工程力学6章.ppt

第六章拉伸与压缩 6 1轴向拉伸或压缩时的内力和应力一 内力材料力学研究的对象是构件 对于研究的构件来说 其他构件和物体作用其上的力均为外力 作用于构件上的外力 企图改变构件的形状和大小 使其一部分脱离其他部分 在构件内部则产生附加内力以抵抗外力 阻止构件发生变形和破坏 这种在外力作用下产生的构件相连两部分的相 互作用力 在材料力学中称为内力 二 截面法用任一截面假想地把杆截成两部分 以显示并确定内力的方法称为截面法 假想用截面m m将杆截为 两部分 保留一段 例如左段 用内力N代替弃去部分对留下部分的作用 如图6 5 由静力学平衡方程 X 0 可求出内力 N P 0所以N PN是截面上连续分布的内力系的合力 作用线与杆轴重合 称为轴力 同理 如取右段为研究对象 则由静力学平衡方程 X 0 可求出内力P N 0所以N P 图6 5 N和N 分别作用于杆件的左面 部 和右面 部 符合牛顿第三定律 当N背离截面时杆件受拉 称为轴向拉力 当N指向截面时杆件受压 称为轴向压力 通常规定拉力为正值 压力为负值 截面法的步骤可概括为 1 截 欲求其一截面的轴力 就假想地用该截面把杆截成两部分 取其中的一部分为研究对象 移去另一部分 2 代 用轴力代替移去部分对保留部分的作用 3 平 建立平衡方程 由已知外力确定未知轴力 轴力的数值等于截面一边的外边的代数和 三 应力的概念所谓应力即内力在截面上的密集程度 简称内力集度 图6 7 图6 8 由于内力垂直于横截面 故应力 也垂直于横截面 这样的应力称为正应力 正应力的符号规则是 拉应力为正值 压应力为负值 四 横截面上的应力变形前的横截面 变形后仍保持为垂直于杆轴的平面 称此假设为平面假设 图6 9 设想直杆由无数纵向纤维所组成 由平面假设可推断 任意两横截面间纵向纤维伸长量 或缩短量 是相等的 即应力是均匀分布的 因此 五 斜截面上的应力图6 11所示等直杆 受轴向拉力P作用 横截面积为A 则横截面上的正应力为 设与横截面成 角的斜截面k k的面积为A A cos 假想沿k k将杆截开 取出杆的左段来研究 则斜截面上的内力N P 于是斜截面上的应力为 图6 11 将P 分解为法向 n 和切向 的两个分量 与 与所在截面垂直 即正应力 与截面相切称为剪应力 由图6 11 c 可得 剪应力的方向与截面外法线n按顺时针方向转90 所示的方向一致时为正 相反时为负 如图6 12所示 当 0 达到最大值 即横截面上正应力最大 图6 12 当 45 达到最大值 即最大剪应力发生在与杆轴成45 的斜截面内 当 90 即在平行于力P的纵向截面内 由此可知材料的纵向纤维无挤压现象 6 2拉压变形和虎克定律一 绝对变形和相对变形 图6 14 以单位长度的变形来度量变形的程度 称为相对变形或线应变 纵向应变以 表示 横向应变以 表示 则 应变是无量纲量 可用百分比表示 实验表明 当拉压杆内应力不超过材料比例极限时 横向应变 与纵向应变 之比为一常数 其绝对值称为泊松比 用 表示 即 二 虎克定律实验表明 当应力未超过一定限度 应力与应变之比为一常数 表达式为 式中E为比例常数 称为拉压弹性模量 是表示材料抵抗拉压变形能力的一个系数 材料的E值愈大 变形就愈不容易 将代入 6 5 式 可得虎克定律 的另一种表达形式 即如轴力不超过某一极限值 变形 l与轴力N及杆长l成正比 与弹性模量E和面积A成反比 EA愈大 变形愈小 故称EA为杆 件的拉压刚度 6 3材料在拉伸和压缩时的机械性质一 低碳钢的拉伸试验常温静载拉伸试验 是研究金属材料机械性质最常用最基本的试验 为了使试验结果进行比较 应按国家标准将材料做成一定形状的试件 试件可制成圆形或矩形截面 圆形截面试件如图6 16所示 试件中段用于测量拉伸变形 此段长度l0称为标距 通常规定圆截面试件l0 5d0或l0 10d0 将试件尺寸仔细测量后装夹在试验机的夹头上 然后加力 拉力从零开始逐渐增加 直到试件被拉断 加力过程中 标距l0将伸长 记下对应的拉力P和伸长量 l 绘成P l曲线 称为拉伸图 图6 17 a 拉伸图反映了试件在拉伸的全过程中 拉力 图6 16 与绝对伸长的关系 但此图受直径 长度的影响 显然 不同粗细和长短的试件 所得的拉伸图是不同的 为了消除试件尺寸的影响 以试件的原始截面A去除拉力P 得到应力 以试件标距l0去除伸长量 l 得到线应变 以 为纵坐标 以 为横坐标 画出的曲线称为应力 应变图或 图 表示材料的应力与应变间的关系 如图6 17 b 的曲线就是低碳钢在拉伸试验时的应力 应变图 一 低碳钢拉伸图的分析1 弹性阶段 曲线在OA一段是一条直线 这是此阶段的主要特点 即 与 成正比 由图可见 图6 17 与A点对应的应力 p称为比例极限 即 p是材料应力与应变成正比的最大应力 A3钢的比例极限 p 200MPa 杆件受拉压时 如应力不超过比例极限 p 则应力与应变成正比 此即虎克定律 E 当应力超过比例极限时 虽然应力与应变不再保持正比关系 AB是微弯曲线 但卸除载荷 变形仍能完全消失 B点对应的应力 e称为弹性极限 是材料只出现弹性变形 的应力极限值 e与 p很接近 工程上通常不作严格区分 2 屈服阶段曲线过B点后 变形增加很快而应力增加并不显著 从B到C逐渐变弯 到C点时曲线上出现近乎水平的线段CC 表明应力变化不大而变形显著增加 材料暂时失去了抵抗变形的能力 与C点对应的应力 s称为屈服极限 A3钢的屈服极限 s 240MPa 材料屈服时 在光滑表面上将出现许多与轴线约成45 倾角的条纹 如图6 18所 示 这是由于试件内部的晶格滑移而形成的 称为滑移线 在屈服阶段卸载后 试件的变形大部分不能恢复 即为塑性变形 它将导致构件不能正常工作 因此屈服极限 s是低碳钢的重要强度指标 3 强化阶段过屈服阶段以后 材料又恢复了抵抗变形的能力 要使试件继续变形就得继续加力 此种现象称为材料的强化 将此阶段与弹性阶段相比 载荷增加缓慢 变形增加较快 变形的绝大部分属于塑性变形 曲线最高点D所对应的应力称为强度极限 以 b表示 它是材料所能承受的最大应 力 所以也是衡量材料强度的一个重要指标 A3钢的强度极限 b 400MPa 4 颈缩阶段过D点后 变形基本上集中于试件的某一薄弱的地方 横向尺寸急剧缩小 出现 颈缩 现象 如图6 19所示 使试件继续变形所 图6 18 图6 19 需的名义应力 按原横截面计算的应力 减小了 曲线下降 但颈缩截面上的实际应力却是一直在增加的 颈缩 开始后 应变集中在劲缩部位产生 颈缩部分的横截面急剧减小 试件最后被拉断 二 延伸率 与截面收缩率 三 冷作硬化材料的比例极限和屈服极限都比没有经过 加载 卸载处理的材料有所提高 这种现象称为冷作硬化 二 铸铁拉伸时的机械性能图6 20是铸铁拉伸与压缩时的 图 从图上可以看出 铸铁拉伸时 图6 20 1 图上没有明显的直线部分 这表明应力和应变的关系不符合虎克定律 但在较小的应力范围内可近似地认为变形是服从虎克定律的 2 既无明显的屈服阶段 也无颈缩现象 当变形很小 仅为0 4 0 5 时就达到强度极限 bl 试件突然沿横截面断裂 由于 值很小 所以铸铁是脆性材料 三 其他塑性材料拉伸时的机械性能工程上常用的塑性材料 除低碳钢外 还有青铜 硬铝 中碳钢 某些合金钢 它们的 曲线如图6 21所示 这些材料的共同点是 有明显的弹性阶段 延伸率都较大 与低碳钢 曲线相比大都没有明显的屈服阶段 而由直线部分直接过渡到曲线部分 对这些没有明显屈服阶段的塑性材料 国家标准规定 取对应试件 产生0 2 塑性应变时的应力值作为其屈服极限 称为名义屈服极限 以 0 2表示 图6 22 图6 21 图6 22 四 压缩时材料的机械性能金属材料压缩时的试件通常做成短圆柱 其高度与直径之比为1 5 3 0 以防止产生弯曲变形 1 低碳钢压缩时的机械性能如图6 23所示 当应力 在屈服极限以内时 E p s与拉伸时相同 在屈服极限后 试件将产生显著塑性变形 被压试件愈压愈扁 受压面积不断增大 试件的抗压能力也继续提高 因此无法测定其强度极限 2 铸铁压缩时的机械性能 铸铁压缩时的 曲线与拉伸时相似 见图6 24 试件在较小的变形时突然破坏 破坏截面与试件轴线大约成45 55 铸铁压缩时的强度极限 b与延伸率都比拉伸时大得多 其抗压强度是抗拉强度的4 5倍 图6 23 图6 24 五 影响材料机械性能的主要因素1 温度 图6 25 2 工作时间 3 加载速度 图6 26 6 4许用应力强度条件一 许用应力1 极限应力 产生过大塑性变形或断裂的应力称为极限应力 用 0表示 2 许用应力杆件工作时允许达到的最大应力值称为许用应力 以 或 表示 极限应力除以大于1的系数作为材料的许用应力 式中n称为安全系数 对于塑性材料 对于脆性材料 ns nb分别是按屈服 极限和强度极限规定的安全系数 3 影响安全系数的因素1 材料的均匀程度 2 载荷估计的准确性 3 计算方法方面的简化和近似程度 4 构件的加工工艺 构件的工作条件和构件的重要性 二 拉伸压缩时的强度计算为了保证拉 压杆具有足够的强度 杆内最大工作应力不得超过材料在拉 压时的许用应力 即 公式 6 7 是拉伸 压缩时的强度条件 应用这个条件可解决工程上的三类问题 1 强度校核如已知构件材料的许用应力 载荷和截面尺寸 则可用 6 7 式校核构件的强度 若计算结果与该式符合则强度是够的 若不符合则强度不够 需按具 体条件增大截面尺寸或用强度较高的材料 2 设计截面已知构件材料的许用应力和载荷 根据强度条件设计截面尺寸 如为等直杆 则截面面积应为 3 求许可载荷如已知构件材料的许用应力和截面面积 则可用公式 6 7 求构件的许可载荷 根据 6 7 式可以确定构件所能承受的最大轴力 其值为 然后根据静力平衡关系求许可载荷 6 5拉伸和压缩时的超静定问题一 超静定问题的概念在前面所讨论的问题中 凡是未知的约束反力和内力均可由平衡方程确定 这种问题称为静定问题 例如求图6 31 a 所示结构的1 2杆的轴力是静定问题 但是在某些情况下 作用在研究对象上的未知力数多于静力平衡方程的数目 仅仅根据平衡方程尚不能全部求解的问题 称为超静定问题 例如求图6 31 b 所示的结构中各杆的内力即属超静定问题 静定问题的未知力数等于有效平衡方程的数目 超静定系统 或构件 存在着多余约束 所以超静定问题的未知力数大于有效平衡方程的数目 二者之差称为超静定的次数 二 解法解超静定问题 除列出平衡方程外 还要通过研究变形和内力的关系建立足够数量的补充方程 为此要找出变形的谐调条件 即保持结构连续所必须满足的变形几何关系 再通过变形的物理条件 内力与变形的关系 就可以列出所需要的补充方程 6 6拉压时的弹性变形能弹性体在外力作用下发生变形 载荷作用点沿载荷作用方向产生相应位移 在变形过程中 载荷通过相应位移做功 做功的结果在变形体内积蓄了位能U 如果载荷是逐渐缓慢地增加 则物体的移动速度将很小 在这种情况下可以认为W U 即外力所做的功全部转换成变形位能 当卸载时 物体将恢复变形 在这一过程中 储存于物体内的变形能 又转变为做功的形式释放出来 图6 36 a 所示的拉杆 当拉应力不超过比例极限时 外力P与变形 l成正比 如图6 3