高中数学 第3章 三角恒等变换 3.2 二倍角的三角函数自主训练 苏教版必修4.docVIP

高中数学 第3章 三角恒等变换 3.2 二倍角的三角函数自主训练 苏教版必修4我夯基我达标1.若sin2=，且(，)，则cos=sin的值是( )a. b. c. d.思路解析：要求cos-sin的值，可以先求(cos-sin)2，其展开式中的2sincos就是已知的sin2，应当注意的是在(,)上，cossin，所以开方时应取负号.答案：c2.如果|cos|=，3，则sin的值为( )a. b. c. d.思路解析：根据3知,角是第二象限角，其余弦值为负，即cos=，而，为第三象限角，正弦值为负，于是利用半角公式即得结果.答案：c3.若2，则等于( )a.cos b.-sin c.-cos d.sin思路解析：根据本题结构特点，连续两次使用公式1+cos2=2cos2，达到脱去根号的目的，同时要注意角的范围及其函数值的正负，这是解这类问题的常规思路.答案：c4.化简的值为( )a.tan2 b.cot2 c.tan d.cot思路解析：本题是分式化简题，可将分子、分母均化为积的形式且分子、分母有公因式，通过约分把式子化简，于是有原式=cot2.答案：b5.若f()= cot-，那么f()的值为_.思路解析：将函数f()化简变形可得简单形式，即f()=cot+=cot+tan=，所以f()=2.答案：26.已知sin+cos=，且3，则cot的值为_.思路解析：由sin+cos=，得2sincos=，(sin-cos)2=1-2sincos=1-=.3，sincos，sin-cos=.cos=，cot=.答案：7.已知为钝角、为锐角且sin=，sin=，则cos的值为_.思路解析：为钝角,为锐角，且sin=，sin=，cos=-，cos=.cos(-)=coscos+sinsin=.，0，又0-，0，cos0.cos=.答案：8.化简:.思路解析：灵活运用数字1，此处将1看成sin25+cos25，然后将根号下面的代数式化成完全平方式，后面的运算就容易了.答案：原式=|sin5+cos5|+|sin5-cos5|=sin5+cos5+cos5-sin5=2cos5.9.求证：.思路解析：将等号左边分子的“1”换成“sin2+cos2”，即可对分子进行因式分解，分母运用平方差公式也可分解，产生可以约分的式子，再分子、分母同除以cos即得右边.答案：左边=右边.原题得证.我综合我发展10.已知0，sin与sin是方程x2-(cos40)x+cos240-=0的两个根，求cos(2-)的值.思路解析：本题是一元二次方程与三角的综合题，利用求根公式可得两根，把两根利用三角公式变形即得与的数值，产生较为特殊的角75，再用公式求其值.解：由求根公式可得x=cos40sin40=sin45cos40cos45sin40=sin(4540)，x1=sin85，x2=sin5.090，=85，=5.cos(2-)=cos(-75)=cos75=.11.在abc中，已知cosa=，求证：.思路解析：要求证的等式右边是a+b与a-b的商，而1-cosa与1+cosa不仅可以产生a+b与a-b，而且还会制造出1-cosb与1+cosb，再用倍角公式(或万能公式)就可以变形为所求结果.解：cosa=，1-cosa=，1+cosa=.而=tan2，=tan2，tan2=tan2，即.12.如图3-2-2所示，地面上两塔相距120 m，一人分别在两塔的底部测得一塔顶的仰角为另一塔顶仰角的二倍，又在两塔底的连线中点测得两塔顶的仰角互余，求两塔的高.图3-2-2思路解析：设出两塔的高分别为x m、y m，其中的两个仰角分别为adb=，amb=，利用图中的直角三角形建立x,y,的关系，再通过,的三角函数关系产生x,y的方程，然后解方程可得x,y的值，这当中,为辅助未知数，属于设而不求的角色.解：设两塔的高分别为x m、y m，且adb=，amb=.由题意，得cbd=2，amc=90，amb=mcd=.所以x=60tan，y=60cot.x=120tan，y=120tan2，所以解得x=40，y=90.答：两塔高分别是90 m和40 m.13.如图3-2-3，在某点b处测得建筑物ae的顶端a的仰角为，沿be方向前进30 m至点c处测得顶端a的仰角为2，再继续前进103 m至d点处测得顶端仰角为4，求的大小和建筑物ae的高.图3-2-3思路解析：这是一个三角函数在测量方面的应用问题.在解决过程中运用了初中几何解直角三角形的知识和方程的思想，但三角式的化简起到了关键作用，特别是切化弦，使得式子的分子、分母产生可以约分的项，这种转化方法应当引起重视.解：由已知，bc=30 m，cd= m.在rtabe中，be=aecot；在rtace中，ce=aecot2.bc=be-c