高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.3 两角和与差的正切课堂导学 苏教版必修4.doc

高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.3 两角和与差的正切课堂导学 苏教版必修4三点剖析1.两角和与差的正切公式应用初步【例1】计算下列各式的值.（1）tan15+tan75;(2).解析：观察各式的特点，设法化为特殊角的和、差正切公式计算.解：（1）tan15+tan75=tan(45-30)+tan(45+30)=4.(2)原式=tan(41+19)=tan60=.温馨提示 要灵活运用和、差角正切公式进行化简求值.当一个角能表示成两个特殊角的和或差时，可用公式求值；若式子能转化成公式右边的形式，便可逆用公式求值.2.两角和与差的正切公式的综合应用【例2】已知：a、b(0,),且a+b=.求证：（1+tana）(1+tanb)=2.思路分析1：从局部入手，tanb=tan(-a)=.思路分析2：从整体入手，（1+tana）(1+tanb)=1+tana+tanb+tanatanb=tan(a+b)(1-tanatanb)+(1+tanatanb)此式由tana+tanb=tan(a+b)(1-tanatanb)代换得到.证法1：a+b=,tanb=tan(-a)=.左边=（1+tana）(1+)=(1+tana)=2=右边.故原式成立.证法2：由tan(a+b)=得，tan(a+b)(1-tanatanb)=tana+tanb.原式左边=1+tana+tanb+tanatanb=tan(a+b)(1-tanatanb)+(1+tanatanb).又a+b=,tan(a+b)=1.原式左边=1-tanatanb+1+tanatanb=2=右边.故原式成立.温馨提示tantan=tan（）（1tantan）这一公式变形在解题中经常用到，只要题目中有tan+tan或tan-tan，一般用正切公式的变形，整体代入都能奏效.3.角的变换与角的范围的确定【例3】已知、都是锐角，且tan=，tan=，tan=，求+的值.解：因为tan（+）=tan（+）+=1.由已知，又因0，所以0，得0+.故+=.温馨提示 本类问题通常会因为角的范围太大，导致产生不合题意的角，遇到本类问题，要根据已知条件尽可能精确地确定角的范围.各个击破类题演练1计算下列各式的值.（1）; (2).解：（1）原式=tan(45-15)=tan30=.(2)原式=tan(-)=tan=1.变式提升1求出下列各式的值，完成填空.（1）=_；（2）=_.思路分析：（1）原式=tan（75-15）=tan60=.（2）原式=tan45=1.答案：（1） （2）1类题演练2求tan50-tan20-tan50tan20的值.解析：本题主要考查给角求值，观察式子的结构特点知，tan50-tan20是两角差正切公式中的分子tan（50-20）=，于是抓住这一点作为突破口，用公式的变形，容易解决.解：tan50-tan20=tan30（1+tan50tan20），tan50-tan20-tan50tan20=tan30（1+tan50tan20）-tan50tan20=tan30+tan30tan50tan20-tan50tan20=tan30=.变式提升2求tan(-)+tan(+)+3tan(-)tan(+)的值.解析：tan(-)+(+)=tan=3,=tan(-)+tan(+)=1-tan(-)tan（+).原式=1-tan(-)tan(+)+3tan(-)tan(+)=.类题演练3若tan=,tan=,且、都是锐角，求+的值.解析：tan(+)=1,又根据已知0,0,得0+,+=.变式提升3已知tan(+)=5,tan(-)=3,求tan2,tan2,tan(2+).思路分析：先利用+、-