材料力学练习5.doc

第九章 压杆稳定重点 1、压杆的稳定性、临界压力、失稳的概念； 2、工作柔度的计算； 3、 欧拉公式及适用范围； 4、临界应力总图； 5、各种约束下的长度系数； 6、压杆的稳定性校核； 7、提高压杆稳定性的措施；难点 1、大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆的判别； 2、根据工作柔度的不同选取不同的临界应力的计算公式；3、矩形或其他不对称截面的压杆在计算工作柔度时要考虑两个相互垂直平面内的情况，取两个柔度中较大的一个作为压杆的工作柔度；4、当两个相互垂直平面内的约束不对称时，取两个柔度中较大的一个作为压杆的工作柔度；5、压杆温度计算中涉及到静不定问题时，先求解静不定问题，再进行稳定性计算；基本知识点 1、压杆稳定的稳定平衡、不稳定平衡、临界载荷的概念； 2、压杆失稳与强度问题的区别； 3、不同杆端约束下的细长杆的临界应力的计算公式； 4、长度系数的意义； 5 、临界力与压杆长度、横截面形状、杆端约束的关系； 6、压杆的柔度的概念； 7、欧拉公式的适用范围和临界应力总图； 8、熟练掌握大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆的判别方法及其临界载荷的计算； 9、压杆的稳定条件； 10、运用安全系数法对不同柔度压杆的稳定性进行分析计算； 11、提高压杆稳定性的措施；判断 压杆稳定1、“压杆失稳的主要原因是由于外界干扰力的影响“ 答案 此说法错误 答疑 压杆失稳的主要原因是压杆承受的压力达到了压杆本身的临界压力。 2、“同种材料制成的压杆，其柔度越大越容易失稳“ 答案 此说法正确 答疑 柔度大的压杆的临界压力小，固容易失稳。 3、“压杆的临界压力与材料的弹性模量成正比“ 答案 此说法错误 答疑 细长杆的临界压力与弹性模量成正比，中粗杆、粗短杆不成立。 4、“两根材料、长度、横截面面积和约束都相同的压杆，其临界力也必定相同“ 答案 此说法错误 答疑 压杆的临界力取决于两端的约束、杆件的长度、材料、截面的形状。即使横截面的面积相同，但如果形状不同，截面的惯性矩就不同，工作柔度也不同。 判断 压杆稳定5、“对于轴向受压杆件来说，由于横截面上的正应力均匀分布，因此不必考虑横截面的合理形状问题 答案 此说法错误 答疑 对于轴向受压的杆件需要考虑它的稳定性问题，而稳定性与截面的形状有关，固必须考虑截面的合理形状。6、“细长压杆的长度加倍，其他条件不变，则临界力变为原来的1/4；长度减半，则临界力变为原来的4倍。 答案 此说法正确 答疑 细长杆的临界压力的欧拉公式为Pcr=2EI/(L)2，若细长压杆的长度加倍，其他条件不变Pcr=2EI/(2L)2Pcr/4；若长度减半，Pcr=2EI/(L/2)24Pcr。 7、“满足强度的压杆不一定满足稳定性；满足稳定性的压杆也不一定满足强度” 答案 此说法错误 答疑 压杆失稳时，应力并不一定很高，有时甚至低于比例极限。固满足强度的压杆不一定满足稳定性；但满足稳定性的压杆一定满足强度。 8、“合金钢的稳定性一定比碳素钢的好” 答案 此说法错误 答疑 材料对细长杆的稳定性影响不大，对于细长杆来说截面的惯性矩、杆长，约束条件等都对压杆的稳定性有较大的影响。 选择 压杆稳定1、压杆失稳是指在轴向压力作用下： 。 A：局部横截面的面积迅速变化； B：危险面发生屈服或断裂； C：不能维持平衡状态而发生运动；D：不能维持直线平衡而发生弯曲； 答案 正确选择：D 答疑 压杆失稳是不能维持原有的直线平衡，变为曲线形式的平衡即发生了弯曲。 2、理想均匀压杆的工作压力P达到临界压力Pcr时处于直线平衡状态，受一干扰后发生微小弯曲变形，解除干扰后，则压杆 。 A：弯曲变形消失，恢复成直线状态； B：弯曲变形减小，不能恢复成直线状态； C：微弯变形形态保持不变； D：变形继续增大； 答案 正确选择：C 答疑 当压杆的工作压力P达到临界压力Pcr时再受一微小的干扰，压杆会发生轻微的弯曲，干扰解除后，压杆保持曲线形状的平衡，不能恢复原有的直线形状。 3、一细长压杆当轴向压力P达到临界压力Pcr时受到微小干扰后发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P，则压杆的微弯变形 。 A：完全消失； B：有所缓和； C：保持不变； D：继续增大； 答案 正确选择：A 答疑 压杆的工作应力P，变形处于线弹性范围内。 4、下图中的长度系数=? A：0.5； B：0.51.0； C：0.72； 答案 正确选择：C 答疑 一端固定、一端为弹性支撑的压杆，比一端固定、一端自由的压杆的约束好；但比一端固定、一端铰支的压杆的约束差。 5、下图中的长度系数=? A：0.7； B：0.71.0； C：1.02； 答案 正确选择：D 答疑 一端自由一端弹性支撑的压杆比一端自由一端固定的压杆的约束差。选择 压杆稳定6、细长杆承受轴向压力P，杆的临界压力P与 无关。 A：杆的材质； B：杆长； C：杆承受的压力； D：杆的形状； 答案 正确选择：C 答疑 压杆的临界压力是由压杆本身的因素决定的，与外载无关。 7、图示中钢管在常温下安装，钢管 会引起钢管的失稳。 A：温度降低； B：温度升高与降低都会引起失稳；C：温度升高； D：温度升高或降低都不会引起失稳； 答案 正确选择：C 答疑 钢管的温度升高，钢管要膨胀，在两端的约束下使钢管受压，当压力足够大时会引起钢管失稳。 8、压杆的失稳将在 纵向面内发生。 A：长度系数大； B：惯性半径小； C：工作柔度大； D：工作柔度小； 答案 正确选择：C 答疑 压杆总在工作柔度大的纵向面内失稳。因为在工作柔度大的纵向面内，压杆的临界应力小，相应的临界压力小，压杆在此面内容易失稳。 9、在材料相同的情况下，随着工作柔度的增大， 。 A：细长杆的临界压力下降，中粗杆的临界压力不变； B：细长杆的临界压力不变，中粗杆的临界压力下降； C：细长杆的临界压力下降，中粗杆的临界压力下降； D：细长杆的临界压力不变，中粗杆的临界压力不变； 答案 正确选择：C 答疑 细长杆与中粗杆的临界压力均是随工作柔度的增大而降低。细长杆的临界应力为cr=2E/, 中粗杆的临界应力为cr=a-b,二者均随工作柔度的增大而减小，固临界压力下降。 10、图示材料、截面形状、面积均相同的压杆AB、BC， AB2BC，在受到压力P时 。 A：两杆同时失稳 B：BC杆现失稳 C：AB杆先失稳 D：无法判断 答案 正确选择：A 答疑 AB段的工作柔度为=L/i=1.0AB/i=2BC/i；BC段的工作柔度为=L/i=2.0BC/i=2BC/i；两段的工作柔度相同，固两段同时失稳。选择 压杆稳定11、图示中桁架的材料、截面均相同，正方形的边长为L。设P1和P2分别为两个桁架稳定的最大载荷，则 。 A：P1P2 B： P1P2 D:不确定P1和P2的关系 答案 正确选择：B 答疑 给桁架中的各杆编号如图 图A中2、3为零力杆，1、4受拉，5杆受压；图B中1、4为零力杆，2、3杆受压，5杆受拉。在图A中的5杆与图B中的2、3杆材料相同、截面相同的条件下，5杆比2、3杆长，承受的压力小，固P1小于P2。 12、在压杆的稳定性计算中：:用欧拉公式计算中粗杆的临界压力； ：用直线公式计算细长杆的临界压力； 其后果是： A：偏于安全、偏于不安全； B：偏于安全、偏于安全； C：偏于不安全、偏于安全； D：偏于不安全、偏于不安全； 答案 正确选择：D 答疑 用欧拉公式计算中粗杆或用直线公式计算了细长杆的临界压力，均使得计算值大于压杆实际的临界压力，偏于不安全。13、采用 措施，并不能提高细长杆的稳定性。 A：增大横截面的面积； B：提高表面光洁度； C：降低工作柔度； D：选用优质钢； 答案 正确选择：B 答疑 提高表面光洁度对于提高压杆的稳定性没有影响。 14、将碳钢改用优质合金钢后，并不能提高 压杆的承载力。 A：中粗杆； B：细长杆； C：粗短杆； 答案 正确选择：B 答疑 细长杆的临界压力不仅与材料有关，更与截面惯性矩，两端的约束、杆件的长度等因素有关。碳钢与合金钢的弹性模量相差不太大，固对于细长杆来说，并不能明显地提高压杆的承载力。 15、在压杆的稳定计算中，用欧拉公式计算了中粗杆的临界压力Fcr，结果是： A：实际的临界压力Fcr B：实际的临界压力Fcr，是偏于安全的； C：实际的临界压力Fcr，是偏于不安全的； D：实际的临界压力a-b，固用细长杆的临界应力公式计算了中粗杆的临界应力，结果使得计算的临界压力值大于杆件实际的临界压力，偏于不安全。 选择 压杆稳定16、由碳钢制成的细长压杆，经冷作硬化后，其 。 A：稳定性提高、强度不变； B：稳定性不变、强度提高； C：稳定性提高、强度提高； D：稳定性不变、强度不变； 答案 正确选择：B 答疑 碳钢经过冷作硬化后比例极限提高，固强度提高；但碳钢的弹性模量基本不变，细长杆的临界压力基本不变，固稳定性不变。 17、两端铰支的细长压杆，在长度一半处增加一活动铰支。用欧拉公式计算临界压力时，临界压力是原来的 倍。 A：1/4； B：1/2； C：2； D：4； 答案 正确选择：D 答疑 在长度一半处增加一活动铰，相当于将 压杆分成两个长度相等的压杆，固临界压力是原来的4倍。 18、在横截面面积相等，其他条件均相同的条件下，压杆采用 截面形式，稳定性最好 答案 正确选择：D 答疑 D的截面的大部分分布在远离中性轴的区域，有较大的惯性矩，且截面在两个方向上有相同的惯性矩，稳定性最好。 19、图示边长为a=21.73210mm的正方形截面大柔度杆，杆长为500毫米，承受轴向压力P=42KN，材料的弹性摸量为E100GPa，则该压杆的工作安全系数为 。 A：n=1；B：n=2；C：n=3；D：n=4； 答案 正确选择：C 答疑 图示中的杆件为大柔度杆，其临界压力采用欧拉公式Pcr=2EI/(L)2=122KN,固该压杆的安全系数为Pcr/P=3 20、托架由横梁与杆组成。若将杆由位于梁的下方改为位于梁的上方，其他条件不变，则此托架的承载力 。 A：提高B：降低C：不变D：不确定 答案 正确选择： A 答疑当杆由位于梁的下方时杆受压，托架的承载力由横梁的强度和压杆的稳定性决定；当杆位于梁的上方时杆受拉，彻底避免了稳定性问题，此时托架的承载力由横梁的强度和拉杆的强度决定，固系统的承载力得到提高。 选择 压杆稳定21、图示结构中，当 时，结构的承载力最大。 A:=0； B：90度； C：二杆轴力相等； D：二杆同时达到各自的临界压力； 答案 正确选择：D 答疑 系统由n根压杆组成，当每一根压杆均达到各自的临界压力时系统有最大的承载力。 22、力P由向下改成向上，则结构的稳定性 。 A：提高； B：不变； C：降低： D：不确定； 答案 正确选择： C 答疑 力P向下，斜杆受拉，水平杆受压；当力P向上，斜杆受压，水平杆受拉。由于斜杆比水平杆长，临界压力低，固稳定性下降。 23、由四根相同的等边角钢组成一组合截面压杆，若组合截面的形状分别如图所示，在此两种截面形式下： 。 A：稳定性不同，强度相同； B：稳定性相同，强度不同； C：稳定性不同，强度不同； D：稳定性相同，强度相同； 答案 正确选择：A 答疑 横截面的大小相同，固强度相同；但截面的惯性矩不同，固稳定性不同。右图的稳定性较好。 24、两端为球形铰支的细长压杆，采用如图所示的四种截面。问压杆失稳时在何纵向平面内挠曲？ 答案 圆形截面对任意轴的惯性矩相等，固可能在任何的纵向面内翘曲。 T型截面对过形心的铅垂轴的惯性矩最小，固在以铅垂轴为中性轴的平面内发生翘曲左右弯。 工字钢截面对过形心的铅垂轴的惯性矩最小，固在以铅垂轴为中性轴的平面内发生翘曲左右弯。 答疑 压杆失稳总在工作柔度大的纵向面内发生。工作柔度=L/i，在两个平面内的约束相同的情况下，工作柔度大的面位于惯性半径较小的平面内。而惯性半径i= (I/A)1/2 ，惯性半径较小的面就是惯性矩较小的面。固压杆失稳在惯性矩较小的纵向面内发生。 25、桁架受力和选材分别如图所示，从材料力学的观点，较为合理的是 。 答案 正确选择：B 答疑铸铁抗压不抗拉，宜作受压构件，钢材的抗拉压强度相等，既可作受拉构件也可作受压构件。B图与C图中，均将铸铁作为受压构件，钢材作为受拉构件，从强度的角度考虑此二个方案合理。但是在C图中的受压构件的杆长大于B图中受压构件的杆长，C图的稳定性不如B图好。固合理的选择应该是B。 填空 压杆稳定1、对于不同柔度的塑性材料制成的压杆，其最大临界应力将不超过材料的 。 答案 屈服极限 答疑 在压杆的临界应力总图中，对于细长杆、中粗杆和粗短杆而言，临界应力的最大值为材料的屈服极限。固压杆的最大临界应力将不超过材料的屈服极限。 2、图示中的桁架结构，两细长杆的长为L，与铅垂线的夹角相等，均为。但EI1EI2,则结构的临界载荷为 。 答案 Fcr2 cos2EI2/L2 答疑 两杆的受力相等，但2杆的临界压力小，固结构的临界载荷为当2杆达到临界时的载荷。临界载荷Fcr2Fcr2cos=2 cos2EI2/L2 3、两端铰支的细长压杆横截面为矩形截面，其失稳的临界压力为 ，挠曲线位于 平面内 答案 Pcr=2EIy/L2， xoz。 答疑 压杆总在工作柔度大的纵向面内失稳。在两纵向面内约束相同的情况下，惯性矩小的面内工作柔度大。固压杆在以y轴为中性轴的面内失稳。临界压力为：Pcr=2EIy/L2，挠曲线位于xoz平面内。 4、横梁由三根相同的圆杆支撑，圆杆的横截面面积为A，惯性矩为I，弹性模量为E。则：当横梁为刚性时，结构崩溃时的载荷值为 ；若横梁为弹性体（抗弯刚度为EI），结构崩溃时的载荷值为 。 答案 32EI/L2、 32EI/L2 答疑 结构崩溃时即结构达到临界状态，当结构达到临界状态时，三根杆均处于临界状态，FcrPcr1+Pcr2+Pcr3。由于三杆的支撑、横截面面积、惯性矩、材料的弹性模量均相同，固三杆的临界压力也相同。此时系统的临界载荷为Fcr3 Pcr1=32EI/L2。如果横梁是弹性体，横梁发生弯曲变形，属于强度问题，不会影响系统的稳定性问题，固系统的临界载荷不变。 5、在一般情况下，稳定安全系数比强度安全系数要大，这是因为实际压杆总是不可避免地存在 ， ，以及 等不利因素。 答案 初弯曲、压力偏心、材料不均匀和支座缺陷 答疑 压杆的计算公式是在理想压杆的基础上得到的，考虑到实际压杆总是存在初弯曲、压力偏心、材料不均匀等一些不利因素，固稳定安全系数要比强度安全系数大一些。 填空 压杆稳定6、图示矩形截面细长压杆，两端用圆柱铰连接。其约束在纸平面内可视为两端铰接，在垂直于纸面的平面内可视为两端固定，从稳定性考虑，截面合理的长、宽比为h/b= 答案 2：1 答疑 从稳定性的角度考虑，压杆在两个纵向面内具有相同的工作柔度时，压杆的稳定性才最好。压杆在纸平面内的工作柔度为=L/i=1.0L/h/(21.732)；在垂直于纸面的平面内的工作柔度为=L/i=0.5L/b/(21.732)；固当压杆有最好的稳定性时须满足1.0L/h/(21.732)0.5L/b/(21.732)；整理得到：h:b=2:1。 7、各段细长杆的EI、L均相等，在力P作用下 段先失稳。 答案 D 答疑 A段相当于一端固定一端铰支；B、C段相当于两端铰支；D段相当于一端铰支一端自由；固D段的两端约束情况最差，压杆首先在D段失稳。 8、五根杆的E、A均相同，组成正方形桁架。如果力P由压改为拉,结构的临界压力是原来的 倍。 答案 P拉/P压=1/(21.414) 答疑 如果力P为压力时，边长上的四根杆受压，对角线上的杆受拉，系统的临界压力为P压1.414Pcr=1.4142EI/L2；如果力P改为拉力，边长上的四根杆受拉，对角线上的杆受压，系统的临界压力为P拉Pcr=2EI/（1.414L）2=2EI/2L2；P拉/P压=1/(21.414)。9、杆的抗弯刚度为EI，此系统的临界压力为： 。 答案 2EI/L2 答疑1段的工作柔度为=L/i=0.7L/2/i=0.35L/i；2段的工作柔度为=L/i=1.0L/i=L/i；所以2段首先失稳，当2段失稳时的压力即为系统的临界压力。固系统的临界压力为Pcr=2EI/L2。 填空压杆稳定10、压杆抗弯刚度为EI，压杆的临界压力为 。 答案 Pcr=2EI/L2 答疑 中间铰将压杆分成4段约束相同、长度相同的四段压杆，四段压杆同时失稳。固压杆的临界压力为Pcr=2EI/L2 11、判断一根压杆属于细长杆、中长杆还是粗短杆，需要全面考虑压杆的 。答案 材料、约束状态、长度、横截面形状、尺寸 答疑 判断压杆是细长杆、中粗杆、粗短杆的唯一的依据是压杆的工作柔度与两个特征柔度之间的大小关系。特征柔度与材料有关，而工作柔度与约束、长度、横截面形状和尺寸有关。 12、图示中的细长压杆，材料、长度、横截面面积均相同，空心截面的内、外径之比为0.6，则两杆的临界压力之比为：P1：P2 。 答案 0.2306 答疑 1杆的临界压力为Pcr1=2EI1/L2；2杆的临界压力为Pcr2=2EI2/(0.7L)2=2EI2/0.49L2。 Pcr1/ Pcr2=2EI1/L2/2EI2/0.49L2=0.49I1/I2=0.2306 13、图示中，各自的总长度相等，截面形状和尺寸以及压杆的材料均相同，且均为细长杆。已知图a的临界压力为 Pcr=20KN，则图的临界压力为 Pcr= ；图的临界压力为Pcr= 。 答案 80KN、80KN 答疑 图中的压杆由两个两端铰支，长度是L/2的单独的压杆组成，压杆两端的约束不变，长度缩短一半，固图的临界压力是图a临界压力的4倍。 图c中的压杆相当于图a中的压杆在中间增加一活动铰，使得压杆的长度缩短一半，固图c中压杆的临界压力也是图a临界压力的4倍。简述 压杆稳定1、图示中的二杆的材料、截面尺寸及形状完全相同，问哪一个临界压力大？大多少倍？ 答案 b的临界压力大，是的9倍 答疑 压杆在中间部位增加活动铰，将压杆的每一段上长度缩短，固b的临界压力大；其临界压力为Pcrb=2EI/(L/3)2=9 Pcra。 2、图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同，排序出在纸平面内失稳的先后顺序。 答案 3、2、4、1。 答疑 1杆的工作柔度为1=L/i=22/i=4/i；2杆的工作柔度为2=L/i=0.78/i=5.6/i；3杆的工作柔度为3=L/i=1.06/i=6/i；4杆的工作柔度为4=L/i=0.510/i=5/i；由于3241,考虑到压杆总在工作柔度大的方位失稳，固压杆失稳的先后顺序为3、2、4、1。 3、判断下列压杆的稳定性，按稳定性从大到小的顺序排列。已知各杆的材料相同、横截面均为直径为d的实心圆截面。 答案 3、2、4、1 答疑 1杆的工作柔度为1=L/i=23/i=6/i；2杆的工作柔度为2=L/i=0.77/i=4.9/i；3杆的工作柔度为3=L/i=0.58/i=4/i；4杆的工作柔度为4=L/i=1.05/i=5/i；由于1423,考虑到压杆总在工作柔度大的方位失稳，固压杆稳定性大小的排序为3、2、4、1。 4、一受压的圆截面杆件，已知材料的机械性质参数p，s,b，E,杆长L，直径D，支持系数，并设已知压杆临界应力的线性经验公式常数a、b为已知。欲计算压杆的临界压力，写明计算过程，列出有关的公式。 答疑 (1)、计算工作柔度=L/i，计算第一特征柔度1=(2E/P)1/2 2=(a-s)/b； (2)、如果1，采用欧拉公式计算压杆的临界应力cr=2E/2；如果12采用直线公式计算压杆的临界应力cr=a-b； 如果（P1=P3） 答疑 图1中只有对角线上的杆受压，正方形边长上两杆的轴力为零，另外两杆的轴力为P；图2中正方形边长上的两根杆受压，另外两杆的轴力为零，对角线上的杆受拉；图3中对角线上的杆受压，正方形边长上有3杆的轴力为零，另外一根杆的轴力为P；固P2最大，P1P3 6、图示中的矩形截面细长压杆，下端固定，上端有一销孔，通过销轴传动。绘出XY、XZ平面内压杆的两个计算简图，并求压杆的h/b的合理比值。 答案 h/b=7/5 答疑 xy平面内简化为一端固定、一端铰支；在xz平面内简化为两端固定。 z=L/i=0.7L/iz=0.7L/h/(21.732)；y=L/i=0. 5L/iy=0.5L/b/(21.732)；合理截面要求zy。固有h/b=7/5 7、直径为D的圆截面细长杆件长为L，受力如图。下端固定，上端与一刚度为K的弹簧连接。若压杆在纸平面内失稳，请写出推导临界压力的微分方程；列出需要满足的边界条件；说明长度系数随弹簧刚度K的变化范围。 答疑 压杆在纸平面内失稳后的曲线如图。 设弹簧变形量为，压杆在上端受压力P和弹簧反力R的共同作用。设坐标原点位于固定端处，x轴向上为正，那么在距离原点为x处截面的弯矩方程为M(x)=P(-y)-R(L-x)= -P(y-)-R(L-x)。代入挠曲线微分方程EIy=M(x)中得到压杆的微分方程为 EIy=-P(y-)-R(L-x)。 边界条件为：x=0 y=0、 y=0； x=L y=； 此压杆下端为固定端，上端为弹性支撑，比一端固定一端铰支的压杆的约束差，比一端固定一端自由的压杆的约束好，固长度系数0.72；弹簧刚度K越大，表示杆件受到的约束越好，长度系数越小。8、把一张纸竖立