高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用导学案 新人教A版必修4.doc

1.6三角函数模型的简单应用1能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律；2能根据实际问题的意义，利用三角函数模型解决有关问题，为决策提供依据1函数yasin(x)b(a0，0)的图象与性质(1)图象的画法：“五点法”和变换法(2)定义域：_.(3)值域：_.当x_(kz)时，y取最大值ab；当x_(kz)时，y取最小值ab.(4)周期：t_.(5)奇偶性：当且仅当k(kz)时，函数yasin(x)是_函数；当且仅当k(kz)时，函数yasin(x)是_函数(6)单调性：单调递增区间是(kz)；单调递减区间是(kz)(7)对称性：函数图象与_轴的交点是对称中心，即对称中心是，对称轴与函数图象的交点的_坐标是函数的最值，即对称轴是直线x，其中kz.(8)对于函数yasin(x)(a0，0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距_个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的_【做一做11】 y7sin的周期与最大值分别是()a12，7 b12，7 c12,7 d12，7【做一做12】 函数f(x)sin的一条对称轴方程为()ax bxcx dx【做一做13】 f(x)asin(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是_2三角函数模型的应用(1)三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着重要作用实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算器或计算机(2)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题(3)建立三角函数模型的步骤如下：【做一做2】 某地一天从614时的温度变化满足y10sin20，t6,14，则最高气温和最低气温分别是()a10，10 b20，20 c30,20 d30,10答案：1(2)rab，ab(4)(5)奇偶(6)(7)x纵(8)半四分之一【做一做11】 c【做一做12】 b【做一做13】 f(x)2sin由图象得a2，周期t42，则2，解得.则有f(x)2sin(x)，函数图象经过点，则f2，即22sin，则sin1，又|，则.【做一做2】 d由6t14，得t，则sin1,1，可得ymin102010，ymax102030.解三角函数应用题的步骤剖析：(1)审清题意，读懂题三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言并用，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题(2)搜集整理数据，建立数学模型根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式(3)讨论变量关系根据上一步中建立起来的变量关系，结合题目的要求，与已知数学模型的性质对照，转化为讨论yasin(x)b的性质，从而得到所求问题的理论参考值(4)作出结论根据上一步得出的理论参考数值按题目要求作出相应的结论题型一 在生活中的应用【例1】 如图，某动物种群数量12月1日低至700,6月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化(1)求出种群数量作为月份t的函数表达式；(2)估计当年3月1日动物的种群数量分析：(1)根据曲线求出函数表达式；(2)由表达式求出当年3月1日即t3时对应的函数值反思：在生活中，呈周期变化的现象，常用三角函数yasin(x)b来描述，通过讨论其图象和性质来解决实际问题题型二 在物理中的应用【例2】 交流电的电压e(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用e220sin来表示求：(1)开始时的电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间分析：(1)开始时的电压即t0时电压e的值；(2)电压值每周期重复出现一次；(3)电压的最大值可由关系式求出反思：由于物理学中的单摆、光波、机械波、电流等都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此借助于三角函数模型来研究物理学中的相关知识是解答此类问题的关键答案：【例1】 解：(1)设种群数量y关于t的解析式为yasin(x)b(a0，0)，则解得a100，b800，又周期t2(60)12，.则有y100sin800.又当t6时，y900，900100sin800，sin()1，sin 1，取.y100sin800.(2)当t3时，y100sin800800，即当年3月1日种群数量约是800.【例2】 解：(1)当t0时，e220sin110(伏)，即开始时的电压为110伏(2)t秒，即电压值重复出现一次的时间间隔为0.02秒(3)电压的最大值为220伏，令100t，解得t.即t秒时第一次取得这个最大值1如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置o的距离s cm和时间t s的函数解析式为s，那么单摆来回摆动一次所需的时间为_s.2如图表示电流i与时间t的关系iasin(t)(a0，0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为()aibicidi3如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要_s往复一次4据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f(x)asin(x)b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f(x)_.5如图所示，摩天轮的半径为40 m，o点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上的p点的起始位置在最低点处(1)试确定在时刻t min时p点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间p点距离地面超过70 m?答案：11单摆来回摆动一次所用的时间为一个周期，即t1(s)2c由图象得周期t，最大值为300，经过点，则100，a300，i300sin(100t)0.0，取.i.30.8由图象知周期t0.800.8，则这个简谐运动需要0.8 s往复一次4由题意得解得a2，b6.周期t2(