高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质学案 苏教版必修4.doc

1.3 三角函数的图象和性质典题精讲例1 求函数y=的值域.思路分析:此类题型可转化为分式函数值域的求法，即分离常数法，或通过反解sinx法，利用sinx的值域确定原函数的值域.解:由y=,得sinx=.|sinx|1,|1.解得-2y.ymax=，此时sinx=1； ymin=-2，此时sinx=-1.函数的值域为-2,. 绿色通道:本题的解法对形如“求y=或y=的函数的值域(或最大值、最小值)”问题 具有一般性.变式训练 (2006安徽高考卷，理8) 设a0，对于函数f(x)=(0x)，下列结论正确的是( )a.有最大值而无最小值b.有最小值而无最大值 c.有最大值且有最小值d.既无最大值又无最小值思路解析:令t=sinx,t(0,1，则函数f(x)=(0x0，所以y=1+,t(0,1是一个减函数.故选b.答案:b例2 求下列函数的周期:(1)y=cos2x；(2)y=-2cos(-x-1)；(3)y=|sin2x|；(4)y=cos3x+sin2x.思路分析:(1)复合函数，可以通过变量替换归结为基本三角函数去处理；(2)先用诱导公式将转化为正值，再用t=来求；(3)可利用绝对值的意义及图象法求；(4)可用最小公倍数法.解:(1)把2x看成一个新的变量u，那么cosu的最小正周期是2，这就是说，当u增加到u+2且必须增加到u+2时，函数cosu的值重复出现，而u+2=2x+2=2(x+)，所以当自变量x增加到x+且必须增加到x+时，函数值重复出现，因此，y=cos2x的周期为.(2)y=-2cos(-x-1)=-2cos(x+1),t=4.(3)因为y=|sinx|的周期是=，故y=|sin2x|的周期是.(4)y1=cos3x的周期t1=；y2=sin2x的周期t2=，因为t1=,t2=且4与6的最小公倍的数是12，所以t=2. 绿色通道:周期的求法除应用定义及有关结论公式外，还可以作出图象，由图象直观判断求出周期，也是一种重要方法，另外最小公倍数法也要灵活掌握.变式训练 (2006湖南高考卷，文8) 设点p是函数f(x)=sinx的图象c的一个对称中心，若点p到图象c的对称轴上的距离的最小值为，则f(x)的最小正周期是( )a.2 b. c. d.思路解析:根据图象，知对称中心到对称轴的最短距离为，所以=，得t=4=.所以最小正周期为.答案:b例3 若、为第三象限角，且，则_.a.coscos b.coscosx成立的x的取值范围为( )a.(,)(,) b.(,)c.(,) d.(,)(,)思路解析:此题可以用图象法、特殊值法、或者常规计算法等多种方法进行求解.利用单位圆图象解答时，以直线y=x为界，角的终边在该直线上方，则有sincos；落在该直线下方，则有sincos；落在y=x上，则有sin=cos.还可在同一坐标系中画出正、余弦图象进行分析比较.答案:c例4 (2005全国高考巻，理17) 设函数f(x)=sin(2x+)(-0)，y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.(1)求；(2)求函数y=f(x)的单调增区间；(3)画出函数y=f(x)在区间0,上的图象.思路分析:(1)可利用对称轴来解决；(2)要注意“整体性”原则；(3)画图时用“五点法”.解:(1)x=是函数y=f(x)的图象的对称轴，sin(2+)=1.+=k+,kz.又-0)的一个周期的图象，则函数的解析式为_.图1-3-3思路解析:依题意,知当x=时,y=0；当x=时,y=a；当x=0时,y=.解之得故y=2sin(x+).答案:y=2sin(x+)例5 要得到函数y=sin(2x-)的图象，只需将y=sinx的图象上( )a.每个x的值扩大4倍，y值不变，再向右平移个单位b.每个x的值缩小，y值不变，再向左平移个单位c.每个x的值扩大4倍，y值不变，再向左平移个单位d.每个x的值缩小，y值不变，再向右平移个单位思路解析: x2x，先缩小，又-0)的周期t=，函数y=atan(x+)(其中a、为常数，a0，0)的周期t=.如y=2sin(-)的周期t=4，y=-2tan(3x+)的周期t=.(3)图象法:如