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人教版 八年级（上册）13.4 最短路径问题一、创设情景引入课题 有一位将军经常到军营视察军务，有时也骑马到小河边给马饮水，一天将军突然想到这样一个问题，如果，我从城堡出发先到一条笔直的小河边给马饮水，再到军营，在河边的什么地方给马饮水所走的路径最短呢？这个问题他百思不得其解，于是他向当地的一位著名学者海伦请教，精通数学的海伦稍加思索，运用数学知识很轻松的就把问题解决了，这节课我们就学习怎样探究这类最短路径问题。二、铺垫1 将军骑马从城堡A出发，到一条笔直的小河边l 饮马。问在河边的什么地方饮马，将军所走路径最短？为什么？三、铺垫2 将军骑马从城堡A出发，到军营B去，途中经过一条笔直的小河l 。将军问：在小河的什么地方饮马可使他所走的路径最短？问1：这个实际问题能够转化为一个什么样的数学问题？问2：怎样解决这个问题？为什么？追问：要研究实际问题首先要把实际问题转化为什么问题？四、探究一 活动1：“将军饮马问题”我们可以把它转化为什么数学问题？学生活动：上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小.活动2： 如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？ 追问1：以我们的观察力能否直接看出点C的位置（利用几何画板让点C动起来） 追问2:类比铺垫问题2由此你能想到，我们怎样解决这个问题呢？在转化的过程中CA的长度能否发生变化？什么知识能够帮助我们解决这个问题呢？师生活动：学生独立思考，画图分析，组内进一步交流，展示成果，互相补充如果学生有困难，教师可作如下提示（板书过程）作法：（1）作点A关于直线l的对称点A；（2）连接BA，与直线l相交于点C，则点C即为所求追问3：我们这样找到的点C是合理的吗？任取一点C，你能证明AC+CBAC+CB吗？反思升华：回顾探索的过程，我们是怎样解决这个问题的.巩固训练：已知：P、Q是ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使PQR的周长最短吗？五、探究二 如图：一位将军骑马从城堡A出发，先骑马去草地边OM的某处吃草，再骑马去河边ON喝水，最后回到城堡A， 问：这位将军怎样走路程最短？巩固训练：已知P是BAC的边AB上的点，你能在AC、AB上分别确定一点Q和R，使PQ+QR最短吗？反思小结 （1）本节课研究问题的基本过程是什么（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？
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