高中数学 2.2 直线的方程 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率 2.2.2 直线方程的几种形式例题与探究 新人教B版必修2.doc

2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的几种形式典题精讲例1 已知三点a(1，-1)、b(3，3)、c(4，5)，求证:a、b、c三点共线.思路分析：如果三点在一条直线上，那么任取两点得到的斜率应该是相同的(都是这条直线的斜率).证法一:利用斜率公式.kab=2，kac=2,kab=kac.a、b、c三点共线.证法二:利用直线方程.设ab:y=kx+b，则直线ab的方程为y=2x-3.当x=4时，y=24-3=5，故点c(4，5)在ab上.a、b、c三点共线.绿色通道：判定三个点在一条直线上，通常有下面几种方法:一是任取两点得到的直线斜率是相同的；二是过任两点直线的方程是相同的；三是根据两点求出直线方程，判定第三点在这条直线上.显然第一种方法最简单.变式训练1若三点a(2，2)、b(a,0)、c(0,4)共线，则a的值等于_.思路解析:因为kab=，kbc=，又因为三点a、b、c共线，所以kab=kbc，即=，解得a=4.答案:4例2 设过定点a的直线l1的倾斜角为.现将直线l1绕点a按逆时针方向旋转45得到直线l2,设直线l2的倾斜角为,请用表示的值.思路解析：先画出示意图,根据图形求解.答案：画出如图2-2-(1,2)-1的示意图,从图中可得图2-2-(1,2)-1当0135时,=+45；当135180时,=+45-180=-135.黑色陷阱：解答本题时,一些同学容易误解为=+45.事实上,由于直线的倾斜角的范围为0180,故当135180时,180+45225.故作为直线的倾斜角应减去180.所以解决该类问题决不能想当然地加或减去某个角.变式训练2 如图2-2-(1,2)-2，直线l1的倾斜角1=30，直线l1l2，求l1、l2的斜率.图2-2-(1,2)-2解：l1的斜率k1=tan1=tan30=，l2的倾斜角2=90+30=120，l2的斜率k2=tan120=tan(180-60)=-tan60=.例3设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6，若直线在x轴上的截距是-3，试确定m的值.思路分析：要熟悉直线方程的一般形式与其他形式间的联系.记清特殊形式的直线方程与一般方程的直线形式的转化条件.解：令y=0，由题意得由式，得m3且m-1.由式，得3m2-4m-15=0，解得m=3或m=.因为m3，所以m=.绿色通道：掌握截距的概念，如本题求直线在x轴上的截距，只需令y=0，就可解得.要注意“或”与“且”两字的区别.如本题中的不等式m2-2m-30的解是m3且m-1；而方程3m2-4m-15=0的解是m=3或m=.变式训练3已知直线ax+by+c=0的图形如图2-2-(1,2)-3，则( )图2-2-(1,2)-3a.若c0，则a0，b0 b.若c0，则a0，b0c.若c0，则a0，b0 d.若c0，则a0，b0思路解析：直线ax+by+c=0的斜率k=0，ab0.又直线在x轴、y轴上的截距分别为与，0，0.ac0，bc0.若c0，则a0，b0；若c0，则a0，b0.选d.答案:d例4求直线2x+(3k-1)y+k-1=0在x、y轴上的截距.思路分析：按照截距的定义求解,即在方程中令y=0,则x的取值即为直线在x轴上的截距;令x=0,则y的取值即为直线在y轴上的截距.解:令y=0,则x=,于是直线在x轴上的截距为；令x=0,则(3k-1)y+k-1=0,于是直线在y轴上的截距为；当k=时,直线在y轴上的截距不存在.黑色陷阱：解答本题时,容易忽视对y轴截距是否存在的讨论，即忽视了k=的情形而造成错解.事实上，当k=时，分式无意义，此时的直线在y轴上的截距不存在.变式训练4一条直线经过点m(2,3),则在两坐标轴上的截距相等的直线方程是_.思路解析：设直线在两轴上的截距均为a.若a=0,则所求直线方程为3x-2y=0；若a0,则同上可求得直线方程为x+y=5.答案:3x-2y=0或x+y=5问题探究问题1 常见的对称问题有哪些？具体的处理方法如何？导思:对称问题包括以下四类：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称；直线关于直线的对称.也可归结为中心对称和轴对称两类，而这两类问题最终都可归结为点的对称问题. 若点p1与p2关于点m对称，则点m是p1、p2的中点.若已知其中任何两个点的坐标，都可以根据中点坐标公式求出另外一个点的坐标. 若点p1与p2关于直线l对称，则直线l是线段p1p2的中垂线，它应同时满足两个条件，即p1、p2的中点在直线l上，且p1p2的连线与l垂直，也就是说，p1p2的中点坐标满足直线l的方程，且p1p2连线的斜率与直线l的斜率互为倒数. 曲线是由点组成的，曲线关于点或直线的对称实质上就是点关于点或直线的对称.探究：常见的对称问题有点关于点、点关于直线的对称问题以及曲线(含直线)关于点、曲线(含直线)关于直线的对称问题.具体的处理方法如下：(1)点p(x0,y0)关于点m(a,b)的对称点为p(2a-x0,2b-y0);(2)点p(a,b)不在直线l：ax+by+c=0上，p关于直线l的对称点为p(x,y)的求法：因为pp中点m()在l上,ppl,所以由方程组可解出p(x0,y0).(3)几种特殊对称：点(a,b)关于x轴的对称点为(a,-b);点(a,b)关于y轴的对称点为(-a,b);点(a,b)关于y=x的对称点为(b,a);点(a,b)关于y=-x的对称点为(-b,-a);点(a,b)关于x+y=t的对称点为(t-b,t-a);点(a,b)关于x-y=m的对称点为(m+b,a-m).(4)“曲线关于点对称”问题可用“点关于点对称”的方法解决；“曲线关于直线对称”问题可转化为“点关于直线对称”问题来解决.问题2一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫做直线系方程.直线系方程中除含变量x、y以外，还可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数.由于参数取向不同，就得到不同的直线系.你能试举出一些直线系的例子吗?导思:应用直线系解题，是指把待求的直线看成满足某种条件的直线的集合中的元素，再利用其他条件确定参数的值，是整体思想的具体运用.利用直线系解题可简化运算、提高解题效率、降低难度. 直线系y=kx+b中，若b为常数，它表示过定点(0,b)的直线系；若k为常数，它表示平行线系. 平行线系关注的是斜率相等，垂直关注的是斜率互为负倒数.设出相关的直线系方程后，要明确直线系中参数是谁. 对于过两直线交点的直线系方程，求交点坐标时，可先把方程转化成f1(x,y)+f2(x,y)=0的形式，再解方程组求交点；也可赋予参数两个具体的值，将得到的两个方程联立方程组求交点坐标.探究：几种常见的直线系：(1)过定点的直线系直线y=kx+b(其中k为参数，b为常数)，它表示过定点(0，b)的直线系，但不包括y轴(即x=0).经过定点m(x0，y0)的直线系y-y0=k(x-x0)(k为参数)，它表示经过定点(x0，y0)的直线系，但不包括平行于y轴的那一条(即x=x0).(2)已知斜率的直线系y=kx+b(k为常数，b为参数)，它表示斜率为k的平行直线系.若已知直线l：ax+by+c=0，与l平行的直线系为ax+by+m=0(m为参数,且mc).若已知直线l：ax+by+c=0，与l垂直的直线系为bx-ay+n=0(n为参数).(3)经过两条直线交点的直线系经过两直线l1：a1x+b1y+c1=0(a12+b120)与l2：a2x+b2y+c2=0(a22+b220)交点的直线系