《特殊数的整除特征》课件1.ppt

2 2特殊数的整除特征 人教B版数学选修4 6 初等数论初步 一个整数是否能被另一个整数整除 一般通过试除就可知 但有时这样做计算量较大 那么有没有其他较简单的方法呢 本节就讨论这个问题 能被2整除的数的特征 个位数字是0 2 4 6 8中的一个 能被3整除的数的特征 一个数各个数位上的数字之和能被3整除 能被4 或25 整除的数的特征 一个数的末两位能被4 或25 整除 能被5整除的数的特征 一个数的个位数字是0或5 能被8 或125 整除的数的特征 一个数的末三位能被8 或125 整除 能被9整除的数的特征 一个数各个数位上的数字之和能被9整除 能被11整除的数的特征 一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除 能被7 或11或13 整除的数的特征 如果数A的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所代表的数之差能被7 或11或13 整除 那么数A就能被7 或11或13 整除 能被27 或37 整除的数的特征 对于任何一个自然数 从个位开始 每三位为一节将其分成若干节 然后将每一节上的数连加 如果所得的和能被27 或37 整除 那么这个数一定能被27 或37 整除 数的整除性质有 如果甲数能被乙数整除 乙数能被丙数整除 那么甲数一定能被丙数整除 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除 那么这两个互质的自然数的和与差也一定被这个自然数整除 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除 那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除 如果一个质数能整除两个自然数的乘积 那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个 个数相乘 如果其中一个因数能被某数整除 那么乘积也能被这个数整除 特殊数据倍数的特征 1 与2 5有同种倍数特征的数据 1 25 或4 的倍数的特征 末两位是25 或8 的倍数 2 125 或8 的倍数的特征 末三位是125 或8 的倍数 1725 1700 25 17 100 25分析 因为 100是4的倍数 1700就肯定是4的倍数 就不用考虑了 又因为25不是4的倍数 所以1725就肯定不是4的倍数 例 判断1725是4的倍数吗 例 975是不是25的倍数 分析 900肯定是25的倍数 在判断的过程中就不用考虑了 关键问题是想75是不是25的倍数 75是25的倍数 所以975就是25的倍数 2 与3有同种倍数特征的数据 9的倍数的特征 一个数的各个数位上的数的和是9的倍数 这个数就是9的倍数 例 4536是9的倍数吗 解答 4 5 3 6 9 2 是9的倍数 所以4536是9的倍数 3 其他一些数据的倍数的特征 7的倍数的特征 把一个数的末尾数字割去 从留下的数中减去所割去的数字的2倍 这样继续做下去 如果最后的结果是7的倍数 那么原来这个数就是7的倍数 例 判断 4151能否被7整除 因为35是7的倍数 所以4151是7的倍数 13的倍数的特征 把一个数的末尾数字割去 在留下的数中加上所割去数字的4倍 这样继续做下去 如果最后的结果是13的倍数 那么原来这个数就是13的倍数 例 判断10673能否是13的倍数 因为26是13的倍数 所以10673是13的倍数 7 或13 的倍数的特征 例 判断3546725是不是13的倍数 3546 725 28212821 13 217所以 3546725是13的倍数 一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差 以大减小 是7 或13 的倍数 11的倍数的特征 例 189354是不是11的倍数 分析 189354奇数位上的数的和是4 3 8 15 偶数位上的数的和是5 9 1 15 它们的差是0 0能被11整除 所以189354就能被11整除 这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差 大减小 是11的倍数 1 在2556 1056 9250 3564 2359 2028这些数中 是9的倍数的数有 是4的倍数的数有 是25的倍数的数有 是8的倍数的数有 是125的倍数的数有 是11的倍数的数有 是7的倍数的数有 是13的倍数的数有 2556 3564 2556 1056 3564 2028 9250 1056 9250 1056 3564 2359 2028 练习 练习 2 用6 7 8 9四个数字组成的四位数中 能被11整除的数有几个 并把它们写出来 共8个 6798 9768 7689 8679 6897 9867 7986 8976 3 求能被26整除的六位数 解答 能被26整除 也就同时能被2和13整除 既然能被2整除 那么Y 0 2 4 6 8 再判断能否被13整除 通过计算 得当Y 0时 X 8六位数是819910Y 2时 X 1六位数是119912Y 4时 X 7六位数是719914Y 8时 X 6六位数是619918 练习 4 用1 2 3 4 5 6这6个数字组成一个六位数 不同的字母代表不同的数字 要求组成的两位数ab是2的倍数 abc是3的倍数 abcd是4的倍数 是5的倍数 是6的倍数 找出符合条件的所有六位数 解答 abcde是5的倍数 那么e 5ab是2的倍数 abcd是4的倍数 abcdef是6的倍数那么b d f应分别为2 4 6 则a c应分别为1 3 通过计算 e 5 b 2 d 6 f 4 a 1 3 c 3 1 所有六位数是 123654 321654 5 一个整数乘以17后 乘积的后四位数是2002 这样的整数中最小的是多少 练习 解答 用 2002除以17 要求整数中最小的是多少 这个数字最小就是12002 12002 17 706 符合题目要求的最小的整数是706 例1 ABC分别是几时 使得七位数A6474BC能分别被8 9和25整除 分析 本体可以利用能被8 9和25整除的数的特征 以及整除的性质3来解决 能被8整除的数的特征 一个数的末三位能被8整除 能被9整除的数的特征 一个数各个数位上的数字之和能被9整除 能被25整除的数的特征 一个数的末两位能被25整除 整除的性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除 那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除 解 因为8 9和25这三个数两两互质 所以七位数A6474BC能被8 9 25 1800整除 所以B和C都应是0 再由能被9整除的数的特征可知 A 6 4 7 4 0 0 应能被9整除 所以A是6 答 当A 6 B 0 C 0时 七位数A6474BC分别能被8 9和25整除 例1 ABC分别是几时 使得七位数A6474BC能分别被8 9和25整除 例2 判断1884924与2560437 能否被27或37整除 能被27 或37 整除的数的特征 对于任何一个自然数 从个位开始 每三位为一节将其分成若干节 然后将每一节上的数连加 如果所得的和能被27 或37 整除 那么这个数一定能被27 或37 整除 解 1884924 1 884 924 1 884 924 1809 因为 1809能被27整除 不能被37整除 所以 1884924能被27整除 但不能被37整除 2560437 2 560 437 2 560 437 999因为999能被27整除 也能被37整除 所以2560437能被27和37整除 例2 判断1884924与2560437 能否被27或37整除 例3 判断下列个数能否被19整除 判断一个数能否被个位数是9的数整除的方法 对于任意一个自然数 去掉这个数的个位数后 再加上个位数的 k 1 倍 连续进行这一变换 如果最终所得的结果等于k9那么这个数能被k9整除 5511955538 解 1 因为是判断利用一个数能否被19整除 所以K 1 55119 5529 570 57 19 5511 9 2 552 9 2 57 0 2 5 7 2 由此可知55119能被19整除 2 55538 5529 570 57 16 5553 8 2 556 9 2 57 4 2 6 5 2 由此可知55119能被19整除 16不能被19整除 例3 判断下列个数能否被19整除 5511955538 例4 分析 因为11 101 1111 所以每4个1组成的数1111能被11和101整除 所以按1111把2008个1每四个分成一节 2008 4 502 共有502节 即 1111 1111 1111 根据整除的性质1可以判断出由2008个1组成的数1111 11能被11和101整除 由2008个1组成的数111 11 能否被101和11这两个质数整除 502个1111 整除的性质1 如果甲数能被乙数整除 乙数能被丙数整除 那么甲数一定能被丙数整除 2008个1组成的数能被1111整除 而且1111能被11和101整除 所以 2008个1组成的数1111 11能被11和101整除 解 11 101 11112008 4 502 例4 由2008个1组成的数111 11 能否被101和11这两个质数整除 例5 把1至2002这2002个自然数依次写下来 得一多位数1234567891011 20012002 试求这个多位数除以9的余数 判断一个数能否被个位数是9的数整除的方法 对于任意一个自然数 去掉这个数的个位数后 再加上个位数的 k 1 倍 连续进行这一变换 如果最终所得的结果等于k9那么这个数能被k9整除 解 因为依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数能被9整除 1至2002共有2002个数 2002 9 222 4 则 1999 2000 2001 2002这4个数所有数位上的数字和为1 9 9 9 2 2 1 2 2 37 37除以9余1 所以多位数除以9余1 例5 把1至2002这2002个自然数依次写下来 得一多位数1234567891011 20012002 试求这个多位数除以9的余数 例6 若多位数22 2 66 6能被7整除 那么中间方格内的数字是几 20个 20个 能被7 或11或13 整除的数的特征 如果数A的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所代表的数之差能被7 或11或13 整除 那么数A就能被7 或11或13 整除 解 由于222222和666666都能被7整除 所以 22 2与66 6也能被7整除 18个 18个 20个 20个 18个 18个 22 2 66 6 22 2000066 6 22 66 1018 上式中等号左边的多位数与等号右边的第一个数都能被7整除 所以 22 66 1018也能被7整除 即可推出22 66应能被7整除 由能被7整除的数的特征可知 66 22 44也应能被7整除 经试验 内应填6 例6 若多位数22 2 66 6能被7整除 那么中间