高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 间接证明课堂导学案 苏教版选修12.doc

2.2.2 间接证明课堂导学三点剖析各个击破一、证明数学中的基础命题宜用反证法【例1】求证:质数有无穷多.证明：如果质数的个数有限,那么我们可以将全体质数列举如下:p1,p2,pk,令q=p1p2pk+1.q总是有质因数的,但我们可证明任何一个pi(1ik)都除不尽q.假若不然,由pi除尽q,及pi除尽p1,p2,pk,可得到pi除尽(q-p1p2pk),即pi除尽1,这是不可能的.故任何一个pi都除不尽q.这说明q有不同于p1,p2,pk的质因数.这与只有p1,p2,pk是全体质数的假定相矛盾.所以质数有无穷多.温馨提示用反证法证明结论是b的命题,其思路是:假定b不成立,则b的反面成立,然后从b的反面成立的假定出发,利用一些公理,定理,定义等作出一系列正确的推理,最后推出矛盾的结果,从而判断“假设b不成立”是错误的.则b成立.类题演练1证明:1,2不能为同一等差数列的三项.证明：假设1，2为某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d，则1=-md,2=+nd，其中m,n为某两个正整数，由上面两式消去d，得2m+n=(m+n) ,因为n+2m为有理数，而（m+n）为无理数，所以n+2m(n+m) ,因此假设不成立，即1，2不能为同一等差数列的三项.变式提升1a、b是平面内的两条直线,求证:它们最多有一个交点.证明：假设直线a、b至少有两个交点a和b，则通过不同的两点有两条直线，这就与公理“经过两点有且只有一条直线”相矛盾，所以平面内的两条直线最多有一个交点.二、某些数学问题的证明可用反证法【例2】 已知a、b、c(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.证法一:假设三同时大于,即(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,三相乘,得:(1-a)a(1-b)b(1-c)c.又(1-a)a()2=.同理,(1-b)b,(1-c)c.以上三相乘得(1-a)a(1-b)b(1-c)c,这与(1-a)a(1-b)b(1-c)c矛盾,故结论得证.证法二:假设三同时大于.0a1,1-a0.同理,.三相加得矛盾,原命题成立.温馨提示要想得到原命题相反的判断,必先弄清原命题的含义,一般讲,如“是”的反面是“不是”，“有”的反面是“没有”，“等”的反面是“不等”，“成立”的反面是“不成立”，“有限”的反面是“无限”，以上这些都是相互否定的字眼，较为易找，应注意以下的否定：“都是”的反面为“不都是”，即“至少有一个不是”（不是“都不是”）；“都有”的反面为“不都有”，即“至少一个没有”（不是“都没有”）；“都不是”的反面为“部分是或全部是”，即“至少有一个是”（不是“都是”）；“都没有”的反面为“部分有或全部有”，即“至少一个有”（不是“都有”）.类题演练2命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（）a. 有两个内角是直角b. 有三个内角是直角c. 至少有两个内角是直角d. 没有一个内角是直角解析：“最多只有一个”即“只有一个或没有”，它的反面应是“有两个或有三个”.答案：c变式提升2已知a是整数, a2是偶数,求证:a也是偶数.证明：假设a不是偶数，则a为奇数.设a=2m+1(m为整数)，则a2=4m2+4m+1.4(m2+m)是偶数，4m2+4m+1为奇数，即a2为奇数与已知矛盾.a一定是偶数.三、综合应用【例3】证明方程2x=3有且只有一个根.证明：2x=3,x=log23.这说明方程有一个根.下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的.假设方程2x=3有两个根b1、b2(b1b2),则2b1=3,2b2=3.两相除,得2b1-b2=1.如果b1-b20,则2b1-b21,这与2b1-b2=1相矛盾;如果b1-b20,则2b1-b21,这也与2b1-b2=1相矛盾.因此b1-b2=0,则b1=b2.这就同b1b2相矛盾.如果方程的根多于两个,同样可推出矛盾.故2x=3有且只有一个根.温馨提示“有且只有”表示“存在且唯一”因此,在证明此类问题时要分别从存在性和唯一性两方面来考虑,而证明唯一性时,通常使用反证法.类题演练3已知平面m内有两相交直线a、b(交点为p)和平面n平行.求证:平面m平面n.证明：假设平面m不平行平面n，则m和n一定相交，设交线为c.a平面n，ac.同理bc.则过c外一点p有两条直线与c平行.这与公理“过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾.所以假设不成立.所以平面m平面n.变式提升3直线a平面m,平面n过a且和平面m相交于直线b