4-5、6二次型与标准形(zjy).ppt

一 问题的推出 第五节 二次型及其矩阵表示 二 基本概念 三 二次型的矩阵及二次型的秩 1 二次型及其表示 定义1 含个变元 的二次齐次多项式 称为n元二次型 或二次齐式 1 一 基本概念 若 1 中交叉项 的系数全部为零 即 为 的标准二次型 二次型的标准形 可见f为对角形 注 由 1 可见 每一项中变量的方次之和均为2 如 不是二次型 是二次型 二 二次型的矩阵与二次型的秩 例1将下列二次型用矩阵表示 解 称A为二次型 的矩阵 3 简记为 令 推广 的矩阵 与 可建立一一对应关系 的秩称为 称上式中实对称矩阵 为二次型 的秩 二次型 例2将下列二次型写成矩阵形式 解 的矩阵 是一实对称矩阵 二次型 解 的矩阵 是一实对称矩阵 二次型 解 的矩阵 是一实对称矩阵 使二次型 若通过线性变换 经变换后化为只含平方项的标准形 即通过 因为 其中 为二次型的标准形 一 二次型的满秩线性变换 正交变换法 第六节 化实二次型为标准形 称为可逆线性变换 1 当是可逆矩阵时 2 当是正交矩阵时 称为正交变换 二 正交变换法化二次型为标准形 如果存在正交矩阵P 使 如果在满秩线性变换 中 C是正交矩阵 则 称它是正交线性变换矩阵 简称正交线性变换 由于实二次型的矩阵是一个对称方阵 故对于任意 一个n元实二次型 一定可以找到一个正 交变换 使得 对二次型 存在正交变换使 其中 为的特征值 其中P的列向量是A的相应于特征值的n个两两正交 的单位特征向量 定理1 主轴定理 例1用正交变换化二次型为标准型 正交变换 解 1 写出二次型f的矩阵A 2 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的 特征向量 并求出所用的 而它们所对应的标准正交的特征向量为 3 写出正交变换 取正交矩阵 则得所欲求的正交变换 即 4 写出 的标准形 易知经上述正交变换 后所得二次型的标准形 必须指出 把实二次型 化为标准形后 所得标准形虽然不是惟一的 但在标准形中的系数不 等于零的平方项的个数是由A的秩所惟一确定的 并且 在标准形中平方项系数为正的的个数p与负的个数 r p也都是惟一确定的 它们依次被称为实二次型 的正 负 惯性指数 2 解二次型的矩阵为 3 对每个基础解系进行Schmidt正交化 再单位化 作正交变换X QY 则 3 解 1 写出二次型f的矩阵A 2 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的 特征向量 当 时解 解之 其基础解系 先将 正交化 单位化 当 得同解方程组 基础解系为 时解 单位化 3 写出正交变换 取正交矩阵 则得所欲求的正交变换 的标准形 易知经上述正交变换 后所得二次型的标准形 4 写出 二次型的标准形显然不是唯一的 只是标准形中 所含项数是确定的 即是二次型的秩R A 不仅如此 在限定变换的实变换时 标准形中的系数的个数是不 变的 从而负系数的个数也不变 这与选择的线性 变换无关 可设二次型的标准形为 三 正定二次型 令 1 式变成 则称 2 为实二次型 的规范型 其平方项系数为1 1 0 设二次型的标准形为 惯性定理 定理2 任何实二次型总可以经过一个适当的可逆 线性变换化成规范形 规范形是唯一的 其中为的秩 都有 定义 设 为实二次型 A为实对称矩阵 如果对于任意非零向量 称为正定 半正定 二次型 称正定 半正定 二次型的矩阵为正定 半正定 矩阵 2 正定二次型 判别下列二次型的正定性 任 半正定 1 2 解 1 代入 2 不定 例5 实二次型 正定 标准形中个系数全为正 推论2 推论