高中数学 专题1.4 生活中的优化问题举例练习（含解析）新人教A版选修22.doc

生活中的优化问题举例（时间：25分，满分50分） 班级 姓名 得分 1. 设底为等边三角形的直三棱柱的体积为v，那么其表面积最小时底面边长为()a. b. c. d2【答案】c2方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为()a4 b6 c4.5 d8【答案】a【解析】设底面边长为x，高为h，则v(x)x2h256，h，s(x)x24xhx24xx2，s(x)2x.令s(x)0，解得x8，h4.3内接于半径为r的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为()a.和r b.r和rc.r和r d以上都不对【答案】b【解析】设矩形一边的长为x，则另一边长为2，则l2x4(0xr)，l2，令l0，解得x1r，x2r(舍去)当0x0；当rxr时，l0.所以当xr时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为r，r.4要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()a.cm b.cmc.cm d.cm【答案】d5把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是()a. cm2 b4 cm2c3 cm2 d2 cm2【答案】d【解析】设一个正三角形的边长为x cm，则另一个正三角形的边长为(4x)cm，则这两个正三角形的面积之和为sx2(4x)2(x2)242(cm2)，故选d.6在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为()a. b.r c.r dr【答案】d【解析】如下图所示，为圆及其内接梯形，设cob，则cd2rcos，hrsin，srsinr2sin(1cos)sr2cos(1cos)sin2r2(2cos2cos1)令s0得cos1(舍去)或cos.即当cos时，梯形面积最大，此时上底cd2rcosr.故应选d.7做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_【答案】38如图(1)，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2)当这个正六棱柱容器的底面边长为_时，其容积最大【答案】【解析】设四边形较短边为x，则较长边为x，正六棱柱底面边长为12x，高为x，v6sin60(12x)2xx(12x)2.v(12x)(16x)，令v0，得x或x(舍去)当0x0；当x时，v0.因此当x时，v有最大值，此时底面边长为12. 9为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 ，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用c(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：c(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20c(x)c1(x)206x6x(0x10)(2) f (x)6，令f (x)0，即6，解得x5，x(舍去)当0x5时，f (x)0，当5x0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元10某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.【解析】(1)设容器的容积为v，由题意知vr2lr3，又v，故lr(r)由于l2r，因此0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r(r)34r2c，因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r(r3)，03，所以c20.当r30时，r .令 m，则m0，所以y(rm)(r2rmm2)当0m时，令y0，得rm.当r