高中数学 5.4 几个著名的不等式 5.4.2 排序不等式知识导航学案 苏教版选修45.doc

5.4.2 排序不等式自主整理1.设两组实数a1,a2,an与b1,b2,bn,且a1a2an,b1b2bn,则_为同序和,_为反序和.2.设c1,c2,cn为b1,b2,bn的任意一个排列,a1c1+a2c2+ancn为乱序和,则和数a1c1+a2c2+ancn在a1,a2,an与b1,b2,bn同序时最大,反序时最小,即_,当且仅当_或_时成立.高手笔记 排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题,能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式:同序和、反序和、乱序和,对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的“次序”,较为简单的两种是“同序和”与“反序和”,而乱序和也就不按“常理”的顺序了.排序不等式中等号成立的条件是a1=a2=an或b1=b2=bn,这一点不难理解,它是我们解决某些问题的关键,要记住.名师解惑怎样理解排序不等式的证明?剖析:课本对排序不等式的证明过程和方法,用了“探究猜想检验证明”及由特殊到一般的思维过程和发现过程,这是探索新知识、新问题常用到的基本方法,对于数组涉及到的“排序”及“乘积”的问题,出现了两种特殊的顺序“同序”和“反序”,其他为乱序,自然要对它们进行比较,但由于乱序情况较多较复杂,不可能一一验证、证明,所以课本采用了“逐步调整法”,就像日常生活中班级排队一样,逐个调整,每次调整对调一组数都保证了调整后的和不小于调整前的和.最终按由大到小的顺序排列出,理顺大小关系.而实际解决问题时,所给的数组并不一定是按由大到小或由小到大的顺序给出,我们可先对其进行排序,再用排序不等式解决范围问题或研究最值或证明不等式.讲练互动【例1】设a1,a2,an是n个互不相同的正整数,求证:a1+1+.分析:a1,a2,an是n个互不相同的正整数,可按从小到大的顺序排列,观察不等式可猜想到与a1,a2,an对应的另一列数是1,可用排序不等式证出.证明:设b1,b2,b3,bn是a1,a2,a3,an的一个排列且b1b2,a1+b1+11+2+3+n=1+.绿色通道 对于不等式两边结构比较整齐,按一定规律或一定顺序排列出来的,而且每一项容易分解为两个数之积的形式,可考虑用排序不等式证明.变式训练1.设a1,a2,a3,an是互不相等的正整数,求证:+.证明:设b1,b2,bn是a1,a2,a3,an的一个排列且b1b2,+.【例2】设a、b、c都是正数,求证:a+b+c.分析:本题的结构比较整齐,右边的a、b、c分别可看作是、,即把ab、bc、ca的顺序调换了,可联想排序不等式.证明:a、b、c为正数,不妨设abc0,则abacbc0且0.则+=b+a+c.+a+b+c成立.绿色通道 要利用排序不等式,必须构造相应的数组,并且排列出大小顺序,对于a、b、c同等地位的元素可不妨设出一种顺序进行解答.变式训练2.已知a、b、c为正实数,求证:a+b+c.证明:不妨设abc0,则a2b2c20,abacbc0,a2bc+ab2c+abc2a3c+ab3+bc3.又abc0,a3b3c30.a3c+ab3+bc3a4+b4+c4.a2bc+ab2c+abc2a4+b4+c4,即abc(a+b+c)a4+b4+c4.a+b+c成立.【例3】设a1,a2,an都是正数,b1,b2,bn是a1,a2,an的任一排列,求证:a1b1-1+a2b2-1+anbn-1n.分析:本题的结构为两数乘积之和,可用排序不等式.证明:不妨设00.b1,b2,bn是a1,a2,an的任一排列.a1b1-1+a2b2-1+anbn-1a1+a2+an=n,即a1b1-1+a2b2-1+anbn-1n成立.绿色通道 认真领会排序不等式的含义,学会用排序不等式进行放缩.变式训练3.已知a1,a2,an都是正数,b1,b2,bn是a1,a2,an的任一排列,求证:a1p+q+a2p+q+anp+qa1pb1q+a2pb2q+anpbnq(p、q为正数).证明:设a1pa2pa3panp,a1qa2qan