高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数互动课堂学案 新人教A版必修4.doc

1.2.1 任意角的三角函数互动课堂疏导引导 1.任意角三角函数的定义设p(a,b)是角的终边与单位圆的交点,由p向x轴引垂线,垂足为m.根据锐角三角函数的定义得sin=b,cos=a,tan=. 同样的道理 ,我们也可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.如图1-2-2,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点p(x,y),那么图1-2-2(1)y叫做的正弦,记作sin,即sin=y.(2)x叫做的余弦,记作cos,即cos=x.(3)叫做的正切,记作tan,即tan=.2.三角函数线 设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x轴的交点分别为a(1,0)、a(-1,0),与y轴的交点分别为b(0,1)、b(0,-1).设角的顶点在圆心o,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点p(如图1-2-3(a),过点p作pm垂直于x轴于m,则点m是点p在x轴上的正射影(简称射影),由三角函数的定义可知点p的坐标为(cos,sin),即p(cos,sin). 其中cos=om,sin=mp.这就是说角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.又设单位圆在点a的切线与的终边或其反向延长线相交于点t(t)(图1-2-3(b),则tan=at(at). 我们把轴上向量、()叫做的余弦线、正弦线、正切线.图1-2-33.三角函数在各象限的符号由三角函数的定义以及各象限内的点的坐标的符号,可以确定三角函数的符号.sin=y,于是sin的符号与y的符号相同,即当是第一、二象限的角时,sin0;当是第三、四象限的角时,sin0.cos=x,于是cos的符号与x的符号相同,即当是第一、四象限角时,cos0;当是第二、三象限的角时,cos0.tan=,当x与y同号时,它们的比值为正,当x与y异号时,它们的比值为负,即当是第一、三象限角时,tan0;当是第二、四象限角时,tan0. 规律总结:记忆三角函数值在各象限的符号的方法很多,下面介绍一种利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.上述口诀表示,第一象限全是正值,第二象限正弦是正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值.4.公式一 由三角函数的定义可知,终边相同的角的同一三角函数值相等,由此得一组公式.(公式一)sin(+k2)=sincos(+k2)=costan(+k2)=tankz.利用公式一,可以把求任意角的三角函数值转化为求0到2角的三角函数值.活学巧用1.已知角的终边经过点p(3a,-4a)(a0),求sin,cos,tan.解析：x=3a,y=-4a,r=5|a|(a0).(1)当a0时,r=5a,是第四象限角.sin=cos=,tan=.(2)当a0时,r=-5a,是第二象限角,sin=,cos=,tan=.答案：sin=,cos=,tan=.2.在单位圆中画出适合下列条件的角终边的范围,并由此写出角的集合.(1)sin;(2)cos-.解析：作出满足sin=,cos=-的角的终边,然后根据已知条件确定出角终边的范围.(1)作直线y=交单位圆于a、b两点,连结oa、ob,则oa与ob围成的区域(如图1-2-4阴影部分)即为角的终边的范围,故满足条件的角的集合为|2k+2k+,kz.(2)作直线x=-交单位圆于c、d两点,连结oc与od,则oc与od围成的区域(如图1-2-5阴影部分)即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为|2k+2k+,kz. 图1-2-4 图1-2-53.确定下列三角函数值的符号.(1)cos250;(2)sin(-);(3)tan(-672);(4)tan.解析：(1)250是第三象限角,cos2500.(2)-是第四象限角,sin(-)0.(3)-672=-2360+48,而48是第一象限角,-672是第一象限角.tan(-672)0.(4)=2+,而是第四象限角,是第四象限角.tan0.答案：(1)-;(2)-;(3)+;(4)-.4.若sincos0,则在( )a.第一、二象限 b.第一、三象限c.第一、四象限 d.第二、四象限解析：由sincos0可知sin与cos同号,若sin0,cos0,则在第一象限;若sin0,cos0,则在第三象限.在第一、三象限.答案：b5.确定下列三角函数值的符号.(1)cos;(2)sin(-760);(3)tan.解析：(1)cos=cos(+4)=cos,而是第一象限角,