高中数学 2.2 直线的方程 2.2.3.2 两条直线垂直的条件教案 新人教B版必修2.doc

2.2.3.2 两条直线垂直的条件示范教案教学分析教材将任意两直线垂直关系转化为过原点的两直线垂直来讨论垂直的条件在实际教学中，要让学生自己归纳、总结两条直线垂直的条件，避免教师给出结论，马上做练习题的教学方式三维目标1归纳两条直线垂直的条件，提高学生的归纳能力2利用两条直线垂直的条件解决垂直问题，提高学生解决问题的能力重点难点教学重点：两条直线垂直的条件及其应用教学难点：归纳两条直线垂直的条件课时安排1课时导入新课设计1.上一节我们学习了利用直线方程讨论两直线相交的条件，垂直是相交的特例，那么怎样用直线方程来讨论两直线垂直的条件呢？教师引出课题设计2.平行与垂直是解析几何中最重要的位置关系，我们已经会用直线方程来讨论两直线平行，今天我们学习用直线方程来讨论两直线垂直，教师引出课题推进新课讨论结果：(1)l与l平行或重合(2)由于直线l1与直线a1xb1y0平行或重合，直线l2与直线a2xb2y0平行或重合，因此我们研究l1和l2垂直的条件时，可转化为研究直线l1：a1xb1y0和l2：a2xb2y0垂直的条件 (3)假定l1，l2都不与坐标轴平行或重合如下图，当l1l2时，通过坐标原点作直线l1l1和l2l2，则l1和l2互相垂直在直线l1，l2上，分别取两点a(x1，y1)，b(x2，y2)(都不是原点)由勾股定理，得xyxy(x1x2)2(y1y2)2.化简，得x1x2y1y20.由假定可知b10，b20，因此y1x1，y2x2.代入上式，得x1x2(1)0.因为a，b都不在y轴上，所以x1x20，因此10，即a1a2b1b20.由于上面推导的每一步都是可逆的，因此，由式可以证明两条直线l1与l2垂直，从而也就证明了l1与l2垂直假定l1，l2中有一条直线与坐标轴平行或重合当l1l2时，可以推出l1，l2中的另一条也与坐标轴平行或重合，因此同样有a1a2b1b20.反过来，由条件a1a2b1b20也可以推出l1l2.总结以上讨论，我们得到，对坐标平面内的任意两条直线l1和l2，有如果b1b20，则l1的斜率k1，l2的斜率k2.由上面的式，又可以得出(4)计算步骤：给a1，b1，c1，a2，b2，c2赋值；计算ma1a2b1b2；若m0，则l1l2；若m0，则l1与l2不垂直思路1例1判断下列各组中的两条直线是否垂直：(1)2x4y70与2xy50；(2)y3x1与yx5；(3)2x7与3y50.解：(1)因为a12，b14，a22，b21，得a1a2b1b222(4)10，所以这两条直线垂直(2)由k13，k2，得k1k23()1，所以这两条直线垂直(3)因为a12，b10，a20，b23，得a1a2b1b220030，所以这两条直线垂直此题也可以直接看出直线2x7平行于y轴，直线3y50平行于x轴，从而可以判断这两条直线垂直点评：判定两直线垂直时，由一般式给出的直线方程，用a1a2b1b20来判定；由斜截式给出的方程可以用k1k21来判定变式训练判断下列两直线是否垂直，并说明理由(1)l1：y4x2，l2：yx5；(2)l1：5x3y6，l2：3x5y5；(3)l1：y5，l2：x8.解：(1)设两直线的斜率分别是k1，k2，则k14，k2，有k1k24()1，所以l1l2.(2)因为a15，b13，a23，b25，a1a2b1b2533(5)0，所以l1l2.(3)因为l1平行于x轴，l2垂直于x轴，所以l1l2.例2求证：直线axbyc10与直线bxayc20垂直证明：因为abb(a)0，所以这两条直线垂直点评：一般地，我们可以把与直线axbyc0垂直的直线方程表示为bxayd0.同样可证明与直线ykxb(k0)垂直的直线可表示为yxb1.变式训练求通过下列各点且与已知直线垂直的直线方程：(1)(1,3)，y2x3；(2)(1,2)，2xy100.解：(1)设所求直线方程为yxb.因为直线过点(1,3)，代入方程，得b，所以所求方程为yx，即x2y50.(2)设所求的直线方程为x2yc0.因为直线过点(1,2)，代入方程，得c3，所以所求直线方程为x2y30.思路2例3已知a(5，1)，b(1,1)，c(2,3)三点，试判断abc的形状分析：先作图猜想，然后给出证明解：由题意，知kab，kbc2.kabkbc1，abbc.abc为直角三角形点评：此类判断三角形形状的题目，通过先画图猜想结论，再利用相关知识证明变式训练已知a(6,0)，b(3,6)，p(0,3)，q(2,6)，求证：abpq.证明：kab，kpq，kabkpq1，abpq.例4已知abc的顶点坐标为a(1,2)、b(1,1)、c(0,3)，求bc边上的高所在的直线方程分析：bc边上的高所在直线的斜率与直线bc的斜率互为负倒数，然后用点斜式求解解：设bc边上的高所在直线斜率为k，则kkbc1，又kbc2，k.由点斜式，得y2(x1)，即x2y50.点评：本题中利用两直线垂直的条件求出了bc边上的高所在直线斜率，再利用点斜式求得直线的方程变式训练求经过两条直线2x3y100和3x4y20的交点，且垂直于直线3x2y40的直线方程解：解方程组，得又所求直线的斜率k，y2(x2)，即2x3y20.1已知三点a(4,1)、b(0,5)、c(8,5)，则abc的形状是()a直角三角形 b等边三角形 c等腰三角形 d等腰直角三角形答案：d2求过点a(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程分析：一般地，由于与直线axbyc0垂直的直线的斜率同已知直线互为负倒数，故可设其方程为bxay0，这是常常用到的解题技巧(直线系方程)解：设与直线2xy100垂直的直线方程为x2y0.直线l经过点a(2,1)，2210，解得0.故所求直线l的方程为x2y0.3求经过直线y2x3和3xy20的交点，且垂直于第一条直线的直线方程解：解方程组得又所求直线的斜率k，y5(x1)，即x2y110.4abc中，bc边上的高所在直线的方程为x2y10，a的平分线所在直线的方程为y0.若点b的坐标为(1,2)求点a和点c的坐标解：如下图所示，由方程组解得顶点a(1,0)，直线ab的斜率为kab1.x轴是a的平分线，直线ac的斜率为1，直线ac的方程为y(x1)已知bc边上的高所在直线的方程为x2y10，直线bc的斜率为2，bc所在直线的方程为y22(x1)由联立，解此方程组得即顶点c坐标为(5，6)所求顶点a坐标为(1,0)，顶点c坐标为(5，6)已知点a的坐标为(4,4)，直线l的方程为3xy20.求点a关于直线l的对称点a的坐标解：设点a的坐标为(x，y)，因为点a与a关于直线l对称，所以aal，且aa的中点在l上，而直线l的斜率是3.所以kaa.又因为kaa，所以.再因为直线l的方程为3xy20，aa的中点坐标是(，)，所以320.由和解得x2，y6.所以a点的坐标为(2,6)本节课学习了两条直线垂直的条件及其应用本节练习b3,4题本课通过探究两直线垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力，以及数形结合能力通过对两直线垂直的位置关系的研究，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励备选习题1根据下列条件，求直线的方程(1)经过点a(3,2)，且与直线4xy20平行；(2)经过点c(2，3)，且平行于过两点m(1,2)和n(1，5)的直线；(3)经过点b(3,0)，且与直线2xy50垂直解：(1)由题意得，k4，由点斜式，得y24(x3)，即4xy140.(2)所求直线的斜率为k，由点斜式得y3(x2)，即7x2