福建师大附中高一数学上学期期末试卷（实验班含解析）.doc

2015-2016学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷（实验班）一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（）a115b120c135d1502已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（）a以上四个图形都是正确的b只有（2）（4）是正确的c只有（4）是错误的d只有（1）（2）是正确的3abc的斜二测直观图abc如图所示，则abc的面积为（）a1b2cd4一束光线自点p（1，1，1）发出，被yoz平面反射到达点q（6，3，3）被吸收，那么光线所走的距离是（）abcd5若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的母线与底面所称的角为（）a30b45c60d756下列命题正确的是（）a若直线l不平行于平面，则内不存在直线平行于直线lb若直线l不垂直于平面，则内不存在直线垂直于直线lc若平面不平行于平面，则内不存在直线平行于平面d若平面不垂直于平面，则内不存在直线垂直于平面7已知bc是圆x2+y2=25的动弦，且|bc|=6，则bc的中点的轨迹方程是（）ax2+y2=1bx2+y2=9cx2+y2=16dx2+y2=48若直线l1：（2m+1）x4y+3m=0与直线l2：x+（m+5）y3m=0平行，则m的值为（）abcd19直线l：y=kx1与曲线c：x2+y24x+3=0有且仅有2个公共点，则实数k的取值范围是（）abcd10已知圆c：（x3）2+（y4）2=1和两点a（m，0），b（m，0）（m0），若圆c上存在点p，使得apb=90，则m的最大值为（）a7b6c5d411过m（1，3）引圆x2+y2=2的切线，切点分别为a、b，则amb的面积为（）ab4cd12若两条异面直线所成的角为90，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为（）a24b48c72d78二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为14函数f（x）=的最小值为15设点p、q分别在直线3xy+5=0和3xy13=0上运动，线段pq中点为m（x0，y0），且x0+y04，则的取值范围为16如右图，三棱锥abcd的顶点b、c、d在平面内，ca=ab=bc=cd=db=2，ad=，若将该三棱锥以bc为轴转动，到点a落到平面内为止，则a、d两点所经过的路程之和是17若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是15 45 60 105120 165其中正确答案的序号是（写出所有正确答案的序号）18如图所示，正方体abcdabcd的棱长为1，e、f分别是棱aa，cc的中点，过直线ef的平面分别与棱bb、dd交于m、n，设bm=x，x0，1，给出以下四个命题：平面menf平面bddb；当且仅当x=时，四边形menf的面积最小；四边形menf周长l=f（x），x0，1是单调函数；四棱锥cmenf的体积v=h（x）为常函数；以上命题中真命题的序号为三、解答题：（本大题共5小题，满分60分）19已知abc中，bc边上的高所在的直线方程为x2y+1=0，a的角平分线所在的直线方程为y=0，点c的坐标为（1，2）（）求点a和点b的坐标；（）又过点c作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点m，n，求mon的面积最小值及此时直线l的方程20如图（1），在正方形sg1g2g3中，e、f分别是g1g2、g2g3的中点，d是ef的中点，现沿se、sf及ef把这个正方形折成一个几何体如图（2），使g1、g2、g3三点重合于点g证明：（1）g在平面sef上的射影为sef的垂心；（2）求二面角gsef的正弦值21一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）22如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adab，abdc，ad=dc=ap=2，ab=1，点e为棱pc的中点（i）证明：be平面adp；（ii）求直线be与平面pdb所成角的正弦值23如图，已知线段ab长度为a（a为定值），在其上任意选取一点m，在ab的同一侧分别以am、mb为底作正方形amcd、mbef，p和q是这两个正方形的外接圆，它们交于点m、n试以a为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系（1）证明：不论点m如何选取，直线mn都通过一定点s；（2）当时，过a作q的割线，交q于g、h两点，在线段gh上取一点k，使=求点k的轨迹2015-2016学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（）a115b120c135d150【考点】直线的倾斜角【分析】由倾斜角与斜率的关系和倾斜角的范围，结合题意即可算出直线倾斜角的大小【解答】解：直线的斜率为，直线倾斜角满足tan=，结合0，180），可得=150故选：d2已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（）a以上四个图形都是正确的b只有（2）（4）是正确的c只有（4）是错误的d只有（1）（2）是正确的【考点】棱锥的结构特征【分析】正三棱锥的棱长都相等，三棱锥的四个面到球心的距离应相等，所以圆心不可能在三棱锥的面上【解答】解：（1）当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如（1）图所示；（2）过三棱锥的一条棱和圆心所得截面如（2）图所示；（3）过三棱锥的一个顶点（不过棱）和球心所得截面如（3）图所示；（4）棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上，所以（4）是错误的故答案选c3abc的斜二测直观图abc如图所示，则abc的面积为（）a1b2cd【考点】平面图形的直观图【分析】将直观图还原成平面图形，根据斜二侧画法原理求出平面图形的边长，计算面积【解答】解：作出abc的平面图形，则acb=2acb=90，bc=bc=2，ac=2ac=2，abc的面积为=2故选：b4一束光线自点p（1，1，1）发出，被yoz平面反射到达点q（6，3，3）被吸收，那么光线所走的距离是（）abcd【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标【分析】求出p关于平面xoy的对称点的m坐标，然后求出mq的距离即可【解答】解：点p（1，1，1）平面xoy的对称点的m坐标（1，1，1），一束光线自点p（1，1，1）发出，遇到平面xoy被反射，到达点q（6，3，3）被吸收，那么光所走的路程是： =故选d5若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的母线与底面所称的角为（）a30b45c60d75【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设出圆锥的半径与母线长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长得到圆锥的半径与母线长，进而表示出圆锥的母线与底面所成角的余弦值，也就求出了夹角的度数【解答】解：设圆锥的母线长为r，底面半径为r，则：r=2r，r=2r，设母线与底面所成角为，则母线与底面所成角的余弦值cos=，母线与底面所成角是60故选：c6下列命题正确的是（）a若直线l不平行于平面，则内不存在直线平行于直线lb若直线l不垂直于平面，则内不存在直线垂直于直线lc若平面不平行于平面，则内不存在直线平行于平面d若平面不垂直于平面，则内不存在直线垂直于平面【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】逐个分析选项，举出反例即可【解答】解：对于a，若l，则内存在无数条直线与l平行，故a错误对于b，若l，则内存在无数条直线与l垂直，故b错误对于c，若=l，则在存在无数条直线与l平行，故这无数条直线都与平面平行，故c错误对于d，若内存在直线l垂直于平面，则，即命题d的逆否命题成立，故命题d成立，故d正确7已知bc是圆x2+y2=25的动弦，且|bc|=6，则bc的中点的轨迹方程是（）ax2+y2=1bx2+y2=9cx2+y2=16dx2+y2=4【考点】直线与圆的位置关系【分析】设bc的中点的坐标，由弦长公式和两点间的距离公式列出式子，化简后可得bc的中点的轨迹方程【解答】解：设bc的中点p的坐标是（x，y），bc是圆x2+y2=25的动弦，|bc|=6，且圆心o（0，0），|po|=4，即，化简得x2+y2=16，bc的中点的轨迹方程是x2+y2=16，故选：c8若直线l1：（2m+1）x4y+3m=0与直线l2：x+（m+5）y3m=0平行，则m的值为（）abcd1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】直线l1的斜率一定存在，所以，当两直线平行时，l2的斜率存在，求出l2的斜率，利用它们的斜率相等解出m的值【解答】解：直线l1的斜率一定存在，为，但当m=5时，l2的斜率不存在，两直线不平行当m5时，l2的斜率存在且等于=1，解得m=，故选：b9直线l：y=kx1与曲线c：x2+y24x+3=0有且仅有2个公共点，则实数k的取值范围是（）abcd【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出直线l：y=kx1与曲线c相切时k的值，即可求得实数k的取值范围【解答】解：如图所示，直线y=kx1过定点a（0，1），直线y=0和圆（x2）2+y2=1相交于b，c两点，直线l：y=kx1与曲线c：x2+y24x+3=0有且仅有2个公共点，0，故选a10已知圆c：（x3）2+（y4）2=1和两点a（m，0），b（m，0）（m0），若圆c上存在点p，使得apb=90，则m的最大值为（）a7b6c5d4【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据圆心c到o（0，0）的距离为5，可得圆c上的点到点o的距离的最大值为6再由apb=90，可得po=ab=m，可得m6，从而得到答案【解答】解：圆c：（x3）2+（y4）2=1的圆心c（3，4），半径为1，圆心c到o（0，0）的距离为5，圆c上的点到点o的距离的最大值为6再由apb=90可得，以ab为直径的圆和圆c有交点，可得po=ab=m，故有m6，故选：b11过m（1，3）引圆x2+y2=2的切线，切点分别为a、b，则amb的面积为（）ab4cd【考点】圆的切线方程【分析】作出图象易得sinomb，进而可得cosamb和sinamb=，代入三角形的面积公式计算可得【解答】解：如图，由题意可得|om|=，由勾股定理可得|ma|=|mb|=2，故sinomb=，cosamb=cos2omb=2cos2omb1=，故sinamb=，三角形面积s=|ma|mb|sinamb=，故选：c12若两条异面直线所成的角为90，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为（）a24b48c72d78【考点】异面直线的判定【分析】可把连接正方体各顶点的所有直线分成3组，棱，面上的对角线，体对角线，分别组合，找出可能的”理想异面直线对”，再相加即可【解答】解：先把连接正方体各顶点的所有直线有三种形式分别是正方体的棱，有12条，各面对角线，有12条，体对角线，有4条分几种情况考虑第一种，各棱之间构成的“理想异面直线对”，每条棱有4条棱和它垂直，共有=24对第二种，各面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每相对两面上有2对互相垂直的异面对角线，共有=6对第三种，各棱与面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每条棱有2条面上的对角线和它垂直，共有212=24对第四种，各体对角线与面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每条体对角线有6条面上的对角线和它垂直，共有64=24对最后，把各种情况得到的结果相加，得，24+6+24+24=78对故选d二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为3【考点】由三视图求面积、体积；球的体积和表面积【分析】由三视图得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱与底面垂直，根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是ad，利用勾股定理做出球的直径，得到球的面积【解答】解：由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱ae与底面垂直，根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是ac根据直角三角形的勾股定理知ac=，外接球的面积是，故答案为：314函数f（x）=的最小值为2【考点】两点间距离公式的应用；函数的最值及其几何意义【分析】由配方可得函数表示f（x）表示p（x，0）到两点a（3，2），b（5，2）的距离之和作出点a关于x轴的对称点a（3，2），连接ab，交x轴于p，运用两点之间线段最短，由两点的距离公式计算即可得到【解答】解：函数f（x）+=+，设点p（x，0），a（3，2），b（5，2），则f（x）表示p到两点a，b的距离之和作出点a关于x轴的对称点a（3，2），连接ab，交x轴于p，则|pa|+|pb|=|pa|+|pb|ab|=2，则当a，p，b三点共线，取得最小值2故答案为：215设点p、q分别在直线3xy+5=0和3xy13=0上运动，线段pq中点为m（x0，y0），且x0+y04，则的取值范围为1，3）【考点】中点坐标公式【分析】设p（x1，y1），q（x2，y2），则3x1y15=0，3x2y213=0，两式相加得3（x1+x2）（y1+y2）8=0，设m（x0，y0），则由中点的坐标公式可得3x0y04=0，又x0+y04即点m在直线x+y=4上或者其右上方区域，画图得到m位于以（2，2）为端点向上的射线上，数形结合可得答案【解答】解：设p，q两点的坐标为p（x1，y1），q（x2，y2），点p，q分别在直线3xy+5=0和3xy13=0上运动，3x1y15=0，3x2y213=0，两式相加得3（x1+x2）（y1+y2）8=0设线段pq的中点m（x0，y0），则x1+x2=2x0，y1+y2=2y03x0y04=0即y0=3x04又m点的坐标满足x0+y04，即m恒在直线x+y=4上或者其右上方区域，线段pq的中点m满足，如图联立，解得m（2，2），m位于以（2，2）为端点向上的射线上，当m（2，2）时，kom=1，直线om斜率的取值范围是1，3）16如右图，三棱锥abcd的顶点b、c、d在平面内，ca=ab=bc=cd=db=2，ad=，若将该三棱锥以bc为轴转动，到点a落到平面内为止，则a、d两点所经过的路程之和是【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题【分析】由题意画出图形，可得aod为直角，求出oa的长度，然后利用圆的周长公式求解【解答】解：如图，取bc中点o，在abc和bcd中，ca=ab=bc=cd=db=2，ao=do=，在aod中，ao=do=，又ad=，=，则，将该三棱锥以bc为轴转动，到点a落到平面内时，a、d两点所经过的路程都是以o为圆心，以oa为半径的圆周，a、d两点所经过的路程之和是故答案为：17若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是15 45 60 105120 165其中正确答案的序号是或（写出所有正确答案的序号）【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】由两平行线间的距离=，得直线m和两平行线的夹角为30再根据两条平行线的倾斜角为135，可得直线m的倾斜角的值【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为2，可得直线m和两平行线的夹角为30由于两条平行线的倾斜角为135，故直线m的倾斜角为105或165，故答案为：或18如图所示，正方体abcdabcd的棱长为1，e、f分别是棱aa，cc的中点，过直线ef的平面分别与棱bb、dd交于m、n，设bm=x，x0，1，给出以下四个命题：平面menf平面bddb；当且仅当x=时，四边形menf的面积最小；四边形menf周长l=f（x），x0，1是单调函数；四棱锥cmenf的体积v=h（x）为常函数；以上命题中真命题的序号为【考点】命题的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【分析】利用面面垂直的判定定理去证明ef平面bddb四边形menf的对角线ef是固定的，所以要使面积最小，则只需mn的长度最小即可判断周长的变化情况求出四棱锥的体积，进行判断【解答】解：连结bd，bd，则由正方体的性质可知，ef平面bddb，所以平面menf平面bddb，所以正确连结mn，因为ef平面bddb，所以efmn，四边形menf的对角线ef是固定的，所以要使面积最小，则只需mn的长度最小即可，此时当m为棱的中点时，即x=时，此时mn长度最小，对应四边形menf的面积最小所以正确因为efmn，所以四边形menf是菱形当x0，时，em的长度由大变小当x，1时，em的长度由小变大所以函数l=f（x）不单调所以错误连结ce，cm，cn，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以cef为底，以m，n分别为顶点的两个小棱锥因为三角形cef的面积是个常数m，n到平面cef的距离是个常数，所以四棱锥cmenf的体积v=h（x）为常函数，所以正确故答案为：三、解答题：（本大题共5小题，满分60分）19已知abc中，bc边上的高所在的直线方程为x2y+1=0，a的角平分线所在的直线方程为y=0，点c的坐标为（1，2）（）求点a和点b的坐标；（）又过点c作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点m，n，求mon的面积最小值及此时直线l的方程【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【分析】（i）列方程组求出a点坐标，根据两直线垂直的条件求出bc、ab所在的直线方程，然后解方程组得b的坐标；（ii）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于a，b两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的c点，写出直线方程，求出mon面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程【解答】解：（）因为点a在bc边上的高x2y+1=0上，又在a的角平分线y=0上，所以解方程组得a（1，0）bc边上的高所在的直线方程为x2y+1=0，kbc=2，点c的坐标为（1，2），所以直线bc的方程为2x+y4=0，kac=1，kab=kac=1，所以直线ab的方程为x+y+1=0，解方程组得b（5，6），故点a和点b的坐标分别为（1，0），（5，6）（）依题意直线的斜率存在，设直线l的方程为：y2=k（x1）（k0），则，所以，当且仅当k=2时取等号，所以（smon）min=4，此时直线l的方程是2x+y4=020如图（1），在正方形sg1g2g3中，e、f分别是g1g2、g2g3的中点，d是ef的中点，现沿se、sf及ef把这个正方形折成一个几何体如图（2），使g1、g2、g3三点重合于点g证明：（1）g在平面sef上的射影为sef的垂心；（2）求二面角gsef的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质【分析】（1）根据线面垂直的性质定理即可证明g在平面sef上的射影为sef的垂心；（2）根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求二面角gsef的正弦值【解答】证明：（1）设g在平面sef上的射影为点h，则gh平面sef折前sg1g1e、sg3g3f，折后sgge、sggf，gegf=g，sg平面gef，sggh=g，ef平面sghsh平面sgh，efsh，同理，ehsf，h为sef的垂心（2）过g作gose交se于点o，连oh，则goh即为所求二面角gsef的平面角，又gose，ghgo=g，se平面ghooh平面gho，seoh，goh为所求二面角gsef的平面角设正方形sg1g2g3的边长为1，则在rtseg中，又，singoh=，二面角gsef的正弦值为21一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）【考点】圆方程的综合应用【分析】（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系建立坐标系，利用|cd|=|cb|，确定圆的方程；（2）令x=4时，求得y7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少【解答】解：（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则a，b，d三点的坐标分别为（16，0），（16，0），（0，8）又圆心c在y轴上，故可设c（0，b）因为|cd|=|cb|，所以，解得b=12所以圆拱所在圆的方程为：x2+（y+12）2=（8+12）2=202=400（2）当x=4时，求得y7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，距涨水后的水面约5.6m，因为船高6.5m，顶宽8m，所以船身至少降低6.55.6=0.9（m）以上，船才能顺利通过桥洞22如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adab，abdc，ad=dc=ap=2，ab=1，点e为棱pc的中点（i）证明：be平面adp；（ii）求直线be与平面pdb所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（）取pd中点m，连接em，am，推导出四边形abem为平行四边形，由此能证明be平面adp（）连接bm，推导出pdem，pdam，从而直线be在平面pb