高中数学 1.3.1 三角函数的周期性导学案 苏教版必修4.doc

1.3.1三角函数的周期性学习目标重点难点1记住周期函数与最小正周期的定义2会求函数yasin(x)及yacos(x)(a，为常数，且a0，0)的周期.重点：利用周期函数及最小正周期的定义，求正、余弦函数的周期难点：利用周期函数解决相关问题.1周期函数的概念(1)周期函数的定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数t，使得定义域内的每一个x值，都满足f(xt)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数t叫做这个函数的周期(2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期预习交流1周期函数的定义中，能否把“定义域内的每一个x值”改为“定义域内存在一个x值”？提示：不能反例：ysin x(xr)对于x，t，显然有sin(xt)sinsin sin x，但t不是它的周期2三角函数的周期(1)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k(kz且k0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2；正切函数ytan x也是周期函数，且最小正周期是.(2)一般地，函数yasin(x)及yacos(x)(其中a，为常数，且a0，0)的周期t.若函数yf(x)的周期为t，则函数yaf(x)的周期为(其中a，为常数，且a0，0)预习交流2所有周期函数都有最小正周期吗？为什么？提示：并不是所有的周期函数都存在最小正周期例如，常数函数f(x)5，xr.当x为定义域内的任何值时，都有f(x)c，即对定义域内的每一个x值，f(x)都有f(xt)cf(x)，因此f(x)是周期函数由于t是不为零的任意常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)c没有最小正周期一、函数周期性的证明已知函数f(x)对任意实数x，都有f(xm)f(x)，求证：函数f(x)是周期函数，并且2m是f(x)的一个周期思路分析：要证函数f(x)是周期函数，就是要找到一个常数t，使得对于任意实数x，都有f(xt)f(x)，可根据f(xm)f(x)推导寻找证明：函数f(x)对任意实数x，都有f(xm)f(x)，f(x2m)f(xm)mf(xm)f(x)f(x)函数f(x)是周期函数，并且2m是f(x)的一个周期若函数yf(x)是奇函数，且f(xa)，求证：2a是f(x)的周期(a0)证明：yf(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(xa).f(x2a)f(xa)af(x)f(x)是以2a(a0)为周期的周期函数周期函数的证明一般利用周期函数的定义；对抽象函数的周期性证明，要注意利用条件，结合定义进行灵活的转化对于函数最小正周期的证明，不仅可以用周期函数的定义，而且还可以运用反证法二、求三角函数的周期求下列函数的周期：(1)y3sin；(2)y2cos；(3)y|sin x|.思路分析：利用公式法或定义法求解即可若0，则先用诱导公式转化为正值，再用公式解：(1)t4.(2)y2cos2cos，t4.(3)由ysin x的周期为2，可猜想y|sin x|的周期应为.验证：|sin(x)|sin x|sin x|，由周期函数的定义知y|sin x|的周期是.用定义法求下列函数的周期：(1)ycos 4x；(2)y2sin；(3)ytan(x)(0)解：(1)设函数f(x)cos 4x的周期为t.令4x，由f(x)cos 的周期是2，知f(2)cos(2)cos(4x2)cosff()cos cos 4xf(x)对一切x都成立，t.(2)令.由y2sin 的周期是2，知f(2)2sin(2)2sin2sinf(x6)f()2sinf(x)对一切x都成立，t6.(3)令x.由ytan 的周期为，知f()tan()tan(x)tanff()tan(x)f(x)对一切x都成立，t是ytan(x)的周期求三角函数的周期，通常有三种方法：(1)定义法(2)公式法对yasin(x)或yacos(x)(a，是常数，且a0，0)，有t.(3)观察法(图象法)三、函数周期性的应用设f(x)是(，)上的奇函数，f(2x)f(x)，当0x1时，f(x)x，求f(7.5)的值思路分析：解答此类题目的关键是利用化归思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解解：方法一(直接计算)：f(2x)f(x)，f(x)为奇函数，当x0,1时，f(x)x，f(7.5)f(5.52)f(5.5)f(23.5)f(3.5)f(3.5)f(21.5)f(1.5)f(20.5)f(0.5)f(0.5)0.5.方法二(利用周期性)：f(4x)f2(2x)f(x2)f(x)f(x)，f(x4)f(x)，故函数的周期为4.f(7.5)f(80.5)f(0.5)f(0.5)0x1时，f(x)x，f(7.5)0.5.1今天是星期一，那么从明天算起，第7k(kn*)天是星期_，第100天是星期_答案：一三解析：每周7天，则7k是k个周期，即第7k(kn*)天仍是星期一1007142，第100天是星期三2(1)若f(x)是r上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)_.(2)设f(x)是定义在r上的以4为周期的奇函数，且f(1)1，则f(2 011)_.答案：(1)1(2)1解析：(1)由于f(x)的周期为5，所以f(3)f(4)f(2)f(1)又f(x)为r上的奇函数，f(2)f(1)f(2)f(1)211.(2)f(x)的周期为4，f(x)为奇函数，且f(1)1，f(2 011)f(45031)f(1)f(1)(1)1.如果一个函数是周期函数，要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义域可知，只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可得到该函数在定义域内的有关性质利用函数的周期性可以求值，可以推理判断，可以解决许多实际问题应注意等价转化思想的应用1若函数ycos(0)的最小正周期是，则_.答案：10解析：t，10.2下列函数是周期函数的是_(填序号)f(x)x；f(x)2x；f(x)1.答案：解析：由f(xt)xtx，t0，知f(x)x不是周期函数；由f(xt)2xt2t2x2x，t0，知f(x)2x不是周期函数；由f(xt)1f(x)，知f(x)1是周期函数3下列是定义在r上的四个函数图象的一部分，是周期函数的有_(填序号)答案：解析：根据周期函数的定义观察图象可得4定义在r上的函数f(x)既是偶函数又是周期