高中数学 2.3.1 平均数及其估计学案 苏教版必修3.doc

2.3.1平均数及其估计学习目标重点难点1平均数的概念及应用2理解用样本数字特征估计总体数字特征的方法3利用相关知识解决简单的统计问题.重点：平均数的概念及应用难点：利用样本数字特征估计总体数字特征的方法.1平均数的概念处理实验数据的原则是使“最理想”的近似值与实验数据越接近越好设这个近似值为x，对于n个实验数据a1，a2，an，当x时，离差的平方和最小，故可用作为表示数据a1，a2，an的理想近似值，称为这n个数据a1，a2，an的平均数或均值，一般记为.读作“a平均”n个实数a1，a2，a3，an的和简记为，所以又可表示为ai.预习交流1平均数描述了样本数据的什么特征？提示：平均数描述了数据的平均水平，对数据有“取齐”的作用，定量地反映了数据集中趋势所处的水平，是刻画一组数据集中趋势最理想的统计量2平均数的计算方法(1)定义法：n个数据x1，x2，xn的平均数.(2)利用加权平均数：一般地，若取值为x1，x2，xn的频率分别为p1，p2，pn，则其平均数为x1p1x2p2xnpn，在n个数据中，如果x1出现f1次，x2出现f2次，xk出现fk次(f1f2fkn)，则这n个数的平均数为：.预习交流2若给定一组数据x1，x2，xn的平均数为，则数据ax1b，ax2b，axnb的平均数是多少？提示：ab.因为，所以数据ax1b，ax2b，axnb的平均数是abab.预习交流3(1)奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，先去掉一个最高分和一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为：减少计算量避免故障剔除异常值活跃气氛以上正确的是_(2)甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示，如图所示，则平均分数较高的是_(3)若样本x1，x2，x3，xn的平均值为15，则样本x110，x210，xn10的平均值为_提示：(1)(2)甲(3)25一、平均数的计算问题某班在一次数学考试中，随机抽取10名同学的成绩进行分析，成绩分别如下：108,119,120,122,107,125,117,130,125,127(满分150分)问这10名学生的平均成绩是多少？思路分析：由题目可获取以下主要信息：给出10名同学的考试成绩；考查平均数的计算，可利用平均数的公式计算，也可建立新数据，再利用平均数的简化公式计算解法一：(108119120122107125117130125127)120，这10名学生的平均成绩是120分解法二：将这组数据同时减去120得到一组新数据如下：12，1,0,2，13,5，3,10,5,7，则新数据的平均数(1210213531057)00.故原数据的平均数1200120120，即这10名学生的平均成绩为120分1若x1，x2，xn的平均数为，则5x1,5x2，5xn的平均数为_答案：5解析：由题意可知，5x1,5x2，5xn的平均数为55.2如果13,14,17，x,19,21,25的平均数为18，则x_.答案：17解析：由题意知18，解得，x17.3在一次语文单元测验中，某小组11名学生的成绩与全班平均成绩的差分别为3,1,0，2，8,6,0,11，8，1,9(单位：分)若全班平均成绩是85分，求这个小组的平均分数解：根据条件可知，这个小组的平均分是85(310286011819)86(分)答：这个小组的平均分数是86分计算平均数的方法较多，且公式灵活多变，应根据具体问题选择合适的公式同时在计算的过程中要注意计算的准确性以及与其他知识的综合应用在一般情况下，要计算一组数据的平均数，可使用平均数计算公式；当数据较大且比较集中于某个数值时，可先计算减去这个数值后所得新数据的平均数，再加上这个数值，即得原数据的平均数，此法比较简便二、众数、中位数、平均数及应用某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、20 000元，那么公司职工月工资新的平均数、中位数和众数又是什么？(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法思路分析：由平均数、中位数、众数的概念求解，注意它们的区别与联系解：(1)平均数是1 5001 5005912 091(元)中位数是1 500元，众数是1 500元(2)平均数是1 5001 5001 7883 288(元)中位数是1 500元，众数是1 500元(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平1下面是高一(18)班10位同学的数学测试成绩：82,91,73,84,98,99,101,118,98,110，则该组数据的中位数是_答案：98解析：将这组数据按从小到大排列为73,82,84,91,98,98,99,101,110,118，则最中间的两个数为98,98，故中位数是(9898)98.2某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为_答案：87分、85分、85分解析：众数、中位数都是85分，平均数为(10095902854801751)87(分)众数在数据中出现的最频繁，说明该数值在数据中最具有代表性，众数不会受到数据中极端值的影响，并不是每一组数据都有众数，有时众数并不唯一中位数不同于平均数，它主要受一组数据中的中间位置上的数的影响，用中位数来反映各数大小的一般水平并不很精确但中位数计算简单，并不受数据中极端值的影响平均数是统计中应用最广泛的统计量，用它来反映一组数据的集中化趋势有比较好的代表性，是度量一组数据波动大小的基准但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低三、频率分布与特征数的综合问题某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示(1)求这次测试数学成绩的众数；(2)求这次测试数学成绩的中位数；(3)求这次测试数学成绩的平均分思路分析：根据直方图中的数据及众数、中位数、平均数的定义可解此题解：(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数在直方图中，高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为所求，所以成绩的众数为75.(2)由于中位数是所有数据中的中间值，故在直方图中体现的是中位数的左、右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等因此在频率分布直方图中，将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求前三个小矩形的面积和为：(0.0050.0150.020)100.4，第四个小矩形的面积为：0.030100.3,0.40.30.70.5，中位数应位于第四个小矩形内设其底边为x，高为0.03，令0.03x0.1，解得x3.故成绩的中位数为73.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和所以平均成绩为：45(0.00510)55(0.01510)65(0.02010)75(0.03010)85(0.02510)95(0.00510)72.成绩的平均分为72.1某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了45名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图所示的条形统计图表示根据条形统计图可得这45名学生这一天平均每人的课外阅读时间为_小时答案：1解析：1.2某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示若130,140分数段的人数为2人(1)求这所学校成绩在90,140分之间学生的参赛人数；(2)估计参赛学生成绩的众数与中位数解：(1)130,140分数段的频率为：0.005100.05，所以40(人)，即成绩在90,140分之间学生的参赛人数为40人(2)众数为115，前两个小矩形的面积和为：(0.010.025)100.35，第三个小矩形的面积为：0045100.45,0.350.450.80.5，中位数应位于第三个小矩形内设其底边为x，高为0.045，令0.045x0.15，解得x3.故成绩的中位数为113.(1)利用频率分布直方图求数字特征：众数是最高的矩形的底边的中点；中位数左、右两侧直方图的面积相等；平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标(2)利用直方图求出的众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数1下列说法正确的个数是_一个样本的众数、中位数和平均数不可能是同一个数统计中，我们可以用样本平均数去估计总体平均数样本平均数既不可能大于，也不可能小于这个样本中的所有数据众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势答案：32若数据13,17,14，x,13,15,17的众数为13，则x_.答案：13解析：由众数为13，知x13.3(2012江西高考改编)样本(x1，x2，xn)的平均数为，样本(y1，y2，ym)的平均数为()若样本(x1，x2，xn，y1，y2，ym)的平均数(1)，其中0，则n，m的大小关系为_答案：nm解析：由已知，得x1x2xnn，y1y2ymm，(1)，整理，得()m(1)n0，m(1)n0，即.又0，01，01.又n，mn，nm.4为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则me，mo，的大小关系为_答案：mome解析：由题目所给的统计图示可知，30个得分中，按大小顺序排好后，中间的两个得分为5,6，故中位数me5.5，又众数mo5，平均值，mome.5某校在一次学生身体素质调查中，在甲、乙两班中随机抽取10名男生测验100 m短跑，测得成绩如下(单位：s)：甲15.