浙江省台州市高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1“a4”是“a216”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件2已知点（2，1）在双曲线c：=1（ab0）的渐近线上，则c的离心率为（）ab2cd3若“x，cosxm”是真命题，则实数m的最小值为（）abcd4在边长为1的正三角形abc中，设d，e分别为ab，ac的中点，则=（）abcd05已知三棱柱abca1b1c1的底面是锐角三角形，则存在过点a的平面（）a与直线bc和直线a1b1都平行b与直线bc和直线a1b1都垂直c与直线bc平行且直线a1b1垂直d与直线bc和直线a1b1所成角相等6设函数f（x）=sinxcos2x，则下列结论中错误的为（）a点（，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心b直线x=是函数y=f（x）图象的一条对称轴c是函数y=f（x）的周期d函数y=f（x）的最大值为17已知正实数a，b满足a2b+40，则u=（）a有最大值为b有最小值为c没有最小值d有最大值为38如图，在三棱锥pabc中，ab=ac=pb=pc=10，pa=8，bc=12，点m在平面pbc内，且am=7，设异面直线am与bc所成角为，则cos的最大值为（）abcd二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分.、共36分.9已知全集为r，集合a=x|x22x0，b=x|1x3，则rb=，ab=10某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为6的正方形，俯视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该几何体的体积是，表面积是11设等差数列an的前n项和sn=n2+bn+c（b，c为常数，nn*），若a2+a3=4，则c=，b=12已知函数f（x）=，则f（f（2）=，不等式f（x3）f（2）的解集为13已知，是夹角为的两个单位向量，非零向量=x+y，x，yr，若x+2y=2，则|的最小值为14平面直角坐标系xoy中，直线y=5与抛物线c：x2=2py（p0）交于点a，b，若oab的垂心为c的焦点，则p的值为15若函数f（x）=（2x2ax6a2）ln（xa）的值域是0，+），则实数a=三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x1，在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且f（b）=1（）求b；（）若=3，求b的取值范围17如图，在菱形abcd中，bad=60，平面bdef平面abcd，四边形bdef是正方形，点m在线段ef上， =（）当=，求证：bm平面ace；（）如二面角abmc的平面角的余弦值为，求实数的值18已知a0，br，函数f（x）=4ax22bxa+b的定义域为0，1（1）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；（2）设f（x）的最大值和最小值分别为m和m，求证：m+m019如图，椭圆c： +=1（ab0）的左焦点为f1（1，0），离心率是e，点（1，e）在椭圆上（）求椭圆c的方程；（）设点m（2，0），过点f1的直线交c于a，b两点，直线ma，mb与直线x=2分别交于p，q两点，求mpq面积的最大值20已知数列an，a1=a（ar），an+1=（nn*）（1）若数列an从第二项起每一项都大于1，求实数a的取值范围；（2）若a=3，记sn是数列an的前n项和，证明：snn+2015-2016学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1“a4”是“a216”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由a216得a4或a4，则“a4”是“a216”的充分不必要条件，故选：a2已知点（2，1）在双曲线c：=1（ab0）的渐近线上，则c的离心率为（）ab2cd【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得a=2b，运用双曲线的离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：双曲线c：=1（ab0）的渐近线方程为y=x，由题意可得=1，即a=2b，c=a，可得e=故选：d3若“x，cosxm”是真命题，则实数m的最小值为（）abcd【考点】全称命题【分析】由x的范围求出cosx的范围，然后结合“x，cosxm”是真命题求得m的最小值【解答】解：当x，时，cosx，又“x，cosxm”是真命题，m，即实数m的最小值为故选：c4在边长为1的正三角形abc中，设d，e分别为ab，ac的中点，则=（）abcd0【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意画出图形，把，用基底表示，代入，展开得答案【解答】解：如图，=（）（）=（）（）=故选：b5已知三棱柱abca1b1c1的底面是锐角三角形，则存在过点a的平面（）a与直线bc和直线a1b1都平行b与直线bc和直线a1b1都垂直c与直线bc平行且直线a1b1垂直d与直线bc和直线a1b1所成角相等【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对于a，过点a与直线a1b1平行的平面经过b，与直线bc相交，不正确；对于b，过点a与直线bc垂直的平面存在，则cbab，与底面是锐角三角形矛盾，不正确对于c，过点a与直线bc平行且直线a1b1垂直，则cbab，与底面是锐角三角形矛盾，不正确；对于d，存在过点a与bc中点的平面，与直线bc和直线ab所成角相等，与直线bc和直线a1b1所成角相等，正确故选：d6设函数f（x）=sinxcos2x，则下列结论中错误的为（）a点（，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心b直线x=是函数y=f（x）图象的一条对称轴c是函数y=f（x）的周期d函数y=f（x）的最大值为1【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】对于a选项，用中心对称的充要条件，直接验证f（2x）+f（x）=0是否成立即可判断其正误；对于b选项，用轴对称的条件直接验证f（x）=f（x）成立与否即可判断其正误；对于c选项，用周期函数的定义直接验证f（x+）=f（x）成立与否即可判断其正误；对于d选项，利用三角函数的性质即可直接判断【解答】解：a、f（2x）+f（x）=sin（2x）cos2（2x）+sinxcos2x=sinxcos2x+sinxcos2x=0，点（，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心，故a正确；b、f（x）=sin（x）cos2（x）=sinxcos2x=f（x），f（x）关于直线x=对称，故b正确；c、f（x+）=sin（+x）cos2（+x）=sinxcos2x=f（x），不是函数y=f（x）的周期，故c错误；d、sinx1，1，cos2x1，1，可得f（x）=sinxcos2x的最大值为1，故d正确故选：c7已知正实数a，b满足a2b+40，则u=（）a有最大值为b有最小值为c没有最小值d有最大值为3【考点】基本不等式【分析】a2b+40，可得ba2+4，a，b0可得，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：a2b+40，ba2+4，a，b0a+ba2+a+4，u=33=33=，当且仅当a=2，b=8时取等号故选：b8如图，在三棱锥pabc中，ab=ac=pb=pc=10，pa=8，bc=12，点m在平面pbc内，且am=7，设异面直线am与bc所成角为，则cos的最大值为（）abcd【考点】异面直线及其所成的角【分析】取bc中点n，连结an，pn，则可证pan是等边三角形，过a作平面pbc的垂线ao，则o为pn的中点，求出ao的长，利用勾股定理可得出om的长，即m的轨迹以o为坐标原点建立空间坐标系，设m的坐标（x，y，0），求出的坐标，利用向量求出夹角，根据x，y的范围得出cos的最值【解答】解：取bc中点n，连结an，pn，ab=ac=pb=pc=10，bc=12，an=pn=8，pa=8，pan是等边三角形，anp=60anbc，pnbc，anp为二面角abcp的平面角过a作ao平面pbc，连结om，则o为pn的中点，on=pn=4，ao=4om=1m的轨迹是以o为圆心，以1为半径的圆以平面pbc内过o点平行于bc的直线为x轴，以pn为y轴，以oa为z轴建立空间直角坐标系如图则a（0，0，4），b（6，4，0），c（6，4，0），设m（x，y，0），则x2+y2=1=（x，y，4），=（12，0，0）|=7，|=12， =12xcos=当x=1时，cos取得最大值故选a二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分.、共36分.9已知全集为r，集合a=x|x22x0，b=x|1x3，则rb=（，13，+），ab=（2，3）【考点】交集及其运算；补集及其运算【分析】求出a中不等式的解集确定出a，由b及全集r，求出b的补集，找出a与b的交集即可【解答】解：由a中不等式变形得：x（x2）0，解得：x0或x2，即a=（，0）（2，+），全集为r，b=（1，3），rb=（，13，+），则ab=（2，3），故答案为：（，13，+）；（2，3）10某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为6的正方形，俯视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该几何体的体积是72，表面积是120【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知几何体是一个三棱柱，此三棱柱的高为6，底面正三角形的高为4，利用表面积公式和体积公式得到结果【解答】解：由三视图图可知此三棱柱的高为6，底面正三角形的高为4，可求得底面面积为： =12v=sh=612=72s表面=2s底+s侧面=212+6（6+5+5）=12011设等差数列an的前n项和sn=n2+bn+c（b，c为常数，nn*），若a2+a3=4，则c=0，b=2【考点】等差数列的通项公式【分析】由等差数列的前n项和是不含常数项的一次或二次函数，可得c=0，再由a2+a3=s3s1列式求得b值【解答】解：数列an是等差数列，且前n项和sn=n2+bn+c，c=0，则sn=n2+bn，又a2+a3=s3s1=9+3b1b=4，b=2故答案为：0，212已知函数f（x）=，则f（f（2）=，不等式f（x3）f（2）的解集为x|x或x5【考点】其他不等式的解法；函数的值【分析】根据分段函数的解析式直接代值计算即可求出f（f（2），分类讨论，即可求出不等式f（x3）f（2）的解集【解答】解：f（2）=，f（）=，f（f（2）=，当x31时，即x4时，解得x5，当x31时，即x4时，x3，解得x，综上所述不等式f（x3）f（2）的解集为x|x或x5故答案为：，x|x或x513已知，是夹角为的两个单位向量，非零向量=x+y，x，yr，若x+2y=2，则|的最小值为1【考点】平面向量数量积的运算【分析】计算，将x=22y代入得到关于y的函数，求此函数的最小值【解答】解： =cos=.2=x2+y2+2xy=x2+y2+xyx+2y=2，x=22y2=（22y）2+y2+（22y）y=3y26y+4=3（y1）2+1当y=1时， 2取得最小值1|的最小值为1故答案为：114平面直角坐标系xoy中，直线y=5与抛物线c：x2=2py（p0）交于点a，b，若oab的垂心为c的焦点，则p的值为2【考点】抛物线的简单性质【分析】将y=5代入抛物线的方程，可得a，b的坐标，求得抛物线的焦点坐标，再由垂心的性质可得afob，即有kafkob=1，再由斜率公式，解方程即可得到p的值【解答】解：由y=5代入抛物线c：x2=2py可得，a（，5），b（，5），由抛物线x2=2py可得焦点为f（0，），由oab的垂心为c的焦点，可得afob，即有kafkob=1，即为=1，解方程可得p=2故答案为：215若函数f（x）=（2x2ax6a2）ln（xa）的值域是0，+），则实数a=或1【考点】函数与方程的综合运用；函数的值域【分析】根据函数与方程的关系先求出两个函数的零点，根据函数的值域得到在定义域内两个函数的函数值同号，即可得到结论【解答】解：f（x）=（x2a）（2x+3a）ln（xa），由f（x）=0得x=2a，或x=，或x=a+1，若a=0，则f（x）=2x2lnx，则函数的值域为（，+），不满足条件若a0，则函数的定义域为xa，此时函数f（x）的零点为x=2a，x=a+1，设y=（x2a）（2x+3a），y=ln（xa），要使函数f（x）的值域为0，+），则函数y=（x2a）（2x+3a），y=ln（xa），则定义域（a，+）上函数值的符号相同，即两个函数的零点相等即2a=a+1，得a=1，若a0，则函数的定义域为xa，此时函数f（x）的零点为x=，x=a+1，设y=（x2a）（2x+3a），y=ln（xa），要使函数f（x）的值域为0，+），则函数y=（x2a）（2x+3a），y=ln（xa），则定义域（a，+）上函数值的符号相同，即两个函数的零点相等即=a+1，得a=，综上a=或a=1，故答案为：或1三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x1，在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且f（b）=1（）求b；（）若=3，求b的取值范围【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（i）利用倍角公式、和差公式可得：f（x）=，由于f（b）=1，可得=1，b（0，），即可得出（ii）由=3，可得ac=6再利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出【解答】解：（i）f（x）=2sinxcosx+2cos2x1=sin2x+cos2x=，f（b）=1，=1，即sin（2b+）=，b（0，），（ii）=3，cacos=3，解得ac=6b2=a2+c22accosb=a2+c262ac6=6，解得bb的取值范围是17如图，在菱形abcd中，bad=60，平面bdef平面abcd，四边形bdef是正方形，点m在线段ef上， =（）当=，求证：bm平面ace；（）如二面角abmc的平面角的余弦值为，求实数的值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）m是ef的中点，设acbd=o，连结oe，则bmoe，由此能证明bm平面ace（）以o为原点，ob，oc分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数的值【解答】证明：（）=，m是ef的中点，设acbd=o，连结oe，则bmoe，又bm平面ace，oe平面ace，bm平面ace解：（）以o为原点，ob，oc分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，a（0，0），b（1，0，0），c（0，0），m（21，0，2），=（1，0），=（22，0，2），=（1，0），设平面abm的法向量=（x，y，z），则， =0，取x=，得=（），设平面bcm的法向量=（a，b，c），则，取x=，得=（），二面角abmc的平面角的余弦值为，|cos|=，解得，或（舍）故实数的值为18已知a0，br，函数f（x）=4ax22bxa+b的定义域为0，1（1）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；（2）设f（x）的最大值和最小值分别为m和m，求证：m+m0【考点】函数的最值及其几何意义【分析】（1）由题意可得f（0）0，f（1）0，0，01，解不等式即可得到所求范围；（2）求出对称轴，讨论对称轴和区间0，1的关系，可得最值，即可证明m+m0【解答】解：（1）由题意可得f（x）=4x22bx1+b在0，1内有两个不同的零点，即有即为，解得1b2或2b3；（2）证明：f（x）的对称轴为x=，当1时，区间0，1为减区间，可得m=f（0）=ba，m=f（1）=3ab，则m+m=2a0；当0时，区间0，1为增区间，可得m=f（0）=ba，m=f（1）=3ab，则m+m=2a0；当01时，区间0，为减区间，1为增区间，可得m=f（）=，若f（0）f（1），即b2a，可得m=f（1）=3ab，m+m=a0；若f（0）f（1），即2ab4a，可得m=f（0）=ba，m+m=，由于2ab4a，可得m+m（a，2a，即为m+m0综上可得m+m0恒成立19如图，椭圆c： +=1（ab0）的左焦点为f1（1，0），离心率是e，点（1，e）在椭圆上（）求椭圆c的方程；（）设点m（2，0），过点f1的直线交c于a