沪科版初中数学2018年中考第一轮复习4.4.pptx

4 4相似三角形 了解比例的基本性质 了解线段的比 成比例线段的概念 了解黄金分割 了解图形相似的概念 了解相似多边形和相似比 理解相似三角形的概念和性质 理解并掌握两条直线被一组平行线所截 所得的对应线段成比例 理解并掌握相似三角形的判定定理 能够利用相似三角形的判定定理和相似三角形的性质定理证明和解决有关的问题 了解位似图形的概念 能够利用位似将一个图形放大或缩小 能利用图形的相似解决一些简单实际问题 考点1比例线段和比例的性质1 线段的比和比例线段 1 线段的比 用同一个长度单位去度量两条线段a b 得到它们的长度 我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比 记作或a b 2 比例线段 在四条线段a b c d中 如果a与b的比等于c与d的比 即 或a b c d 那么这四条线段a b c d叫做成比例线段 简称比例线段 2 线段的比例中项在线段a b c中 如果a b b c 那么线段b叫做线段a c的比例中项 此时有b2 ac 3 黄金分割把一条线段分成两部分 使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项 这样的线段分割叫做黄金分割 分割点叫做这条线段的黄金分割点 比值叫做黄金数 4 比例的性质 1 等比性质的证明运用了 设k法 即引入新的参数k 这样可以减少未知数的个数 这种方法是有关比例计算变形中的一种常用方法 2 应用等比性质时 要考虑分母是否为零 3 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数 再利用等比性质也成立 如 典例1 2017 兰州 已知2x 3y y 0 则下面结论成立的是 答案 A 考点2平行线分线段成比例1 平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截 所得的对应线段成比例 2 推论 三角形一边的平行线的性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 典例2 2017 湖北恩施 如图 在 ABC中 DE BC ADE EFC AD BD 5 3 CF 6 则DE的长为 A 6B 8C 10D 12 解析 DE BC ADE ABC ADE EFC ABC EFC EF AB 四边形BDEF是平行四边形 DE BF BF 10 即DE 10 答案 C 方法指导 已知平行线 求线段的长或求线段的比 一般要考虑由平行线得到成比例线段 并利用比例的性质进行变形 提分训练1 已知 如图 直线l1 l2 l3 直线AC DF被这三条直线分别截于点A B C和D E F 若AB BC DF 6 则DE 3 解析 因为l1 l2 l3 所以 又AB BC DF 6 所以DE EF 3 考点3相似三角形的判定 8年8考 1 相似三角形的定义对应角相等 对应边成比例的三角形 叫做相似三角形 2 相似三角形的判定 1 平行法 平行于三角形一边的直线与其他两边 或两边的延长线 相交 截得的三角形与原三角形相似 2 两角分别相等的两个三角形相似 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 4 三边成比例的两个三角形相似 5 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似 3 相似基本图形 1 平行线型 的相似三角形 有 A型 X型 2 斜交型 的相似三角形 需满足 1 2 有 反A共角型 反A共角共边型 蝶型 3 垂直型 有 双垂直共角型 双垂直共角共边型 三垂直型 这些相似三角形的基本图形只是最基本的 也是为了让同学们尽快地熟悉常见的相似三角形的情况 但在实际问题中 两个相似三角形的位置各种各样 千变万化 脑海中不能仅局限于以上这几种情况 典例3 2017 山东枣庄 如图 在 ABC中 A 78 AB 4 AC 6 将 ABC沿图示中的虚线剪开 剪下的阴影三角形与原来三角形不相似的是 解析 A项 阴影三角形与原三角形有两个角相等 故两三角形相似 B项 阴影三角形与原三角形有两个角相等 故两三角形相似 C项 两三角形的对应边不成比例 故两三角形不相似 D项 两三角形对应边成比例且夹角相等 故两三角形相似 答案 C 变式拓展 如图 点D在等边 ABC的边BC上 点E在边AC上 若 ADE 60 则下列与 ADE相似的三角形是 C A ABDB ABCC ACDD DCE 解析 由等边 ABC知 C 60 ADE 又 DAE CAD 可得 ADE ACD 考点4相似三角形的性质 8年8考 1 相似三角形的对应角都相等 对应边都成比例 2 相似三角形的对应高的比 对应角平分线的比 对应中线的比都等于相似比 3 相似三角形周长的比等于相似比 4 相似三角形面积的比等于相似比的平方 1 相似三角形的相似比k具有顺序性 甲与乙的相似比是k 则乙与甲的相似比是 2 利用相似三角形的性质 可以证明角相等 线段成比例 也可以求三角形的周长 边长 面积等 典例4 2017 四川攀枝花 如图 D是等边 ABC边AB上的点 AD 2 BD 4 现将 ABC折叠 使得点C与点D重合 折痕为EF 且点E F分别在边AC和BC上 则 解析 易知 A B EDF 60 AED FDB 2020 1 7 19 方法指导 要求两条线段的比或证明成比例线段或证明线段的等积式 一般先证明这几条线段所在的两个三角形相似 再利用相似三角形的性质求解 提分训练2 如图 D是 ABC的边AB上一点 且 ADC ACB AD 2 AB 4 则AC的长是 D A 2B 4C 8 解析 由 ADC ACB A A 可得 ACD ABC 3 已知 ABC DEF AB DE 2 3 若 ABC的面积是8cm2 则 DEF的面积是18cm2 解析 因为 ABC DEF AB DE 2 3 所以S ABC S DEF 4 9 又 ABC的面积是8cm2 则 DEF的面积是18cm2 知识拓展角平分线分线段成比例定理三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例 可以应用相似三角形对这个定理进行证明 证明 作BE AC 交AD的延长线于点E CAD E BAD CAD E BAD AB BE E CAD BDE ADC BDE CDA 提分训练4 已知 如图 在 ABC中 点D G分别在边AB BC上 ACD B AG与CD相交于点F 1 求证 AC2 AD AB 答案 1 ACD B CAD BAC ACD ABC AC AB AD AC AC2 AD AB 2 ACD ABC ADF ACG DAF CAF 即 BAG CAG AG是 BAC的平分线 1 相似三角形与分段函数的图象综合典例1如图 菱形ABCD的边长为5cm AB边上的高DE 3cm 垂直于AB的直线l从点A出发 以1cm s的速度向右移动 到达点C后停止运动 若直线l的移动时间为x s 直线l扫过菱形ABCD的面积为y cm2 则下列能反映y关于x函数关系的大致图象是 答案 C 2 相似三角形与特殊四边形综合典例2如图 CB CA ACB 90 点D在BC边上 与B C不重合 四边形ADEF为正方形 过点F作FG CA 交CA的延长线于点G 连接FB 交DE于点Q 给出以下结论 AC FG S FAB S四边形CBFG 1 2 ABC ABF AD2 FQ AC 其中正确结论的个数是 A 1B 2C 3D 4 答案 D 命题点与相似三角形有关的证明与计算 必考 1 2016 安徽第8题 如图 ABC中 AD是中线 BC 8 B DAC 则线段AC的长为 B 解析 BC 8 CD 4 在 CBA和 CAD中 B DAC C C CBA CAD 2 2016 安徽第23题 如图1 A B分别在射线OM ON上 且 MON为钝角 现以线段OA OB为斜边向 MON的外侧作等腰直角三角形 分别是 OAP OBQ 点C D E分别是OA OB AB的中点 1 求证 PCE EDQ 2 延长PC QD交于点R 如图2 若 MON 150 求证 ABR为等边三角形 解 1 点C D E分别是OA OB AB的中点 DE OC DE OC CE OD CE OD 四边形ODEC是平行四边形 OCE ODE OAP OBQ是等腰直角三角形 PCO QDO 90 PCE PCO OCE QDO ODE EDQ PCE EDQ SAS 2 如图 连接OR PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线 AR OR BR ARC ORC ORD BRD 在四边形OCRD中 OCR ODR 90 MON 150 CRD 30 ARB ARO BRO 2 ORC 2 ORD 2 CRD 60 ABR为等边三角形 由 1 知EQ PE DEQ CPE PEQ CED CEP DEQ ACE CEP CPE ACE RCE ACR 90 即 PEQ为等腰直角三角形 ARB PEQ ARB 90 于是在四边形OCRD中 OCR ODR 90 CRD ARB 45 MON 135 此时P O B在一条直线上 PAB为直角三角形 且 APB为直角 3 2015 安徽第23 2 3 题 如图1 在四边形ABCD中 点E F分别是AB CD的中点 过点E作AB的垂线 过点F作CD的垂线 两垂线交于点G 连接GA GB GC GD EF 若 AGD BGC 2 求证 AGD EGF 3 如图2 若AD BC所在