高中数学 2.3 解三角形的实际应用举例同步精练 北师大版必修5.doc

高中数学 2.3 解三角形的实际应用举例同步精练 北师大版必修5基础巩固1有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30，则坡底要延长()a5 m b10 mc10 m d10 m2在abc中，a5，sina，sinb，则b_.3在abc中，a3，b4，c60，则c_.4如图所示，海平面上的甲船位于中心o的南偏西30，与o相距10海里的c处现甲船以30海里/小时的速度沿直线cb去营救位于中心o正东方向20海里的b处的乙船，甲船需要_小时到达b处5如图，a、b是海平面上的两个点，相距800 m，在a点测得山顶c的仰角为45，bad120，又在b点测得abd45，其中d是点c到水平面的射影，求山高cd.6如图a，b，c，d都在同一个与水平面垂直的平面内，b，d为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为75，30，于水面c处测得b点和d点的仰角均为60，ac0.1 km，试探究图中b，d间距离与另外哪两点距离相等，然后求b，d的距离(计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449)综合过关7甲船在a处观察到乙船在它的北偏东60方向的b处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船，此时乙船行驶了多少海里？8某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在a处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45，距离为10海里的c处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间能力提升9如图，有两条相交成60角的直路ef、mn，交点是o，起初，甲在oe上距o点3 km的点a处；乙在om上距o点1 km的点b处现在他们同时以4 km/h 的速度行走，甲沿ef的方向，乙沿nm的方向(1)求起初两人的距离(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离(3)什么时候他们两人的距离最短？参考答案1解析：如下图，设将坡底加长到b时，倾斜角为30，在abb中，b30，bab753045，ab10 m在bab中，由正弦定理，得bb10.坡底要延伸10 m时，斜坡的倾斜角将变为30.答案：c2答案：3答案：4解析：在obc中，由余弦定理得cb2co2ob22|co|ob|cos120100400200700，所以|cb|10，因此甲船需要的时间为小时答案：5解：在abd中，bda1804512015，由，得ad800(1) (m)cd平面abd，cad45，cdad800(1)(m)山高cd为800(1)(m)6分析：由题图可直观感知bdba，且bcad，这可以通过证明cb是cad底边ad的中垂线来验证；通过解abc可求得ab，从而求得b，d间的距离解：在acd中，dac30，adc60dac30，所以cdac0.1.又bcd180606060，所以cb是cad底边ad的中垂线，所以bdba.即图中b，d间距离与a，b间的距离相等在abc中，由正弦定理得，所以ab.所以bd0.33 km.故b，d的距离约为0.33 km.7分析：如图，甲、乙两船到达相遇点c时，所用时间相等，通过解abc来解决解：设甲船取北偏东角去追赶乙船，在c点处追上，若乙船行驶的速度是v，则甲船行驶的速度是v，由于甲、乙两船到c点的时间相等，都设为t，则bcvt，acvt，abc120.由余弦定理可知ac2ab2bc22abbccos120，即3v2t2a2v2t2vat，2v2t2vata20.t1，t2(舍去)bca.cab30.甲船应取北偏东30的方向去追乙船，在乙船行驶a海里处相遇8分析：首先根据题意画出图形，如图，由题意可知ac10，acb为120，再利用舰艇靠近渔轮所需的时间与渔轮用的时间相同，若设相遇点为b，这样解abc即可解：设所需时间为t小时，则ab21t，cb9t，在abc中，根据余弦定理，则有ab2ac2bc22acbccos120，可得212t210281t22109t，整理得360t290t1000，36t29t100，(12t5)(3t2)0，t或t(舍去)舰艇需小时靠近渔轮此时ab14，bc6.由正弦定理：，sincab，cab21.8.舰艇航行的方位角约为66.8.9分析：设t小时后两人距离最短，在构造三角形时，要分两种情况讨论，即甲过o点前后，因为这两种情况所得的三角形不同解：(1)由题意，知oa3，ob1，aob60，在aob中，由余弦定理，得ab2oa2ob22oaobcos60，则ab(km)起初两人的距离是 km.(2)设t小时后他们两人的距离最短，此时的位置分别是p，q，则ap4t，bq4t.当0t时，pq2(34t)2(14t)22(34t)(14t)cos60； 当t时，pq2(4t3)2(14t)22(4t3)(14t)cos120. 由，得pq248t224t7，即pq.(3)由(2)，知pq.当t，即在第15分钟时，他们两人的距离最短第二课时基础巩固1在abc中，a4，b5，c7，则cosc等于()ab.c.d.2从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为，同时测得建筑物顶部仰角为，则山顶的仰角为 ()a b c d3已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离相等，灯塔a在观察站c的北偏东40，灯塔b在观察站c的南偏东60，则灯塔a在灯塔b的()a北偏东10 b北偏西10c南偏东10 d南偏西104在200 m的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30，60，则塔高为()a. m b. m c. m d. m5如下图，某炮兵阵地位于a点，两观察所分别位于c，d两点已知acd为正三角形，且dc km，当目标出现在b点时，测得cdb45，bcd75，求炮兵阵地与目标的距离是多少？(精确到0.01 km)62003年，伊拉克战争初期，美英联军为了准确分析战场的形势，由分别位于科威特和沙特的两个相距a的军事基地c和d，测得伊拉克两支精锐部队分别在a处和b处，且adb30，bdc30，dca60，acb45，如图所示，求伊军这两支精锐部队间的距离7某渔船在a处测得在北偏东45的c处有一鱼群，离该渔船9 n mile，并发现该鱼群正沿南偏东75的方向以10 n mile/h的速度前进，渔船立即以14 n mile/h的速度沿直线追捕，问：渔船应以什么方向，需多长时间才能追上该鱼群？综合过关8如图，在海岸a处，发现北偏东45方向距a为(1)海里的b处有一走私船，在a处北偏西75方向距a为2海里的c处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度从b处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间9如图所示，沿一条小路前进，从a到b，方位角是50，距离是470 m，从b到c，方位角是80，距离是860 m，从c到d，方位角是150，距离是640 m，试计算从a到d的方位角和距离能力提升10平面内三个力f1、f2、f3作用于同一个点且处于平衡状态，已知f1、f2的大小分别为1 n、 n，f1与f2的夹角为45，求f3的大小及与f1的夹角参考答案1答案：a2答案：c3答案：b4解析：如图，设塔高ab为h，在rtcdb中，cd200，bcd906030，bc.在abc中， abcbcd30，acb603030，bac120.在abc中，由正弦定理，得.ab(m)答案：a5分析：要求ab的长，可转化为解abd，ab边所对的角adb是确定的，且acadcd，在bcd中，求出bd，结合余弦定理求解解：cbd180bcdcdb60.在bcd中，由正弦定理，得bd()在abd中，adb4560105，由余弦定理，得ab2ad2bd22adbdcos1053()22()()52.ab2.91(km)炮兵阵地与目标的距离是2.91 km.6解：在adc中，adc303060，acd60，故adc为等边三角形，aca.在bcd中，db由正弦定理，得，bca，在abc中，由余弦定理，得ab2ac2bc22acbccosacb(a)2(a)22aaa2，aba.7分析：画出图形，利用追及所用时间与鱼群前进的时间相等这一等量关系，并结合余弦定理，求解本题解：如图，acb120，ac9，设在b处追上鱼群，所用时间为t，则bc10t，ab14t.在abc中，由余弦定理得(14t)292(10t)22910tcos120，即32t230t270，解得t或t(舍去)，故追上鱼群需 h，此时bc15，ab21，在abc中，coscab0.785 7，cab38.21.渔船应按北偏东83.21的航向追捕，并需1.5 h后才能追上鱼群8分析：设经过t小时后，缉私船能最快追上走私船，即在图中的d处恰好两船相遇，cd方向即是缉私船的追截方向，利用正、余弦定理根据条件解三角形解：设缉私船追上走私船所需的时间为t小时，则cd10t，bd10t.在abc中，ab1，ac2，bac4575120，由余弦定理，得bc(海里)由正弦定理，得sinabc.abc45.易知cb方向与正北方向垂直，则cbd9030120.在bcd中，由正弦定理，得sinbcd.bcd30，bdc30.bdbc(海里)10t，即t.缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船，需要小时才能追上9分析：从a到d的方位角，需构造三角形，连接ac，在abc中，用余弦定理求出ac，进而求出bac，再在acd中，求出ad和cad.解：连接ac，在abc中，abc50(18080)150，由余弦定理得ac1 289，由正弦定理得sinbac0.333 6，bac19.5，acb10.5.在acd中，acd8010.53099.5，由余弦定理得ad 1 531.coscad0.911 1，cad24.3.从a到d的方位角为5019.524.393.8，即a到d