高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式导学案 苏教版必修4.doc

1.2.3 三角函数的诱导公式课堂导学三点剖析1.三角函数的诱导公式【例1】求下列各三角函数值.(1)sin();(2)cos();(3)tan(-855).思路分析：直接运用诱导公式进行变形求值即可.解：(1)sin()=-sin=-sin(2+)=-sin=-sin(+)=sin=.(2)cos=cos(4+)=cos=cos()=-cos=.(3)tan(-855)=-tan855=-tan(2360+135)=-tan135=-tan(180-45)=tan45=1.温馨提示 对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数，若化了以后的正角大于360,再利用诱导公式一，化为0360间的角的三角函数，若这时是90360间的角，再利用180+或180-或360-的诱导公式化为090间的角的三角函数.【例2】化简：(kz).思路分析：将k分为奇数和偶数，再利用诱导公式.解法1：当k=2n,nz时，原式=cos(k+)+cos(k-)=cos(2n+)+cos(2n-)=cos(+)+cos(+)=2cos(+).当k=2n+1，nz时，原式=cos(2n+1)+cos(2n+1)-=cos(+)+cos(-)=-cos(+)-cos(+)=-2cos(+).解法2：(k+)+(k-)=2k,cos(k-)=cos2k-（k+）=cos(k+).原式2cos（k-）=温馨提示 观察每组诱导公式的等号两边的角度，不难发现，这两个角度的和或差是一个轴线角，即为k，kz的形式.于是诱导公式的一个重要的功能是：如果两个角的和或差是轴线角k，kz的话，利用诱导公式总可以把它们变成同角函数来处理.2.关于直线y=x对称的点的性质与（）的诱导公式【例3】证明sin（-）=-sin,cos（-）=cos,tan(-)=-tan.思路分析：利用三角函数定义解析问题.证明：设任意角的终边与单位圆的交点坐标为p1（x,y），由于角-的终边与角的终边关于x轴对称，角-的终边与单位圆的交点p2与点p1，关于x轴对称，因此点p2的坐标是（x,-y），由三角函数的定义得sin=y,cos=x,tan=;sin(-)=-y,cos(-)=x,tan(-)=-;从而得sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan.温馨提示 学习过程中，充分理解本节的宗旨，突出数形结合思想.3.诱导公式应用时符号的确定【例4】 已知sin（3+）=,求的值.解析：sin(3+)=,sin=-.原式=18.温馨提示 应用公式时，名称是否变化一般能观察明白，而函数符号的判断要注意，易出错.各个击破类题演练1求下列各三角函数值.(1)sin();(2)cos(-945).解：（1）解法1：sin()=-sin16=-sin(4+)=-sin=-sin+=sin=.解法2：sin()=sin(-6+)=sin=sin(-)=sin=.(2)cos(-945)=cos945=cos（2360+225）=cos225=cos(180+45)=-cos45=.变式提升1计算：（1）cos+cos+cos+cos;(2)tan10+tan170+sin1 866-sin(-606).解：(1)原式=(cos+cos)+(cos+cos)=cos+cos(-)+cos+cos(-)=(cos-cos)+(cos-cos)=0.(2)原式=tan10+tan(180-10)+sin1 866-sin(-606)=tan10+sin(5360+66)-sin（-2）360+114=tan10-tan 10+sin66-sin66=0.类题演练2化简：(nz).思路分析：考查诱导公式的应用，关键在于去掉“n”.解：原式=变式提升2(1)已知tan(-)=2,求的值.思路分析：首先求出tan,其次将所求式子“弦化切”化简.解：由tan(-)=2得tan=-2.则原式=.(2)已知：cos(-2)=m,求cos(2+)的值.思路分析：根据（-2）与（2+）是互补的角，适当选择诱导公式计算.解：（-2）+(2+)=,cos(2+)=cos-(-2)=-cos(-2)=-m.类题演练3求证sin（-）=sin,cos（-）=-cos,tan(-)=-tan.证明：设任意角的终边与单位圆的交点坐标为p1（x,y），由于角（-）的终边与角的终边关于y轴对称，角（-）的终边与角的终边关于x轴对称，角（-）的终边与单位圆的交点p2与点p1关于y轴对称，因此点p2的坐标是（-x,y），由三角函数的定义得：sin=y,cos=x,tan=;sin(-)=y,cos(-)=-x,tan(-)=- ;从而得sin(-)=sin,cos(-)=-cos,tan(-)=-tan.变式提升3求证：sin(-)=cos,cos(-)=sin.证明：设任意角的终边与单位圆的交点p1的坐标为（x,y）.由于角-的终边与角的终边关于直线y=x对称，角-的终边与单位圆的交点p2与点p1关于直线y=x对称，因此点p2的坐标是（y,x）.于是我们有：cos=x,sin=y;cos(-)=y,sin(-)=x.从而得sin（-）=cos,cos(-)=sin.类题演练4在abc中，sin（a+b+c）；sin（a+b）+sinc；cos（a+b）+cosc；tantan;tan(a+b)-tanc,其中表示常数的有_.解析：sin(a+b+c)=sin=0.sin(a+b)+sinc=sin(-c)+sinc=2sinc.cos(a+b)+cosc=cos(-c)+cosc=-cosc+cosc=0.tantan=tan(90-)tan=cottan=1.tan(a+b)-tanc=tan(-c)-tanc=-tanc-tanc=-2tanc.故应填.答案