7.1重积分的概念与性质.ppt

第一节重积分的概念与性质 一 问题的提出 二 二重积分的概念 三 二重积分的性质 四 小结 特点 平顶 柱体体积 特点 曲顶 曲顶柱体 一 问题的提出 一 问题的提出 曲顶柱体的体积 曲顶柱体 1 曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体 底 xoy面上的闭区域D 顶 连续曲面 侧面 以D的边界为准线 母线平行于z轴的柱面 该如何求其体积呢 播放 求曲顶柱体的体积采用 分割 近似 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用 分割 求和 取极限 的方法 如下动画演示 解法 类似定积分解决问题的思想 分割 近似 求和 取极限 步骤如下 用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积 先分割曲顶柱体的底 并取典型小区域 1 分割 用任意曲线网分D为n个区域 以它们为底把曲顶柱体分为n 2 近似 在每个 3 求和 则 中任取一点 个小曲顶柱体 4 取极限 令 曲顶柱体的体积 求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块 取典型小块 将其近似看作均匀薄片 所有小块质量之和近似等于薄片总质量 2 平面薄片的质量 有一个平面薄片 在xoy平面上占有区域D 计算该薄片的质量M 度为 设D的面积为 则 若 非常数 仍可用 其面密 分割 近似 求和 取极限 解决 1 分割 用任意曲线网分D为n个小区域 相应把薄片也分为小区域 2 近似 中任取一点 3 求和 4 取极限 则第k小块的质量 两个问题的共性 1 解决问题的步骤相同 2 所求量的结构式相同 分割 近似 求和 取极限 曲顶柱体体积 平面薄片的质量 二 二重积分的概念 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 对二重积分定义的说明 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D 故二重积分可写为 则面积元素为 引例1中曲顶柱体体积 引例2中平面薄板的质量 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时 二重积分是曲顶柱体的体积 当被积函数小于零时 二重积分是曲顶柱体的体积的负值 二重积分的两个结论 1 二重积分的存在性 若函数 定理2 定理1 在D上可积 限个点或有限个光滑曲线外都连续 积 在有界闭区域D上连续 则 若有界函数 在有界闭区域D上除去有 例如 在D 上二重积分存在 在D上 二重积分不存在 性质 线性性质 二重积分与定积分有类似的性质 三 二重积分的性质 性质2 对区域具有可加性 性质3 若为D的面积 性质4 1 正性 则有 若在D上有 3 绝对可积性 若在D上有 则有 2 单调性 解 例比较下列积分的大小 其中 解 积分域D的边界为圆周 它与x轴交于点 1 0 从而 而域D位于直线的上方 故在D上 性质5 二重积分估值定理 解 解 性质6 二重积分中值定理 利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分 四 三重积分的定义 解 例判断积分 的正负号 解 分积分域为 则 原式 猜想结果为负但不好估计 舍去此项 例3 估计下列积分之值 解 D的面积为 由于 积分性质5 即 1 96 I 2 二重积分的定义 二重积分的性质 二重积分的几何意义 曲顶柱体的体积 和式的极限 五 小结 三重积分的定义与性质 思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较 找出它们的相同之处与不同之处 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值 且此值只与被积函数及积分区域有关 不同的