高中数学《简单的三角恒等变换》新人教A版必修PPT课件.ppt

3 2简单的三角恒等变换 第一课时 1 3 2简单的三角恒等变换 第一课时 2 1 在 ABC中 已知sin A B cosB cos A B sinB 1 则 ABC是 A A 直角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 等边三角形 由两角和的正弦公式得sinA 1 由弦函数有界性知 sinA 1 得A 90 3 2 化简 B A sin4B 2cos4 sin4C sin4 2cos4D 2sin4 cos4 原式 sin4 cos4 cos4 又sin4 cos4 0 cos4 0 所以原式 sin4 cos4 cos4 2cos4 sin4 4 3 化简 cos2x cos4x sin4x 原式 2cos2x 1 2cos22x 1 cos2x cos22x cos2x 2cos2x 1 2 1 2cos2x cos4x 1 cos2x 2 sin4x 5 4 若A B tanA tanB 则cosA cosB tan A B 所以1 tanA tanB 2 即 2 所以cosA cosB cos A B 6 三角变换的基本题型 化简 求值和证明 1 化简 三角函数式化简的一般要求 三角函数种数尽量少 项数尽量少 次数尽量低 尽量使分母不含三角函数式 尽量使被开方数不含三角函数式 能求出的值应尽量求出值 依据三角函数式的结构特点 常采用的变换方法 异角化同角 异名化同名 异次化同次 高次降次 7 2 求值 常见的有给角求值 给值求值 给值求角 给角求值的关键是正确地分析角 已知角与未知角 之间的关系 准确地选用公式 注意转化为特殊值 给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角 名称 结构的差异 有目的地将已知式 待求式的一方或两方加以变换 找出它们之间的联系 最后求待求式的值 8 给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值 讨论角的范围 求出该角 3 证明 它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明 常用方法 从左推到右 从右推到左 左右互推 9 复习引入 1 三角函数的和 差 公式 10 问题提出 1 两角和与差及二倍角的三角函数公式分别是什么 sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin 11 cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 sin2 2sin cos 12 讲授新课 思考 答 倍角或半角关系 13 讲解范例 14 15 万能公式 用单角的正切表示2倍角的正弦 余弦 正切值 16 思考 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换 对于三角变换 由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异 而且还会有所包含的角 以及这些角的三角函数种类方面的差异 因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系 这是三角式恒等变换的重要特点 代数式变换与三角变换有什么不同 17 2 三角函数公式是三角变换的理论依据 基本的三角公式包括同角关系公式 诱导公式 和差公式和二倍角公式等 有了这些公式 使得三角变换的内容 思路 方法丰富多彩 奥妙无穷 并为培养我们的推理 运算能力提供了很好的平台 在实际应用中 我们不仅要掌握公式的正向和逆向运用 还要了解公式的变式运用 做到活用公式 用活公式 18 3 代数式变换与三角变换的区别在于 代数式变换主要是对代数式的结构形式进行变换 三角变换一般先寻找三角式包含的各个角之间的联系 并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行变换 其中有两个变换原理是需要我们了解的 19 三角恒等变换基本原理 20 例2求证 解 1 sin 和sin 是我们学过的知识 所以从右边着手 sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin 两式相加 得sin sin 2sin cos 探究 一 异角和积互化原理 21 2 由 1 可得sin sin 2sin cos 设 把 的值代入 即得 22 例 证明中用到换元思想 式是积化和差的形式 式是和差化积的形式 在后面的练习当中还有六个关于积化和差 和差化积的公式 思考在例2证明过程中用到了哪些数学思想方法 23 例3 分析 利用三角恒等变换 先把函数式化简 再求相应的值 解 所以 所求的周期为2 最大值为2 最小值为 2 点评 例 是三角恒等变换在数学中应用的举例 它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸 体现了三角变换在化简三角函数式中的作用 24 例4 分析 要求当角 取何值时 矩形ABCD的面积S最大 可分二步进行 找出S与 之间的函数关系 由得出的函数关系 求S的最大值 25 解 在Rt OBC中 OB cos BC sin 在Rt OAD中 设矩形ABCD的面积为S 则 26 通过三角变换把形如y asinx bcosx的函数转化为形如通过三角变换把形如y asinx bcosx的函数转化为形如y Asin 的函数 从而使问题得到简化 27 讲解范例 变式 把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料 怎样锯法能使横截面的面积最大 分别设边与角为自变量 28 讲解范例 变式 已知半径为1的半圆 PQRS是半圆的内接矩形如图 问P点在什么位置时 矩形的面积最大 并求最大面积时的值 P Q R S O 29 思考3 可分别合成为哪个三角函数 思考4 可合成为哪个三角函数 30 思考5 一般地 可合成为一个什么形式的三角函数 其中 31 1 已知向量a cosx 3 sinx b cosx sinx 3 f x a b 1 若x 2 3 求函数f x 的单调递增区间 32 33 已知函数f x cos4x 2sinxcosx sin4x 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 的单调区间 3 若x 求f x 的最大值及最小值 34 35 36 37 38 39 本节内容是灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换 进而考查三角函数的图象和性质是高考的热点内容 多以解答题的形式呈现 属中 低档题 1 2009年安徽卷 已知函数f x sin x cos x 0 y f x 的图象与直线y 2的两个相邻交点的距离等于 则f x 的单调递增区间是 40 41 答案 C 42 43 44 45 答案 a c b 46 47 理论迁移 例1化简 tan 例2已知cosx cos cos 求证 48 分析 欲求最小正周期主最大最小值 首先要将函数式化为单一函数 练习 49 的最小正周期为 最大值为 最小值为 50 1 的值是 A B C D D 练习 51 2 的值是 A 0 D 1 B C C 练习 52 3 设 且 则等于 A D C B C 练习 53 4 若 则的值是 D A B C D 练习 54 5 则 5 8 若 则 舍之 练习 55 小结作业 1 异角和积互化原理与同角和差合成原理 是三角变换的两个基本原理 具体公式不要求记忆 但要明确其变换思想 会在实际问题中灵活运用 2 明确思维起点 把握变换方向 抓住内在联系 合理选择公式 是三角变换的基本要决 56 3 对形如的函数 转化为的形式后 可使问题得到简化 这是一种化归思想 作业 P143习题3 2A组 1 5 6 7 8 2 3 4 5 57 3 2简单的三角恒等变换 第二课时含未知角的求值问题 习题课 58 例1已知 且求值 59 例3已知 求的值 例4已知 求值 60 例5已知tan 2 且sin sin cos 求tan 的值 4 例6已知 求的值 61 作业 P146复习参考题A组 1 2 3 6 7 62 第三课时含非特殊角的求值问题 习题课 3 2简单的三角恒等变换 63 例1求sin 340 cos400 sin830 cos50 的值 例2求的值 2 64 例3求的值 例4求的值 3 65 例5求的值 2 例6求的值 32 例7求的值 66 作业 P146复习参考题A组 4 5 8 67 第四课时三角函数中的三角变换问题 习题课 3 2简单的三角恒等变换 68 2020 1 7 69 例1已知函数 1 求f x 的最小正周期和单调递减区间 2 当时 求f x 的最大值和最小值 T 70 例2已知函数f x sin x cos x 为偶函数 求 的值 71 例3已知函数 1 若对任意x R都有成立 求a的取值范围 2 若 求关于x的不等式的解集 72 例4已知向量a b 其中 求函数f x a b a b 的值域 73 例5已知函数若函数y f x 的图象关于直线对称 求a的最小值 74 例6如图 正方形ABCD的边长为1 P Q分别为边AB DA上的点 当 APQ的周长为2时 求 PCQ的大小 45 75 作业 P147复习参考题A组 10 11 12 13 76 题型一恒等变换下的化简求值 例1 已知 tan2 2 求的值 77 tan2 解得tan 或tan 因为2 所以 所以tan 0 所以tan 对于附加条件求值问题 要先看条件可不可以变形或化简 然后看所求式子能否化简 再看它们之间的相互联系 通过分析找到已知与所求的纽带 78 题型二恒等变换下的拆角求值 例2 已知cos sin 且 0 求cos的值 抓住已知角 与目标角的关系 因此先求得sin cos 的值 再代公式 79 因为0 所以 0 所以sin 80 cos 故cos cos cos cos sin sin 81 根据已知角与目标角的联系 将题目中的 目标角整体 变成 已知角整体 之间的 和 差 倍 半 余 补 负 应用已知条件 直接解决问题 常用 凑角 技巧 2 2 等 82 已知cos cos 且 0 求 的值 因为 0 且cos 所以sin 又因为 cos 所以sin 83 所以cos cos cos cos sin sin 又 0 则 0 所以 在给角求角的式子中 发现目标角与已知角的联系 将目标角用已知角表示 求得其某一名三角函数值 但对于在 0 180 间的角 选用余弦或正切比选用正弦好 在 90 90 间的角 宜选用正弦 注意避开讨论 减少失误 84 题型三恒等变换下的三角证明 例3 1 已知2sin sin cos sin2 2sin cos 求证 cos2 2cos2 2 已知5sin 3sin 2 求证 tan 4tan 0 85 1 4sin2 1 2sin cos 所以4sin2 1 sin2 所以1 sin2 2 4sin2 2 1 2sin2 即cos2 2cos2 2 因为5sin 3sin 2 所以5sin 3sin 所以5sin cos 5cos sin 3sin cos 3cos sin 所以2sin cos 8cos sin 0 依题意知 k k k Z 所以tan 4tan 0 1 结论中不含 所以从条件中消去 即可 2 把条件中的角进行拆拼 使出现 实现已知角向未知角转化即可 86 三角恒等变形的实质是对角 函数名称及运算结构的转化 而转化的依据就是一系列的三角公式 因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足够的了解 1 同角三角函数关系 可实现函数名称的转化 2 诱导公式及和 差 倍角的三角函数 可以实现角的形式的转化 3 倍角公式及其变形公式 可实现三角函数的升幂或降幂的转化 同时也可完成角的转化 87 函数y 2cos2x sin2x的最小值是 1 f x cos2x sin2x 1 sin 2x 1 所以最小值为1 88 设函数f x cos 2x sin2x 1 求函数f x 的最大值和最小正周期 2 设A B C为 ABC的三个内角 若cosB f 且C为锐角 求sinA 89 1 f x cos 2x sin x cos2xcos sin2xsin sin2x 所以 当2x 2k k Z 即x k k Z 时 函数f x 取得最大值 为 同时 f x 的最小正周期为 90 2 因为f sinC 所以sinC 因为C为锐角 所以C 又因为在 ABC中 cosB 所以sinB 所以sinA sin B C sinBcosC cosBsinC 91 答案 A 92 第4课时简单的三角恒等变换 93 基础梳理 94 95 96 课前热身 97 98 99 100 101 102 103 题后感悟 给角求值 一般所给出的角都是非特殊角 从表面来看是很难的 但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系 解题时 要利用观察得到的关系 结合三角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解 有时还可逆用 变形运用公式 104 105 106 107 108 109 110 题后感悟 已知三角函数式的值 求其他三角函数式的值 一般思路为 1 先化简所求式子或所给条件 2 观察已知条件与所求式子之间的联系 从三角函数名及角入手 3 将已知条件代入所求式子 化简求值 111 112 113 114 115 116 117 118 题后感悟 已知三角函数值求角 一般可分以下三个步骤 1 确定角所在的范围 2 求角的某一个三角函数值 要求该三角函数应在角的范围内严格单调 119 120 121 122 123 124 125 126 方法技巧常用的三角恒等变换技巧