福建省三明市清流一中高二数学下学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年福建省三明市清流一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2015秋嘉峪关校级期末）设f（x）是可导函数，且=（）a b1c0d22（5分）（2015秋新余期末）证明不等式（a2）所用的最适合的方法是（）a综合法b分析法c间接证法d合情推理法3（5分）（2012秋历城区校级期末）曲线y=x3+x2在点p0处的切线平行于直线y=4x，则点p0的坐标是（）a（0，1）b（1，0）c（1，4）或（1，0）d（1，4）4（5分）（2016春福建校级期中）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+axb=0，至少有一个实根”时，要做的假设是（）a方程x3+axb=0没有实根b方程x3+axb=0至多有一个实根c方程x3+axb=0至多有两个实根d方程x3+axb=0恰好有两个实根5（5分）（2014天津）i是虚数单位，复数=（）a1ib1+ic +id +i6（5分）（2011平阴县模拟）以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定正确的序号是（）abcd7（5分）（2005福建）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）a300种b240种c144种d96种8（5分）（2010江门模拟）展开式的第6项系数最大，则其常数项为（）a120b252c210d459（5分）（2014春红桥区期末）设服从二项分布xb（n，p）的随机变量x的均值与方差分别是15和，则n、p的值分别是（）a50， b60， c50， d60，10（5分）（2010辽宁）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）a b c d11（5分）（2015安庆三模）已知圆上有均匀分布的8个点，从中任取三个，能够成锐角三角形的个数为（）a8b24c36d1212（5分）（2000天津）如图中阴影部分的面积是（）a b c d二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13（5分）（2016春福建校级期中）若复数（1+ai）2（i为虚数单位）是纯虚数，则正实数a=14（5分）（2013宣武区校级模拟）（3x2+k）dx=10，则k=15（5分）（2015福州校级模拟）如图所示22方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复若填入a方格的数字大于b方格的数字，则不同的填法共有种（用数字作答）abcd16（5分）（2014四川模拟）在直角坐标系中，定义两点p（x1，y1），q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（p，q）=|x1x2|+|y1y2|现有下列命题：已知p（1，3），q（sin2，cos2）（r），则d（p，q）为定值；原点o到直线xy+1=0上任一点p的直角距离d（o，p）的最小值为；若|pq|表示p、q两点间的距离，那么|pq|d（p，q）；设a（x，y）且xz，yz，若点a是在过p（1，3）与q（5，7）的直线上，且点a到点p与q的“直角距离”之和等于8，那么满足条件的点a只有5个其中的真命题是（写出所有真命题的序号）三、解答题（本大题共6题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）：17（10分）（2014浦东新区校级模拟）已知复数z=3+bi（br），且（1+3i）z为纯虚数（1）求复数z；（2）若，求复数w的模|w|18（12分）（2013春福建期末）已知a，b，x，yr，证明：（a2+b2）（x2+y2）（ax+by）2，并利用上述结论求（m2+4n2）（+）的最小值（其中m，nr且m0，n0）19（12分）（2015春南昌校级期末）由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数（1）共可以组成多少个五位数？（2）其中奇数有多少个？（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由20（12分）（2009秋吉林校级期末）若二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求：（）展开式中含x的项；（）展开式中所有的有理项21（12分）（2014春台江区校级期末）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为r（x）万元，且r（x）=（）求年利润w（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（）当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值22（12分）（2015秋胶州市期末）已知函数f（x）=（x23x+3）ex的定义域为2，t，设f（2）=m，f（t）=n（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在2，t上为单调函数；（2）求证：mn；（3）求证：对于任意的t2，总存在x0（2，t），满足=（t1）2；又若方程=（t1）2；在（2，t）上有唯一解，请确定t的取值范围2015-2016学年福建省三明市清流一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2015秋嘉峪关校级期末）设f（x）是可导函数，且=（）a b1c0d2【分析】由题意可得=2=2f（x0），结合已知可求【解答】解： =2=2f（x0）=2f（x0）=1故选b【点评】本题主要考查了函数的导数的求解，解题的关键是导数定义的灵活应用2（5分）（2015秋新余期末）证明不等式（a2）所用的最适合的方法是（）a综合法b分析法c间接证法d合情推理法【分析】欲比较的大小，只须比较，先分别求出左右两式的平方，再比较出两平方式的大小从结果来找原因，或从原因推导结果，证明不等式所用的最适合的方法是分析法【解答】解：欲比较的大小，只须比较，（）2=2a1+2，（）2=2a1+，只须比较，的大小，以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法故选b【点评】本题考查的是分析法和综合法，解答此题的关键是熟知比较大小的方法从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件，分析法通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法也称为因果分析3（5分）（2012秋历城区校级期末）曲线y=x3+x2在点p0处的切线平行于直线y=4x，则点p0的坐标是（）a（0，1）b（1，0）c（1，4）或（1，0）d（1，4）【分析】先设切点坐标，然后对f（x）进行求导，根据曲线在p0点处的切线平行于直线y=4x建立等式，从而求出切点的横坐标，代入到f（x）即可得到答案【解答】解：设p0点的坐标为（a，f（a），由f（x）=x3+x2，得到f（x）=3x2+1，由曲线在p0点处的切线平行于直线y=4x，得到切线方程的斜率为4，即f（a）=3a2+1=4，解得a=1或a=1，当a=1时，f（1）=0；当a=1时，f（1）=4，则p0点的坐标为（1，0）或（1，4）又由（1，4）在直线y=4x上，故不合题意，故p0点的坐标为（1，0），故选b【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率，属于基础题4（5分）（2016春福建校级期中）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+axb=0，至少有一个实根”时，要做的假设是（）a方程x3+axb=0没有实根b方程x3+axb=0至多有一个实根c方程x3+axb=0至多有两个实根d方程x3+axb=0恰好有两个实根【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，由此可得结论【解答】解：用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+axb=0，至少有一个实根”时，应先假设是命题的否定成立，即假设方程x3+axb=0没有实根，故选：a【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题的思路，命题的否定，属于基础题5（5分）（2014天津）i是虚数单位，复数=（）a1ib1+ic +id +i【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数34i，即求出值【解答】解：复数=，故选a【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题6（5分）（2011平阴县模拟）以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定正确的序号是（）abcd【分析】因为当原函数为增函数时，导数大于0，原函数为减函数时，导数小于0，原函数取得极值时，导数等于0，所以只需逐一判断每个选项当原函数是增或减时，导数的正负，就可找到正确选项【解答】解：中三次函数的图象由左到右是先减后增再减，对应的导数是先小于0，再大于0，最后又小于0，导数的正负与原函数的单调性一致，正确中三次函数的图象由左到右是先减后增再减，对应的导数是先小于0，再大于0，最后又小于0，导数的正负与原函数的单调性一致，正确中三次函数的图象由左到右是先增后减再增，对应的导数在原函数的增区间上既有负值，又有正值，导数的正负与原函数的单调性不一致，错误中三次函数的图象由左到右是先增后减再增，对应的导数在原函数的增区间上为负值，导数的正负与原函数的单调性不一致，错误故选a【点评】本题借助在同一坐标系中的原函数图象与导函数的图象，判断了原函数的单调性与导数的正负之间的关系，是导数的应用7（5分）（2005福建）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）a300种b240种c144种d96种【分析】根据题意，使用间接法，首先计算从6人中选4人分别到四个城市游览的情况数目，再分析计算其包含的甲、乙两人去巴黎游览的情况数目，进而由事件间的关系，计算可得答案【解答】解：根据题意，由排列公式可得，首先从6人中选4人分别到四个城市游览，有a64=360种不同的情况，其中包含甲到巴黎游览的有a53=60种，乙到巴黎游览的有a53=60种，故这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有3606060=240种；故选b【点评】本题考查排列的应用，注意间接法比直接分析更为简便，要使用间接法8（5分）（2010江门模拟）展开式的第6项系数最大，则其常数项为（）a120b252c210d45【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，得到项的系数与二项式系数相同；据展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n，在通项中，令x的指数为0求出常数项【解答】解：展开式的通项为所以项的系数是二项式系数c2nr据展开式中间项的二项式系数最大又中间项是第n+1项所以n+1=6解得n=5所以展开式的通项为令5=0解得r=6所以常数项为c106=210故选c【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；考查二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大9（5分）（2014春红桥区期末）设服从二项分布xb（n，p）的随机变量x的均值与方差分别是15和，则n、p的值分别是（）a50， b60， c50， d60，【分析】若随机变量x服从二项分布，即b（n，p），则随机变量x的期望ex=np，方差dx=np（1p），由此列方程即可解得n、p的值【解答】解：由二项分布的性质：ex=np=15，dx=np（1p）=解得p=，n=60故选 b【点评】本题主要考查了二项分布的性质，二项分布的期望和方差的公式及其用法，离散型随机变量的概率分布的意义，属基础题10（5分）（2010辽宁）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）a b c d【分析】根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案【解答】解：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为a，即仅第一个实习生加工一等品（a1）与仅第二个实习生加工一等品（a2）两种情况，则p（a）=p（a1）+p（a2）=，故选b【点评】本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系（对立，互斥，相互独立）11（5分）（2015安庆三模）已知圆上有均匀分布的8个点，从中任取三个，能够成锐角三角形的个数为（）a8b24c36d12【分析】只有三角形的一条边过圆心，能组成直角三角形，在圆周上有8个等分点共有4条直径，每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形，可做82个直角三角形，可得直角三角形的数目，用所有的三角形减去直角三角形、钝角三角形的个数得到结果【解答】解：由题意知，只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形，圆周上有8个等分点共有4条直径，每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形，可做46=24个直角三角形，从8个点中任取三个点可以构成三角形，共有c83=56个，锐角三角形或钝角三角形的个数是5624=32，按照一条直径为分界线，直径的一个端点与同侧三点中的任意两个及同侧直径外的同侧三个点可构成钝角三角形，钝角三角形的个数是24个，锐角三角形的个数是3224=8，故选：a【点评】本题考查分步计数原理，考查圆的有关问题，是一个综合题，解题的关键是对于圆上的点，怎样能组成直角三角形12（5分）（2000天津）如图中阴影部分的面积是（）a b c d【分析】求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可【解答】解：直线y=2x与抛物线y=3x2解得交点为（3，6）和（1，2）抛物线y=3x2与x轴负半轴交点（，0）设阴影部分面积为s，则=所以阴影部分的面积为，故选c【点评】本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13（5分）（2016春福建校级期中）若复数（1+ai）2（i为虚数单位）是纯虚数，则正实数a=1【分析】根据复数的概念进行求解即可【解答】解：（1+ai）2=1+2ai+ai2=1a+2ai，是纯虚数，得a=1，故答案为：1【点评】本题主要考查复数的有关概念，根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键比较基础14（5分）（2013宣武区校级模拟）（3x2+k）dx=10，则k=1【分析】欲求k的值，只须求出函数3x2+k的定积分值即可，故先利用导数求出3x2+k的原函数，再结合积分定理即可求出用k表示的定积分最后列出等式即可求得k值【解答】解：02（3x2+k）dx=（x3+kx）|02=23+2k由题意得：23+2k=10，k=1故答案为：1【点评】本小题主要考查直定积分的简单应用、定积分、利用导数研究原函数等基础知识，考查运算求解能力属于基础题15（5分）（2015福州校级模拟）如图所示22方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复若填入a方格的数字大于b方格的数字，则不同的填法共有27种（用数字作答）abcd【分析】根据题意，先分析a、b两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3中的任选2个，大的放进a方格，小的放进b方格根据分类计数原理可得【解答】解：若a方格填3，则排法有232=18种，若a方格填2，则排法有132=9种，根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种故答案为：27【点评】本题考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题16（5分）（2014四川模拟）在直角坐标系中，定义两点p（x1，y1），q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（p，q）=|x1x2|+|y1y2|现有下列命题：已知p（1，3），q（sin2，cos2）（r），则d（p，q）为定值；原点o到直线xy+1=0上任一点p的直角距离d（o，p）的最小值为；若|pq|表示p、q两点间的距离，那么|pq|d（p，q）；设a（x，y）且xz，yz，若点a是在过p（1，3）与q（5，7）的直线上，且点a到点p与q的“直角距离”之和等于8，那么满足条件的点a只有5个其中的真命题是（写出所有真命题的序号）【分析】先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可【解答】解：已知p（1，3），q（sin2，cos2）（r），则d（p，q）=|1sin2|+|3cos2|=cos2+2+sin2=3为定值，正确；设p（x，y），o（0，0），则d（0，p）=|x1x2|+|y1y2|=|x|+|y|=|x|+|x+1|，表示数轴上的x到1和0的距离之和，其最小值为1，故不正确；若|pq|表示p、q两点间的距离，那么|pq|=，d（p，q）=|x1x2|+|y1y2|，因为2（a2+b2）（a+b）2，所以|pq|d（p，q），正确；过p（1，3）与q（5，7）的直线方程为y=x+2，点a到点p与q的“直角距离”之和等于8，则|x1|+|y3|+|x5|+|y7|=2|x1|+2|x5|=8，所以|x1|+|x5|=4，所以1x5，因为xz，所以x=1，2，3，4，5，所以满足条件的点a只有5个，正确故答案为：【点评】本题考查两点之间的“直角距离”的定义，绝对值的意义，关键是明确p（x1，y1）、q（x2，y2）两点之间的“直角距离”的含义三、解答题（本大题共6题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）：17（10分）（2014浦东新区校级模拟）已知复数z=3+bi（br），且（1+3i）z为纯虚数（1）求复数z；（2）若，求复数w的模|w|【分析】（1）把复数z代入表达式，利用复数是纯虚数健康求出z（2）把z代入复数w的表达式，利用复数的除法运算的法则，化为a+bi的形式，然后求出复数的模即可【解答】解：（1）（1+3i）（3+bi）=（33b）+（9+b）i（4分）（1+3i）z是纯虚数33b=0，且9+b0（6分）b=1，z=3+i（7分）（2）（12分）（14分）【点评】本题是基础题，考查复数的基本运算，复数求模的运算，复数的基本概念，正确的运算是解题的关键18（12分）（2013春福建期末）已知a，b，x，yr，证明：（a2+b2）（x2+y2）（ax+by）2，并利用上述结论求（m2+4n2）（+）的最小值（其中m，nr且m0，n0）【分析】把 b2x2+a2y22abxy 的两边同时加上a2x2+b2y2，即可得到（a2+b2）（x2+y2）（ax+by）2成立【解答】证明：b2x2+a2y22abxy，a2x2+b2y2+b2x2+a2y2a2x2+b2y2+2abxy，即（a2+b2）（x2+y2）（ax+by）2成立由不等式（a2+b2）（x2+y2）（ax+by）2成立，知（m2+4n2）（+）当且仅当m2=n2时，等号成立，即（m2+4n2）（+）的最小值为25【点评】本题主要考查用综合法证明不等式，属于中档题19（12分）（2015春南昌校级期末）由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数（1）共可以组成多少个五位数？（2）其中奇数有多少个？（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由【分析】（1）利用全排列，可得结论；（2）由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数，第五位是有限制条件的元素，第五个数字必须从1、3、5中选出，其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列；（3）根据题意，先有排列数公式求出用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数的个数，再分4种情况讨论分析大于43125的数个数，由间接法分析可得答案【解答】解：（1）由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，共可以组成a55=120个五位数（2）由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数，第五个数字必须从1、3、5中选出，共有c31种结果，其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列，共有a44种结果，根据分步计数原理得到共有c31a44=72；（3）根据题意，用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，有a55=120种情况，即一共有120个五位数，再考虑大于43125的数，分为以下四类讨论：1、5在首位，将其他4个数字全排列即可，有a44=24个，2、4在首位，5在千位，将其他3个数字全排列即可，有a33=6个，3、4在首位，3在千位，5在百位，将其他2个数字全排列即可，有a22=2个，4、43215，43251，43152，共3个故不大于43251的五位数有120（24+6+23）=85个，即43125是第85项【点评】本题考查排列组合，简单计数原理，解排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素20（12分）（2009秋吉林校级期末）若二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求：（）展开式中含x的项；（）展开式中所有的有理项【分析】先求出二项式的展开式的通项公式：，由已知可前三项成等差熟练可求n的值，进而可得通项公式为（i）令163r=4可得r，代入可求（ii）要求展开式中所有的有理项，只需要让为整数可求r的值，当r=0，4，8时，进而可求得有理项【解答】解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的r=0，1，2得系数为由已知：得n=8通项公式为（i）令163r=4，得r=4，得（ii）当r=0，4，8时，依次得有理项【点评】本题主要考查了二项展开时的应用，解题的关键是要熟练掌握二项展开式的通项公式，根据通项公式可求展开式的指定项21（12分）（2014春台江区校级期末）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为r（x）万元，且r（x）=（）求年利润w（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（）当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值【分析】（）当0x10时，w=xr（x）（10+2.7x）=8.1x10，当x10时，w=xr（x）（10+2.7x）=982.7x，由此能求出年利润w（万元）关于该特许商品x（千件）的函数解析式（）当0x10时，由w=8.1=0，得x=9，推导出当x=9时，w取最大值，且wmax=38.6；当x10时，w38由此得到当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大【解答】解：（）当0x10时，w=xr（x）（10+2.7x）=8.1x10，当x10时，w=xr（x）（10+2.7x）=982.7x，w=（6分）（）当0x10时，由w=8.1=0，得x=9，且当x（0，9）时，w0，当x（9，10）时，w0当x=9时，w取最大值，且wmax=8.1910=38.6x10时，w=98（）982=38，当且仅当=2.7x，即x=时w取得最大值38（12分）综合知：当x=9时，w取得最大值38.6（13分）故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最大（14分）【点评】本题考查的知识点是分段函数及函数的最值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者22（12分）（