一次不定方程的解法.doc

一次不定方程的解法我们现在就这个问题，先给出一个定理定理 如果是互质的正整数，是整数，且方程 有一组整数解则此方程的一切整数解可以表示为其中证 因为是方程的整数解，当然满足 因此这表明，也是方程的解设是方程的任一整数解，则有 得 由于，所以，即，其中是整数将代入，即得因此可以表示成，的形式，所以，表示方程的一切整数解，命题得证有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解.例1 求的整数解解法1 将方程变形得因为是整数，所以应是的倍数由观察得是这个方程的一组整数解，所以方程的解为 解法2 先考察，通过观察易得，所以，可取，从而 可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式例2 求方程的非负整数解解 因为，所以方程两边同除以得 由观察知，是方程 的一组整数解，从而方程的一组整数解为由定理，可得方程的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有 由于是整数，由得，所以只有两种可能当；当所以原方程的非负整数解是 ，例3 求方程的所有正整数解分析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解解 用方程 的最小系数7除方程的各项，并移项得 因为是整数，故也是整数，于是化简得到 令（整数），由此得 由观察知是方程的一组解将代入得，再将代入得于是方程有一组解，所以它的一切解为 由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得只能取因此得原方程的正整数解为 ，当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明例4 求方程的整数解解为用和表示，我们把上述辗转相除过程回代，得 由此可知是方程的一组整数解于是，是方程的一组整数解所以原方程的一切整数解为 例5 某国硬币有分和分两种，问用这两种硬币支付分货款，有多少种不同的方法？解 设需枚分，枚分恰好支付分，于是 所以由于，所以，并且由上式知因为，所以，从而，所以的非负整数解为 ， ， ，所以，共有4种不同的支付方式说明 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程例6 求方程的整数解解 设，即，于是于是原方程可化为 用前面的方法可以求得的解为 （是整数） 的解为 （是整数） 消去，得 （都是整数）大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的张丘建算经里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例例7 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只用个钱买只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解 设公鸡、母鸡、小鸡各买只，由题意列方程组 化简得 得即，解得于是的一个特解为由定理知的所有整数解为 由题意知，所以 解得 由于是整数，故只能取，而且还应满足26