高中数学 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面教案 新人教A版必修2.doc

2.1.1 平面一、教学目标：1、知识与技能：利用生活中的实物对平面进行描述；掌握平面的表示法及水平放置的直观图；掌握平面的基本性质及作用；培养学生的空间想象能力。2、过程与方法：通过讨论，对平面有了感性认识；归纳整理本节所学知识。3、情感态度与价值观：认识到我们所处的世界是一个三维空间，增强学习的兴趣。二、教学重点： 1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质：注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。难点：平面基本性质的掌握与运用。三、学法指导：通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。四、教学过程导入新课思路1.(情境导入) 大家都看过电视剧西游记吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？图1 长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题.推进新课新知探究提出问题怎样理解平面这一最基本的几何概念;平面的画法与表示方法;如何描述点与直线、平面的位置关系？直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？自己总结三个公理的有关内容.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.确定一条直线需要几个点？引导学生观察教室的门由几个点确定.两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.文字语言、图形语言、符号语言.平面的基本性质小结.讨论结果：平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3. 图2 图3 平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母、的前面加“平面”二字，如平面、平面、平面等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面abcd（图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面ac（图5）. 图4 图5下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：图形符号语言文字语言（读法）点在直线上点不在直线上点在平面内点不在平面内直线、交于点直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述. 空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：若aa,ba,且a,b,则a. 图6 图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若aa,ba,且a,b,则a.如图（图7）.在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等. 上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.如图（图8）.图8公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上. 这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图9），用符号语言表示为：p,且p=l,且pl.图9 公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线. 由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.“平面的基本性质”小结：名称作用公理1判定直线在平面内的依据公理2确定一个平面的依据公理3两平面相交的依据应用示例思路1例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图10活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.解：在（1）中，=l,a=a,a=b.在（2）中，=l,a,b,al=p,bl=p.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)a,b,al,bl;(2)a,b,ac,bc=p,=c.解：如图11.图112.根据下列条件，画出图形.（1）平面平面=l，直线ab，abl，eab，直线ef=f，fl;（2）平面平面=a，abc的三个顶点满足条件:aa，b，ba，c，ca.答案：如图12.图12点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.例2 已知直线a和直线b相交于点a.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.图13证明：如图13,点a是直线a和直线b的交点,在a上取一点b，b上取一点c，根据公理2经过不在同一直线上的三点a、b、c有一个平面，因为a、b在平面内，根据公理1，直线a在平面内,同理直线b在平面内，即平面是经过直线a和直线b的平面.又因为a、b在a上，a、c在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点a、b、c.于是根据公理2，经过不共线的三点a、b、c的平面有且只有一个，所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为a、b、c、d、e、f,图14直线a直线b=a,直线a和直线b确定平面设为，即a,b.b、ca，e、fb,b、c、e、f.而b、fc，c、ed,c、d,即a、b、c、d在同一平面内.点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.思路2例1 如图15，已知=ef,a,c、b,bc与ef相交，在图中分别画出平面abc与、的交线.图15活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路.解：如图16所示，连接cb，c,b,直线cb.图16直线cb平面abc，平面abc=直线cb.设直线cb与直线ef交于d,=ef,d,d平面abc.a,a平面abc，平面abc=直线ad.变式训练1.如图17，ad平面=b,ae平面=c，请画出直线de与平面的交点p，并指出点p与直线bc的位置关系.图17解：ad和ac是相交直线，它们确定一个平面abc，它与平面的交线为直线bc，de平面abc，de与的交点p在直线bc上.2.如图18，正方体abcda1b1c1d1的棱长为8 cm，m、n、p分别是ab、a1d1、bb1的中点，图18(1)画出过m、n、p三点的平面与平面a1b1c1d1的交线，以及与平面bb1c1c的交线.(2)设过m、n、p三点的平面与b1c1交于点q，求pq的长.解：(1)设m、n、p三点确定的平面为，则与平面aa1b1b的交线为直线mp，设mpa1b1=r，则rn是与平面a1b1c1d1的交线，设rnb1c1=q，连接pq，则pq是所要画的平面与平面bb1c1c的交线.如图18.(2)正方体棱长为8 cm，b1r=bm=4 cm，又a1n=4 cm，b1q=a1n,b1q=4=（cm）.在pb1q中，b1p=4 cm，b1q=cm，pq=cm.点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平面的交点和交线.例2 已知abc三边所在直线分别与平面交于p、q、r三点，求证：p、q、r三点共线.解：如图19,a、b、c是不在同一直线上的三点,图19过a、b、c有一个平面.又ab=p，且ab,点p既在内又在内.设=l,则pl,同理可证：ql,rl,p、q、r三点共线.变式训练 三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点. 已知平面、两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求证：l1、l2、l3相交于一点.证明：如图20，=l1，=l2，=l3，图20l1，l2，且l1、l2不平行,l1与l2必相交.设l1l2=p，则pl1,pl2,p=l3.l1、l2、l3相交于一点p.点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3.知能训练 画一个正方体abcdabcd，再画出平面acd与平面bdc的交线，并且说明理由.解：如图21,图21fcd，f平面acd.eac，e平面acd.ebd，e平面bdc.fdc，f平面dcb.ef为所求.拓展提升 o1是正方体abcda1b1c1d1的上底面的中心，过d1、b1、a作一个截面，求证：此截面与对角线a1c的交点p一定在ao1上.解：如图22,连接a1c1、ac，图22因aa1cc1，则aa1与cc1可确定一个平面ac1，易知截面ad1