1高等代数复习题I.pdf

高高高等等等代代代数数数复复复习习习题题题I 一 填空题 1 设R和R 分别表示实数集和正实数集 写出R到R 的一个双射 写出一个数域F 用集合表示 使得Q F R 2 最小的数域是写出一个数环S 用集合表示 使得Z S Q 且0 5 S 3 1是f x x5 x4 6x3 14x2 11x 3的重根 已知 1是g x x5 tx2 tx 1的重根 则 t 4 已知x 1是ax4 bx 3的重因式 则 a b 5 将多项式f x x5展开成x 1的多项式是 6 不使用二项式定理和多项式的乘法以及合并同类项展开多项式 x 1 5 3 x 1 3 2 x 1 2 1为 7 已知3阶行列式 fl fl fl fl fl fl fl fl fl 311 121 113 fl fl fl fl fl fl fl fl fl 则 A12 3A22 A32 而 3A21 A22 A23 8 已知4阶行列式 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 3111 1211 1131 1113 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 则A21 3A22 A23 A24 而A21 A22 3A23 A24 9 用Cramer法则解线性方程组的两个条件是和 10 设A是n阶矩阵 X x1 x2 xn T b b1 b2 bn T 则当时 方程组AX b可以用Cramer法则求解 而当时 对应的齐次线性方 程组AX O有无穷解 11 设aix biy ci i 1 2 3表示平面上三条两两相交成三角形的直线 以A和 A分别表示三个方程组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵 则r A r A 高等代数 复习题I第1页共 8 页 12 设aix1 bix2 cix3 0 i 1 2 3 是三个不同的平面 A为齐次线性方 程组的系数矩阵 当r A 时 三个平面相交于一条直线 设A aij m n X x1 x2 xn T b b1 b2 bm T 可用Cramer法则解线 性方程组AX b的两个条件是 m n和 13 设A A1 C2 C3 C4 B B1 C2 C3 C4 是分块矩阵 其中A1 B1 C2 C3 C4都 是4 1矩阵 且 A 5 B 3 则 A B 而 2A B 14 排列2n 1 2n 1 2 n 1 n的反序数是 设A A1 C2 C3 C4 B B1 C2 C3 C4 是分块矩阵 其中A1 B1 C2 C3 C4都是4 1矩阵 且 A 4 B 2 则 A B 15 含有n个未知数的n个齐次线性方程组只有零解的充要条件是系数行列 式detA 设A是m n矩阵 B是n m矩阵 且m n 则 AB 16 010 100 001 2011 123 234 345 100 001 010 2012 已知 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a1a2a3a4 a2a2a4a5 a3a2a5a6 a4a2a6a7 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 则A13 A23 A33 A43 其中Aij是aij的代数余子式 17 已知矩阵A a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 B a13a12a11 a33a32a31 a23a22a21 则B A 18 已知A 210 320 231 则 A 1 如果n阶矩阵A的秩为n 2 则秩 A 二 单项选择题 1 以下关于数环与数域的命题正确的是 A 存在有限个元的非零环 B 每个数环都包含整数环 C 每个数域都包含1 D 存在介于实数域和复数域之间的数域 高等代数 复习题I第2页共 8 页 2 以下多项式在有理数域上可约的是 A 5x4 6x3 12x 6 B x4 10 x2 1 C x4 4kx 1 k为整数 D x3 3x 4 3 下列命题不正确的是 A 如果不可约多项式p x 是f x 的k重根 那么p x 是f0 x 的k 1重根 B 如果f x g x h x 但f x g x 那么f x h x C 在实数域上次数不小于3的多项式在实数域上一定是可约的 D 如果多项式f x 在实数域上不可约 那么f x 在有理数域上也不可约 4 设f x anxn an 1xn 1 a1x a0 n 2 是整系数多项式 则以下 命题不不不正确的是 A f x 在复数域C上是可约多项式 B 如果n 3 则f x 在实数域R上是可约的 C 如果Pn i 1ai 0 则f x 有x 1的因式 D 如果f x 没有理根 则f x 在有理数域Q上不可约 5 下列命题不正确的是 A 任意n阶矩阵A可以表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和 B 设A是n阶非零矩阵 如果AB AC 则B C C 如果整系数多项式f x 的所有系数的和为零 那么 x 1 f x D 设p1 p2 pn是n个互不相同的素数 则 n p 1p2 pn是无理数 6 实数域R上的3次多项式的典型分解式共有多少种不同类型 A 2B 3C 4D 5 7 设A B是n 2阶矩阵 则下列结论正确的是 A AB k AkBk k是任意正整数 B aA an A C 如果A B可逆 则AB可逆且 AB 1 A 1B 1 D A B A B A2 B2 高等代数 复习题I第3页共 8 页 8 设A B C是n阶矩阵 O是零矩阵 以下命题正确的是 A 如果A 6 O B 6 O 则 AB 6 O B 如果AB AC A 6 0 则 B C C 如果AB AC A 6 O 则 B C D 如果AB O 则 A O 或 B O 9 设n阶矩阵A B C满足ABC E 其中E是n阶单位矩阵 则必有 A ACB E B CBA E C BAC E D BCA E 10 设A B是n阶矩阵 则下列结论不正确的是 A r AB min r A r B B A可逆的充要条件是A 可逆 C A B可逆的充要条件是AB可逆 D detAdetB detAB 11 若n阶矩阵A的伴随矩阵A 6 O AA O 则r A A 0 B 1 C n 1 D n 12 设A为n阶矩阵 A 为A的伴随矩阵 A a 6 0 则 A A a B a 1 C an 1 D an 13 设A是n阶矩阵 而B是由A通过一系列等变换得到的 则下列结论中不正确的 是 A r A r B B A可逆的充要条件是B可逆 C detA detB D detA 0的充要条件是detB 0 14 设A是n阶矩阵 B是由A通过第三种初等变换得到的 则下列结论不正确的 是 A r A r B B A不可逆的充要条件是B 不可逆 C detA detB D detA k detB k 6 1 0 15 设A aij m n r A r 则非齐次线性方程组AX b A r n 时 方程组有唯一解 B r m 时 方程组有解 C m n 时 方程组有唯一解 D r m时仅有零解B 当n m时必有非零解 C 当m n时仅有零解D 当m n时必有非零解 高等代数 复习题I第4页共 8 页 17 下列命题正确的是 A 存在奇数阶的可逆的反对称矩阵 B 秩为r的矩阵的所有r阶子式不为0 C 秩为r的方阵可以表示为r个秩为1的矩阵的和 D 如果n阶矩阵AB的行列式 AB 0 则 A 0或 B 0 18 设A B都是n阶非零矩阵 且AB O 则r A 和r B 的结论正确的是 A 一个小于n 一个等于0 B 必有一个为0 C 都小于n D 都等于n 19 设A是m n矩阵 B是n m矩阵 则 A 当m n时 必有 AB 6 0 B 当m n时 必有 AB 0 C 当m n时 必有 AB 6 0 D 当m n时 必有 AB 0 20 设A B X都是n阶矩阵 且A可逆 则下列命题不正确的是 A 如果AX B 则对A和B施行同样的初等行变换 当A变为E时 B变为X B 如果XA B 则对A和B施行同样的初等列变换 当A变为E时 B变为X C 如果AX B 则对AT和BT施行同样的初等列变换 当AT变为E时 BT变 为X D 如果XA B 则对AT和BT施行同样的初等行变换 当AT变为E时 BT变 为XT 三 求 f x g x 并求u x v x 使得u x f x v x g x f x g x 1 f x 4x4 2x3 16x2 5x 9 g x 2x3 x2 5x 4 2 f x x4 x3 3x2 4x 1 g x x3 x2 x 1 3 f x x3 7x2 7x 15 g x x2 x 20 4 f x x4 x3 4x2 4x 1 g x x2 x 1 四 解答下列各题 1 考虑多项式x4 x3 3x2 7x 10在有理数域上的可约性 2 证明多项式f x x6 x3 1在有理数域上不可约 高等代数 复习题I第5页共 8 页 3 设f x f0 xn xf1 xn x2f2 xn xn 2fn 2 xn 能被g x 1 x x2 xn 1整除 证明fi 1 0 i 0 1 n 2 4 用综合除法和Eisenstein 判别法证明f x x6 x3 1在有理数域上不可约 5 求多项式f x x5 x4 5 2x 3 2x2 1 2x 3的有理根以及重数 6 求多项式f x x5 2x4 5 2x 3 5x2 3x 3的有理根 7 设AX B 不准使用矩阵的乘法求矩阵X 其中 a A 12 1 34 2 5 31 B 1 11 110 211 b A 223 1 10 121 B 1 11 110 211 c A 103 011 21 6 B 110 122 024 8 设AXC B 不准使用矩阵的乘法求矩阵X 其中 A 12 1 34 2 5 31 B 1 11 110 211 C 223 1 10 121 9 设3阶A B满足A BA 2BA E 其中A 200 010 001 求B 五 计算下列行列式 1 Dn flfl flfl flfl flfl flfl flfl flfl fl x aaa a ax 2aa a aax 3a a aaa x na fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 2 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl x1 mmm m mx2 mm m mmm xn m fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 高等代数 复习题I第6页共 8 页 3 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 11 11 a1a2 an 1an an 2 1 an 2 2 an 2 n 1 an 2 n an 1 an 2 an n 1 an n fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 4 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1234 n 2123 n 1 3212 n 2 nn 1n 2n 3 1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 5 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1a1a2 an 1a1 b1a2 an 1a1a2 b2 an 1a1a2 an bn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 6 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 123 n 1n 133 n 1n 125 n 1n 123 2n 3n 123 n 12n 1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 7 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 1a1a2 an 1an 1xa2 an 1an 1a1x an 1an 1a1a2 an 1x fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 8 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl a1a10 00 0 a2a2 00 00 a3 00 000 anan 111 11 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 9 Dn fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 133 3 323 3 333 3 333 n fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl 10 Dn 1 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl an 1 an 1 1 b1an 2 1 b2 1 a1bn 1 1 bn 1 an 2 an 1 2 b2an 2