高中数学 第2章 统计 2.2 总体分布的估计互动课堂学案 苏教版必修3.doc

22总体分布的估计互动课堂疏导引导1.频率分布表 总体分布反映了总体在各个范围内取值的频率,由于总体很大或不便于获得,因此我们可以利用样本的频率分布估计总体的频率分布.我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表.疑难疏引 （1）在频率分布表中,频数是指落在各小组内的数据的个数.频率是各组的频数与数据总数的比值.（2）编制频率分布表的步骤如下：计算数据中最大值与最小值的差,算出了这个差就可以知道这组数据的变动范围有多大.决定组数与组距.将这一批数据分组,目的是要描述数据的分布规律,要根据数据的多少来确定分组的数目.一般来说,数据越多,分的组也越多；通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间.决定分点.要使分点比数据多一位小数,并且把第1组的下限略去或把第1组的起点稍减小一点.列频率分布表.登记频数,计算频率,列出频率分布表. 频率分布表能反映数据在某一范围内出现的可能性.如果这一范围是由几组数据组成的,则其出现的可能性为这几组数据的频率之和.在编制频率分布表时,若题目已给出了组距和组数,可以直接列出频率分布表.（3）频率分布表的优点和缺点 频率分布表的优点是:能直接反映数据在各范围内的频数和频率；其缺点是:不能直观地反映数据的频率分布,分布表是否正确.案例1 某班50名同学参加数学测验,成绩的分组及各组的频数如下：40,50）,2；50,60）,3；60,70）,10；70,80）,15；80,90）,12；90,100,8. 列出样本的频率分布表.【探究】 频率分布表如下：分 组频 数频 率40,50）20.0450,60)30.0660,70)100.270,80)150.380,90)120.2490,100)80.16规律总结 频率分布表有两条较为明显的性质：各组的频数之和为样本数据的个数.各组的频率和为1.2.频率分布直方图 频率分布表虽然能体现出数据的分布规律,但它并不直观,为了直观地体现数据个数的分布规律,我们需要画频率分布直方图.在初中,我们学过如何绘制频数直方图,它能直观地体现数据的分布规律.同样我们可以用直方图来反映样本的频率分布规律.这种反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图,简称频率直方图.疑难疏引 （1）绘制频率分布直方图的步骤把横轴分为若干段,每一段对应一组的组距,然后以线段为底,作一个矩形,它的高等于该组的,作出一系列的矩形；每个矩形的面积恰好是该组的频率,这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1. 在这里,要特别注意纵轴表示.（2）频率分布直方图的两种类型 用样本频率分布估计总体分布通常分两种情况:当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取的样本的不同值及其相应频率表示,其几何表示就是相应的条形图.条形图中,纵轴表示的是频率,条形图的高为该组数据的频率.但应注意:“总体中的个体取不同数值很少”并不是指“总体中的个数很少.” 例如:抛掷硬币的试验中,尽管样本的容量达到了72 088,但试验结果只有两种,即正面向上和反面向上.如果记“正面向上”的结果为0,记“反面向上”为1,则样本中数据只有两个取值.此时,该样本的频率分布表的几何表示就为相应的条形图.当总体中个体取不同值较多,甚至无限时,对其频率分布研究用到初中学过的整理样本数据的知识,用频率分布直方图来表示相应的样本的频率分布.（3）频率分布直方图的优点和缺点 频率分布直方图虽然能直观体现数的分布规律,但要绘制频率分布直方图过程比较复杂,且它不能直接体现数据的频数分布.案例2 下表给出了从某校500名12岁的男生中用简单随机抽样得出的120人的身高资料（单位：厘米）区间界限122,126）126,130）130,134）134,138）138,142）人数58102233区间界限142,146）146,150）150,154）154,158）人数201165（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计身高低于134厘米的人数占总人数的百分比和身高在区间134,146）（厘米）内的人数占总人数的百分比.【探究】（1）样本频率分布表：分 组频 数频 率122,126）50.04126,130)80.07130,134)100.08134,138)220.18138,142)330.28142,146)200.17146,150)110.09150,154)60.05154,158)50.04合计1201.00（2）样本的频率分布直方图如下图所示.（3）样本中身高低于134厘米的男生出现的频率为0.19,由样本频率可估计该校身高低于134厘米的男生占这500名12岁男生总数的19%.样本中身高在区间134,146）（厘米）内的男生出现的频率为=0.625,估计该校500名12岁男生中身高在区间134,146）（厘米）内的有62.5%.规律总结 按要求制表、绘图,并根据样本的分布估计总体的分布时,要合理分组,并准确找出各组频数,而相应频率是通过求频数与样本容量的比计算出来的.本题已知条件已完成前期工作（即抽样、分组、确定频数）.制作频率分布表,画频率分布直方图,注意纵轴表示的不是频率,而是频率与组距之比.体会用样本估计总体的统计思想方法.3.频率折线图与总体分布的密度曲线（1）频率折线图的定义 将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来,就可以得到一条折线,这条折线就是本组数据的频率折线图.（2）频率折线图的画法 频率折线图是在频率分布直方图的基础上,取直方图中各小矩形的上底边的中点连结而成的.画频率折线图时还应注意:取值区间两端点需分别向外延伸半个组距,以使折线首尾分别与横轴相连.（3）频率折线图的优点与缺点 频率折线图的优点是它能反映数据的变化趋势,但它不能直接体现数据的分布规律.（4）总体分布的密度曲线 在画频率折线图时,如果将样本容量取得足够大,分组的组距取得足够小,这条折线将趋于一条曲线,这一曲线为总体的密度曲线,它能反映出总体分布规律.疑难疏引 （1）总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域取值的规律,根据这条曲线,总体在（a,b）内取值的百分率就是总体密度曲线与直线x=a,x=b及x轴所围成的图形的面积.（2）总体密度曲线呈中间高、两边低的“钟”形分布,总体的数据大致呈对称分布,并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内.4.茎叶图 制作茎叶图的方法是:当所给数据为一位数时,可将0作为茎叶较长的茎,而它本身作为叶；当所给数据为两位数时,将所有两位数的十位数字作为“茎”,个位数字作为“叶”；当所给的数据为三位数时,可将百位和十位作为茎,而个位作为叶.茎相同的数据共用一个茎,茎按从小到大的顺序从上到下排列,共用茎的叶一般要按从大到小(也可以从小到大)的顺序同行排出.制作茎叶图时,一般用一个竖线将茎叶隔开.由茎叶图我们可以粗略地看出一组数据的平均数、中位数、众数的范围.茎叶图不但可以分析单组数据,也可以对两组数据进行对比.当列两组数据的茎叶图时,它们可以共同用一个茎. 茎叶图的优点和缺点： 茎叶图的优点是:所有信息都可以从茎叶图中得到体现,而且茎叶图便于记录和表示；它既可以分析单组数据,也可以对两组数据进行比较. 茎叶图的缺点是:茎叶图不方便表示位数在三位以上的数据.案例3 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下： 甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50. 乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51.（1）画出甲、乙两名运动员得分数据的茎叶图；（2）根据茎叶图分析甲、乙两运动员的水平.【探究】当所给数据为两位数时，将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”.当列两组数据的茎叶图时，它们可以共同用一个茎.【解析】按照作茎叶图的方法首先画出茎叶图，然后分析.（1）作出茎叶图如下图所示：（2）由上面的茎叶图可以看出，甲运动员的得分情况是大致对称的，中位数是36；乙运动员的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是26.因此甲运动员的发挥比较稳定，总体得分情况比乙运动员好.规律总结 在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且还可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便. 画茎叶图的步骤如下：（1）将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分，此例中茎为十位上的数字，叶为个位上的数字.（2）将最小茎和最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左（右）侧.（3）将各数据的叶按大小次序写在其茎右（左）侧.（4）当数据是由整数部分和小数部分组成时，可以把整数部分作为茎，小数部分作为叶.（5）比较时从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几个方面来比较.活学巧用1.在用样本频率估计总体分布的过程中,下列说法中正确的是（ ）a.总体容量越大,估计越精确b.总体容量越小,估计越精确c.样本容量越大,估计越精确d.样本容量越小,估计越精确解析：总体分布是指总体取值的分布规律,这种分布我们一般是不知道的.用样本去估计总体,是研究统计问题的一个基本思想,对于不易知道的总体分布,常常用样本的频率分布对它进行估计.样本的容量越大,这种估计就越精确.用样本估计的思想就是用部分考察全体、用离散考察连续、用有限考察无限的思想,是用观察测量值来探究客观规律的一种重要的基本思想.答案：c2.一个容量为80的样本最大值是140,最小值是51,组距是10,则可以分成（ ）a.10组 b.9组 c.8组 d.7组解析：极差=140-51=89,=8.9不为整数.组数应为9.答案：b3.已知样本：10,8,6,10,8,13,11,10,12,7,8,9,12,9,11,11,9,10,11,12.那么频率为0.2的范围是（ ）a.5.57.5 b.7.59.5 c.9.511.5 d.11.513.5解析：只要列出频率分布表,就可找到答案,频率分布表如下：分 组频率累计频 数频 率5.57.520.17.59.560.39.511.580.411.513.540.2合计0 从表中可以知道频率为0.2的范围是11.513.5.答案：d4.在频率分布直方图中,各个矩形的面积表示（ ）a.落在相应各组的数据的频数b.相应各组的频率c.该样本所分成的组数d.该样本的样本容量解析：在频率分布直方图中,数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示.答案：b5.观察新生婴儿的体重,其频率分布直方图如下图所示,则新生婴儿的体重在2 700,3 000的频率为（ ）a.0.001 b.0.01 c.0.003 d.0.3解析：本题考查总体分布的频率分布直方图.由图可知：频率=组距,易知：=0.001,组距=3 000-2 700=300,频率=0.001300=0.3.答案：d6.某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用下面的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）a.0.6小时 b.0.9小时 c.1.0小时 d.1.5小时解析：=0.9.答案：b7.对50台某种电子设备的寿命逐台进行测试,得到下列数据（单位：小时）910,1 220,1 280,20,2 330,900,860,1 450,1 220,550,160,2 020,1 590,1 730,490,1 620,560,530,500,240,1 280,60,190,290,740,1 160,220,910,40,1 410,3 650,3 410,70,510,1 270,610,310,220,370,60,1 750,890,790,1 280,570,760,50,1 530,1 860,1 280.(1)列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）根据所得结果估计,寿命小于2 500小时的百分比约是多少？解析：（1）频率分布表如下：组号范围频数频率10,500160.322500,1 000140.2831 000,1 500100.2041 500,2 00060.1252 000,2 50020.0462 500,3 00000.0073 000,3 50010.0283 500,4 00010.02合计501.00（2）频率分布直方图如下图所示.（3）观察上图表知,小于2 500小时的约占96%.8.在案例2中,怎样画出频率分布折线图呢？解析：把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来,就得到频率分布折线图如下.9.对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系,下列说法中正确的是（ ）a.频率分布折线图与总体密度曲线无关b.频率分布折线图就是总体密度曲线c.样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线d.如果样本容量无限增大,分组的组距无限减小,那么频率分布折线图就会无限接近于总体密度曲线解析：因为如果样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布折线图就会无限地接近于一条光滑曲线,这条曲线就是总体密度曲线.答案：d点评：频率分布指的是一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.（1）频率分布直方图中纵轴表示,频率=.（2）频率分布表中各组中的频数之和等于样本容量,各组中频率之和等于1.（3）频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种不同形式,前者准确,后者直观.（4）频率分布折线图依赖于频率分布直方图.（5）总体密度曲线是总体中个体数较多,样本容