看成发射子波的波源 经 t时间子波行进到包络面S2 二 波的叠加原理 独立性原理 若波动函数y1 x t y2 x t 满足线性波动方程 表述 即y1 y2分别是它的解 则它们的任一线性组合y C1y1 C2y2也是方程的解 即上述波动方程遵从叠加原理 无论是否相遇 各列波将保持原有的特性 频率 波长和振动方向等 不变 按照原来的方向继续前进 就象没有遇到其他的波一样 在其相遇区域内 任一点处质点的的振动为各个波单独存在时所引起的振动的矢量和 实际表现 注意 波的叠加原理仅限于线性波动现象 例如对强冲击波则不成立 三 弦上横波的反射与透射 定义媒质特征阻抗 1 振幅 振幅反射系数 振幅透射系数 2 能量 能量反射系数 能量透射系数 一 波的干涉 1 干涉现象 在一定条件下 两波相遇 在媒质中某些位置的点振幅始终最大 另些位置振幅始终最小 而其它位置 振动的强弱介乎二者之间 保持不变 称这种稳定的叠加图样为干涉现象 2 产生干涉的条件 两波源的波振幅相近或相等时干涉现象明显 两波源具有恒定的相位差 两波源的振动方向相同 两波源具有相同的频率 满足上述条件的称为相干波 3 干涉加强 减弱条件 设有两个频率相同的波源和 6 6波的干涉驻波 波的干涉 S1 S2的振动表达式为 传播到P点引起的振动为 在P点的振动为同方向同频率振动的合成 由叠加原理P点合振动 由于波的强度正比于振幅平方 对空间不同的位置 都有恒定的 因而合强度在空间形成稳定的分布 即有干涉现象 干涉加强的条件 干涉减弱的条件 当两波源的初相位相同时 相干条件可写为 干涉加强 干涉减弱 例1 在同一媒质中相距为20m的两平面简谐波源S1和S2作同方向 同频率 100Hz 的谐振动 振幅均为A 0 05m 点S1为波峰时 点S2恰为波谷 波速u 200m s 求 两波源连线上因干涉而静止的各点位置 解 选S1处为坐标原点O 向右为x轴正方向 设点S1的振动初相位为零 由已知条件可得波源S1和S2作简谐振动的运动方程分别为 S1发出的向右传播的波的波函数为 S2发出的向左传播的波的波函数为 因干涉而静止的点的条件为 化简上式 得 所以在两波源的连线上因干涉而静止的点的位置分别为 将代入 可得 单极子声源波场不同时刻切片图 t 1E 5 s t 2E 4 s 偶极子声源波场不同时刻切片图 t 1E 5 s t 2E 4 s t 4E 4 s t 6E 4 s t 1E 5 s 时刻的波场图 四极子声源的波场图 四个同相点源叠加后的波场图 1 驻波 两列振幅相同 而传播方向相反的相干波 其合成波是驻波 二 驻波 驻波是干涉的特例 设有两列相干波 振幅相同 分别沿x轴正 负方向传播 选初相位均为零的表达式为 2 驻波的形成 其合成波称为驻波 其表达式 利用三角函数关系求出驻波的表达式 简谐振动 简谐振动的振幅 它表示各点都在作简谐振动 各点振动的频率相同 是原来波的频率 但各点振幅随位置的不同而不同 此式为振动表达式 无波形的跑动现象 即非行波 Standingwave Travelingwave 振幅为 3 驻波的特征 波节和波腹 波节 振幅为零的点称为波节 波腹 振幅最大的点称为波腹 两相邻波节间的距离 2 两相邻波腹或相邻波节间的距离 2 两相邻波节与波腹间的距离 4 波节的位置为 波腹的位置为 有些点不动 波节 有些点振动最强 波腹 相位 波形 相邻波节之间相位相同 波节两侧相位反相 相位差2 波形不传播 能量不传播 驻 结论 在波节两侧点的振动相位相反 同时达到反向最大或同时达到反向最小 速度方向相反 两个波节之间的点其振动相位相同 同时达到最大或同时达到最小 速度方向相同 时间部分提供的相位对于所有的x是相同的 而空间变化带来的相位是不同的 相位取决于coskx的正负 弹性波 波阻Z u较大的媒质称为波密媒质 较小的媒质称为波疏媒质 当一列波从波疏媒质入射到波密媒质的界面时 在分界面处 反射波在反射点有 的相位突变 等效于波多走或少走半个波长的波程 这种现象称为半波损失 三 半波损失 6 6 P157 当一列波从波密媒质入射到波疏媒质的界面时 在分界面处 反射波与入射波同相位 没有半波损失 形成的驻波在界面处是波节 界面处称为固定端 有半波损失 无半波损失 形成的驻波在界面处是波腹 界面处称为自由端 考虑入射波被全反射时 入射波与反射波形成驻波 例1 解 由入射波波函数得0点的振动方程为 把0点看作反射波的波源 考虑半波损失 得任意一点x处反射波引起的振动为 由入射波波函数化成标准形式可求得 代入上式得 说明 1 考虑半波损失时也可减 结果等效 2 考虑半波损失时也可不加减 而在计算波程时加减 2 结果等效 例题2 一列沿x轴方向传播的入射波的波函数为 在x 0处反射 反射点为一节点求 1 反射波的波函数 2 合成波的波函数 3 波腹 波节的位置坐标 解 1 由于有相位突变 故反射波的波函数为 2 根据波的叠加原理 合成波的波函数为 3 形成波腹的各点 振幅最大 即 亦即 故波腹点坐标为 形成波节各点 振幅最小 即 即 x x 只取负值及零 例3 已知沿 X方向传播的平面简谐波的函数为 求 反射波波函数 在介质1 2分界面处L 2 25m发生反射 且Z2 Z1 解 波在界面处是由波疏介质进入波密介质 分界面处反射时存在半波损失 由入射波波函数知A点振动方程为 在A点反射后 由于存在半波损失 所以 法一 选原点 写出反射点振动方程 由入射波波函数知A点振动方程为 由于A点处的振动方程y反A已知 则反射波 沿 X方向传播 的波函数为 L 2 25m 法二 因反射波的振幅 频率 波速均已知 关键求反射波原点的初相位 入射波 入射波在A点比原点相位落后 反射波在原点比A点相位落后 在固定端反射 有半波损失 反射波相位落后 反射波比入射波在原点相位落后 则反射波方程 反射波的波函数可写为 声波是机械纵波 频率高于20000赫兹的叫做超声波 声的产生 传播和接收 为听觉服务 如声音的音质 音响效果 声学在建筑学方面的应用 噪声的避免 声波测井等 20到20000赫兹之间能引起听觉的称为可闻声波 简称声波 频率低于20赫兹的叫做次声波 利用声的传播特性研究媒质的微观结构 利用声波的作用来促进化学反应 为科技服务 研究的分类 声的概念不再局限于听觉范围 几乎是振动和机械波的同义词 声波 6 8声波 媒质中有声波传播时的压强与无声波传播时的静压强之差称为声压 声压 稀疏区声压为负 稠密区声压为正值 由于疏密的周期性 声压也是周期变化 声强 声强级 声强就是声波的平均能流密度 即单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的声波能量 声压的单位 帕 Pa 通常讲话 0 1Pa 离飞机数米 几百帕 这样的超声波在几个毫米范围内有比重力加速度g大十多万倍的正负加速度和近百个大气压 可见它的威力 因此 有重要的应用 式中声压的振幅 由此可知 声强与频率的平方 振幅的平方成正比 声强 引起人的听觉的声波 还有一定的声强范围 大约为10 12瓦 米2 1瓦 米2 声强太小听不见 太大会引起痛觉 定义声强级L为 单位为贝耳 Bel 1Bel 10dB 单位为分贝 dB 声强级 由于可闻声强的数量级相差悬殊 通常用声强级来描述声强的强弱 规定声强I0 10 12瓦 米2作为测定声强的标准 有的地方规定户外声音不得大于100分贝 如炮声声强1瓦 米2 声强级120分贝 在两端固定长为L的弦形成驻波的波长必须满足下列条件 二 两端固定的弦的振动 简正模式 即弦线上形成的驻波波长 频率均不连续 这些频率称为弦振动的本征频率 对应的振动方式称为简正模式 最低的频率称为基频 其它整倍数n频率为n次谐频 基频及各次谐频可以通过调节弦长 弦张力及线密度得到 驻波条件 两端固定的弦 当距一端L n的点受击而振动时 该点为波节的那些模式 对应于n次 2n次 谐频 就不出现 使演奏的音色更优美 系统究竟按那种模式振动 取决于初始条件 弦的任一振动均可看作各次谐频振动的线性叠加 三 声的吸收 交混回响 1 声的吸收 当声音在介质中传播时 由于介质的内摩擦力损耗 声强很快减小 实验表明 2 交混回响 声源停止振动后声波经过墙壁多次反射和吸收后才消失的现象 声的吸收对房屋的声学性质很重要 交混回响时间的长短是建筑物的重要声学性质 一 多普勒效应 6 9多普勒效应DopplerEffect 1 定义 因波源或观察者相对于媒质运动 而使观察者接受到的频率不同于波源的频率现象称为多普勒效应 当波源或观察者相对于媒质运动时 三者可能互不相同 例 当鸣笛的火车开向站台 站台上的观察者听到的笛声变尖即频率升高 相反当火车离开站台 听到的笛声频率降低 1 波源不动 观察者相对于媒质以速度VR沿二者连线运动 设波源的频率为 S 波长为 波速为u 二 多普勒效应的三种情况 波源不动 波的频率 等于波源的频率 S 观察者接收到的频率 单位时间内接收到完整波的个数 观察者以速度VR接近波源 单位时间内波相对于观察者传播的距离 表明 观察者接近波源时接收到的频率提高 观察者以速度VR离开波源 同理可得观察者接受到的频率 表明 观察者远离波源时接收到的频率降低 可合写为 频率变化原因 波源相对于观察者与相对于媒质的波速不同 若波源S以速度Vs接近观察者 2 观察者不动 波源相对于媒质以速度Vs沿二者连线运动 波在媒质中的波长 波的频率为 观察者不动 观察者接收到的频率 等于波的频率 波长 波传播时 在同一波线上两个相邻相位差为2 的质元之间的距离 若波源S以速度Vs离开观察者 则 表明 若波源S以速度Vs接近观察者 观察者接收到的频率升高 由于观察者不动 则波的频率 等于观察者接收到的频率 表明 若波源S以速度Vs离开观察者 观察者接收到的频率降低 同理可得观察者接受到的频率 频率变化原因 媒质中的波长因波源的运动而发生变化 3 波源和观察者同时相对媒质运动 当波源和观察者相向运动时 观察者接受到的频率为 当波源和观察者彼此离开时 观察者接受到的频率为 三 冲击波 当波源速度大于波速时会产生冲击波 这时波面的包络面呈圆锥状 称为马赫锥 空气动力学的重要参数 锥面是波前 锥面外没有波 若波源速度超过波速 VS u 超音速飞机会在空气中激起冲击波 飞行速度与声速的比值VS u 称马赫数 决定 角 例题1 一时速为80km h的列车向车站驶来 1 列车上汽笛频率为1000Hz 站立在站台上的旅客听到的汽笛的频率是多少 2 若同样频率的汽笛在车站上鸣叫 列车内旅客听到的汽笛的频率为多少 声速