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第六章刚体力学 刚体是一个理想模型 指物体受到力的作用时完全不会发生形变 因此运动过程中刚体内部任意两点之间的距离始终保持不变 自由度 完全描述运动所需的独立坐标数 决定物体空间位置 6 1刚体运动的描述 6 1 1刚体运动基本形式和自由度 1平动 平移 刚体内任意两质点连线的方向保持不变 2转动 刚体上所有各点绕同一直线作圆周运动 这一直线称为转轴 自由度 x p 1 定轴转动 转轴固定于参考系 j 如 门窗 2 定点转动 转轴上有一点静止于参考系 如 玩具陀螺 转轴方向2 绕轴转角1 o 3平面平行运动 刚体上每一质元的运动都平行于某一固定平面 可以分解为刚体随质心的平移 2 和绕质心垂直于运动平面的定轴转动 1 如 车轮滚动 4刚体的一般运动可以分解为随质心的平移和绕质心的定点转动 力是滑移矢量 只能在力的方向上移动 作用在刚体上的合力是有意义的 共点力系的合力 平行力系的合力 共面力系 一般力系 6 1 2刚体的受力 力的三要素 大小 方向 作用线 6 2刚体的定轴转动 6 2 1定轴转动的描述 x p j 转动平面 q 角速度 角加速度 角速度矢量 规定顺着刚体转动的右螺旋前进方向为角速度矢量的方向 在定轴转动下 转轴任取一点为坐标原点 角加速度矢量 定义角位移 是否矢量 角速度矢量再研究 有限大角位移相加时不满足交换律 不是矢量 无限小角位移情况 P点实际位移 无限小角位移是矢量 6 2 2定轴转动定律 刚体绕z轴的转动惯量 6 2 3刚体的转动惯量 转动惯量的计算 物理意义 转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度 其大小反映了改变刚体转动状态的难易程度 与转动惯量有关的因素 刚体的质量及其分布 转轴的位置 刚体的形状 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质点的质量与这一质点到转轴的距离平方的乘积之和 若质量连续分布 质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布 为质量的线密度 为质量的体密度 为质量的面密度 注意 只有几何形状规则 质量连续且均匀分布的刚体 才用积分计算其转动惯量 一般刚体则用实验求其转动惯量 回转半径 回转半径 球 平行轴定理 刚体对任一转轴的转动惯量J等于对通过质心的平行转轴的转动惯量Jc加上刚体质量m乘以两平行转轴间距离d的平方 c d o o x y z 例 圆柱体 m r l 求转动惯量 6 2 4定轴转动刚体的角动量与角动量定理 定轴转动刚体的角动量 刚体对转轴z的转动惯量 如定轴为刚体的对称轴 z 惯量主轴 主转动惯量 相对轴的角动量 定轴转动刚体的角动量定理 定轴转动定律 称为在t0到t时间内作用在刚体上的冲量矩 推广到可变情形 保持所有质点相同 6 2 5定轴转动刚体的角动量守恒定律 定轴转动角动量定理 定轴转动角动量守恒定律 刚体在定轴转动中 当对转轴的合外力矩为零时 刚体对转轴的角动量保持不变 茹可夫斯基凳 旋转哑铃 1 2 例 角动量守恒定律 6 3刚体的平面平行运动 刚体的每一个点都在自己对应的一个平面内运动 所有这些平面相互平行 对质心 定轴转动 加上初始条件 约束条件 平面平行运动 质心的运动 绕过质心轴的转动 6 3 1运动方程 6 3 2滚动 C 考虑摩擦力不存在时 刚体上接触点的相对运动 实际的滚动摩擦 非弹性变形 固体受外力作用而使各点间相对位置的改变 当外力撤消后 固体不能恢复原状谓之 范性形变 6 3 3纯滚动中的瞬时转轴 以刚体上的P点为原点建立瞬时平动坐标系 瞬时转轴 瞬心 对瞬时转轴的转动定律 惯性力通过瞬时转轴无力矩 刚体转动的角速度相对刚体上任一点都相同 任选刚体上两点A B 一般情况 大小 在刚体或其延伸体上必有一点P 几点说明 1 瞬心相对刚体的位置在不断变化 2 瞬心固连在刚体上 其速度和加速度不是瞬心在空间位置变化的速度和加速度 例 半径为r的圆环A沿着半径为R的固定圆环B的外侧作纯滚动 A的环心绕着B的环心做圆周运动的角速度为 求 1 A环绕着环心O转动的角速度 2 A环瞬心M的加速度 纯滚的约束条件 接触点无相对运动 A B 瞬心位于接触点瞬心的加速度可分解为O点的加速度与M相对O点的加速度 O点的加速度 M相对O点的加速度 瞬心的加速度 A B 条件 O点在定轴或者瞬时转轴上 6 5刚体的能量 6 5 1刚体定轴转动的动能 可分解为刚体绕质心转动的动能和质心携总质量绕定轴作圆周运动的动能 设作用在质元dmi上的外力Fi位于转动平面内 z p 6 5 2力矩的功 6 5 3刚体定轴转动的动能定理 刚体和地球系统的重力势能 以地面为零势能点 质元i 6 5 4刚体的重力势能 6 5 5刚体定轴转动的功能原理 将重力矩作的功用重力势能差表示 得 其中 M为除重力以外的其它外力矩 若M 0 则 即刚体的机械能守恒定律 例 匀质细杆直立在光滑地面上 因不稳定而倾倒 在细杆全部着地前 它的下端是否会跳离地面 杆在倾倒过程中无水平外力杆的质心竖直向下运动 杆跳离地面的临界条件 质心速度与角速度的关系 机械能定理 将角速度代入 两边对时间求导 支持力 杆的下端不会跳离地面 6 7陀螺的运动 绕对称轴高速旋转的刚体称为陀螺 或称回转仪 陀螺在运动过程中通常有一点保持固定 故属刚体的定点运动 利用角动量和角速度的矢量性质 可以解释陀螺的运动 6 7 1玩具陀螺的进动 高速旋转的陀螺为什么能够立而不倒 情况一 竖直时 定向陀螺仪 安装在导弹 飞机 坦克或舰船中 随时纠正导弹等的方向和姿态 情况二 设进动角速度为 投影图 O z Lsin M L d 进动轴 自转轴 改变方向 情况如何 改变方向 情况如何 有周期性变化 6 7 2杠杆陀螺的进动 平衡时保持 大小方向不变 移动重物P 受力矩 作用 出现进动现象 回归年 太阳连续两次直射于北回归线的时间间隔 恒星年 地球绕太阳一周实际所需的时间间隔 6 7 3地球的进动岁差 地球进动周期 25770年 26000年 织女星 北极星 地球进动周期 25770年 26000年 地球章动周期 18 6年 19年 地球进动周期约为2 6万年 章动周期约为19年 中国古代历法以19年为一章 译名 章动 即源于此 回转效应的应用 飞机 轮船 道弹中的指向仪炮筒内的旋转式来复线 x y z 图中所示为一船中的高速旋转体 如船带着旋转体绕z轴作逆时针转动 则轴承将受到巨大压力 试指出其压力的方向 为什么 俯视图 P3036 43 例 P293 解 约束关系 角动量定理 以定点为原点 建立固连在刚体上的运动坐标系 令l为t时刻瞬时转轴 瞬时角速度 绕瞬时转轴 因为 所以 即 关于的线性齐次方程组 绕某些特殊轴转动 L可能与共线 此时 目的 找到这些轴 非零解条件 J有三个正实根 由的三组解 三组解的方向决定了角动量与角速度共线的三个方向 这三个方向称为刚体的惯量主轴 沿主轴方向的转动惯量 若选相互垂直的三个惯量主轴作坐标轴 则 所有的惯量积都为零 转动惯量张量具有对角形式 即使得 1 系统关于A点的惯量张量 2 关于A点的惯量主轴和主转动惯量 欧拉运动学方程 角动量在活动坐标系中的投影 对定点运动的刚体 给定了主转动惯量I1 I2 I3 给定了外力矩M y q j wx wy wz 3个Euler动力学方程和3个Euler运动学方程 共6个方程 原则上能解出y q j wx wy wz这6个未知量 对下面3种情形 y t q t j t 的解析解可以求出 1 Euler情形 M 0 不受外力矩的定点转动 即定点自由转动 3 SonyaKovalevskaya情形 I1 I2 2I3 力矩