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第四章几类常见的地图投影 测绘学院乔俊军制作 第四章几类常见的地图投影 4 1圆锥投影 4 2方位投影 4 3圆柱投影 4 4伪圆锥投影 伪圆柱投影 伪方位投影和多圆锥投影 4 1圆锥投影 一 圆锥投影的一般公式及其分类二 等角圆锥投影三 等面积圆锥投影四 等距离圆锥投影五 圆锥投影变形分析及应用 一 圆锥投影的一般公式及其分类1 圆锥投影的定义假设一个圆锥面与地球面相切或相割 根据某种条件 等角 等面积 透视等 将地球上的经纬线投影到圆锥面上 然后沿圆锥面的一条母线 经线 切开展平 即得到圆锥投影 4 1圆锥投影 ConicProjection 4 1圆锥投影 2 圆锥投影的分类 1 按圆锥面与地球面的切割关系分 切圆锥投影 割圆锥投影 2 按圆锥面和地球面的位置关系分 正轴圆锥投影 横轴圆锥投影 斜轴圆锥投影 3 按投影的变形性质分 等角圆锥投影 等积圆锥投影 任意圆锥投影 4 1圆锥投影 3 圆锥投影的一般公式以正轴圆锥投影为例纬线投影后为同心圆圆弧 其半径 是纬度 的函数 函数形式由投影性质和投影条件决定 经线投影后为相交于一点的直线束 且夹角 与经差 成正比 以某一经线的投影为X轴 以X轴和最南边纬线 s的交点为原点 建立平面直角坐标系 4 1圆锥投影 设平面梯形A B C D 是地球面上微分梯形ABCD的投影 根据经纬线长度比定义有 在正轴圆锥投影中 经纬线投影后仍保持互相垂直 所以经纬线方向就是主方向 即 4 1圆锥投影 m a n b 根据面积比和角度变形定义有 现将圆锥投影的一般公式汇集如下 在这组公式中 由于 的函数形式未定 函数式中还有待定的圆锥系数 需要根据投影条件进一步确定 4 1圆锥投影 二 等角圆锥投影 LambertConformalConicProjection 根据等角条件 0 即m n 来确定 f 的函数形式 4 1圆锥投影 4 1圆锥投影 现将等角圆锥投影的一般公式汇集如下 在这组公式中 仍然有常数 和K需要确定 但由于确定的方法比较多 所以各种不同形式的等角圆锥投影也比较多 4 1圆锥投影 1 单标准纬线等角圆锥投影设圆锥面切于地球 0的一条纬线上 即n0 1 则 4 1圆锥投影 2 双标准纬线等角圆锥投影设圆锥面割于地球 1 2的两条纬线上 即n1 n2 1 相减得 4 1圆锥投影 3 应用举例 百万分一地图等角圆锥投影1962年国际制图会议规定 1 100万地图按国际标准分幅 采用双标准纬线等角圆锥投影 自赤道起按纬差4 分带 对每带单独进行投影 北纬84 以北和南纬80 以南的地区 则采用等角方位投影 双标准纬线规定如下 投影常数按下式计算 4 1圆锥投影 自1978年以后 我国1 100万地图采用等角圆锥投影 分幅与国际分幅一致 但标准纬线与国际上稍有差异 并规定根据边纬与中纬长度变形绝对值相等的条件确定投影常数 即 4 1圆锥投影 对于纬差4 为一带的圆锥投影来说 2之值为9 10 8 它对投影计算和实用精度 都没有什么影响 故可略去 两条标准纬线的近似式为 4 1圆锥投影 三 等面积圆锥投影 AlbersEquivalentConicProjection 根据等面积条件P 1 即mn 1 来确定 f 的函数形式 为经差1弧度 纬差从0 到纬度 的椭球面上的梯形面积 4 1圆锥投影 现将等面积圆锥投影的一般公式汇集如下 在这组公式中 仍然有常数 和c需要确定 但由于确定的方法比较多 所以各种不同形式的等面积圆锥投影也较多 4 1圆锥投影 1 单标准纬线等面积圆锥投影设圆锥面切于地球 0的一条纬线上 即n0 1 则 4 1圆锥投影 2 双标准纬线等面积圆锥投影设圆锥面割于地球 1 2的两条纬线上 即n1 n2 1 相减得 相除得 4 1圆锥投影 四 等距离圆锥投影根据等距离条件 即m 1 来确定 f 的函数形式 s为赤道到某纬度 的经线弧长 4 1圆锥投影 现将等距离圆锥投影的一般公式汇集如下 在这组公式中 仍然有常数 和c需要确定 但由于确定的方法比较多 所以各种不同形式的等距离圆锥投影也较多 4 1圆锥投影 1 单标准纬线等距离圆锥投影设圆锥面切于地球 0的一条纬线上 即n0 1 则 4 1圆锥投影 2 双标准纬线等距离圆锥投影设圆锥面割于地球 1 2的两条纬线上 即n1 n2 1 相减得 相除得 4 1圆锥投影 五 圆锥投影变形分析及应用1 由切割关系决定的变形特点 1 圆锥投影的各种变形均是纬度 的函数 与经度 无关 同一纬线上的变形是相同的 2 在切圆锥投影中 标准纬线上的长度比n0 1 其余纬线上长度比均大于1 并向南 北方向增大 3 在割圆锥投影中 在双标准纬线处的长度比n1 n2 1 变形自标准纬线向内 向外增大 在双标准纬线之间 n1 4 1圆锥投影 2 由投影性质决定的变形特点 1 等角圆锥投影 经线长度比与纬线长度比相等 m n 角度没有变形 但面积变形较大 P m2 2 等面积圆锥投影 经线长度比与纬线长度比互为倒数 mn 1 面积没有变形 但角度变形较大 3 等距离圆锥投影 变形介于等角投影与等面积投影之间 经线长度比保持为1 m 1 纬线长度比与面积比相等 n P 4 1圆锥投影 3 圆锥投影的应用地球上广大陆地位于中纬度地区 并且圆锥投影经纬线形状简单 最适于制作中纬度沿东西方向延伸的地图 1 等角圆锥投影 多用于方向保持正确的图种 如我国的百万分一地形图 中国全图 分省地图等 2 等面积圆锥投影 多用于面积比保持正确的图种 如分布图 类型图 区划图等自然资源图与社会经济图 3 等距离圆锥投影 多用于各种变形要求适中的图种 如原苏联出版的 苏联全图 采用此投影 4 1圆锥投影 4 标准纬线的选择 1 如果制图区域纬差不大 可采用单标准纬线圆锥投影 单标准纬线的选择非常简单 只需要制图区域南北边纬线的纬度 S N取中数 并凑整即可 2 如果制图区域纬差较大 应采用双标准纬线圆锥投影 双标准纬线的选择可以使用下列近似公式求得 应用该式推求标准纬线 基本符合边纬与中纬长度变形绝对值相等的条件 4 1圆锥投影 4 2方位投影 一 方位投影的一般公式及其分类二 等角方位投影三 等面积方位投影四 等距离方位投影五 透视方位投影六 方位投影变形分析与应用 一 方位投影的一般公式及其分类1 方位投影的定义假设一个平面与地球面相切或相割 根据某种条件 如等角 等面积 透视等 将地球上的经纬线投影到该平面上 即得到方位投影 4 2方位投影 AzimuthalProjection 4 2方位投影 2 方位投影的分类 1 按平面与地球面的切割关系分 切方位投影 割方位投影 2 按平面和地球面的位置关系分 正轴方位投影 横轴方位投影 斜轴方位投影 3 按投影的变形性质分 等角方位投影 等积方位投影 任意方位投影 4 2方位投影 4 按投影的透视关系分 外心透视方位投影 正射透视方位投影 球心透视方位投影 内心透视方位投影 球面透视方位投影 4 2方位投影 3 方位投影的一般公式以正轴方位投影为例纬线投影后为同心圆 其半径 是纬度 的函数 函数形式由投影性质和投影条件决定 经线投影后为同心圆的直径 两经线间的夹角 与相应经差 相等 为了扩大方位投影的应用 我们引进球面极坐标的概念 通过地理坐标与球面极坐标的换算 仍然利用正轴方位投影的公式 可以很方便地实现斜轴和横轴投影的计算以及经纬网的构成 4 2方位投影 为了计算方便 我们视球体为正球体 这样我们便可以采用由球面三角推导出的地理坐标 与球面极坐标 Z 之间的转换公式 假定新极点坐标 0 0 计算斜轴或横轴方位投影时 可分别采用以下两组公式计算球面极坐标 正轴和横轴都是斜轴的特例 斜轴 横轴 4 2方位投影 投影平面与地球面的位置关系如图所示 以Q为极点的等高圈和垂直圈分别代替纬圈和经圈 这时过A点等高圈的天顶距Z相当于90 过A点垂直圈的方位角 相当于 有 以通过Q 点的经线的投影作X轴 过Q 点与经线投影相垂直的直线作为Y轴 则平面直角坐标公式为 4 2方位投影 设平面梯形A B C D 是地球面上微分梯形ABCD的投影 根据垂直圈和等高圈长度比的定义 有 主方向 即 1 a 2 b 根据面积比和角度变形定义有 由于本投影的垂直圈和等高圈投影后仍保持互相垂直 所以垂直圈和等高圈方向就是 4 2方位投影 现将方位投影的一般公式汇集如下 在这组公式中 由于 的函数形式未定 需要根据投影条件进一步确定 4 2方位投影 二 等角方位投影根据等角条件 0 即 1 2 来确定 f Z 的函数形式 在该公式中 仍然有常数K需要确定 下面我们讨论确定常数K的方法 4 2方位投影 为了确定常数K 我们设投影平面割于地球Zk的一条等高圈上 即 2K 1 有 4 2方位投影 现将等角割方位投影的公式汇集如下 4 2方位投影 当ZK 0时 即得到等角切方位投影的公式 对于正轴情况下 只需要用 代替 用90 代替Z 即得到正轴等角方位投影公式 4 2方位投影 三 等面积方位投影根据等面积条件P 1 即 1 2 1 来确定 f Z 的函数形式 4 2方位投影 现将等面积方位投影的公式汇集如下 对于正轴情况下 只需要用 代替 用90 代替Z 即得到正轴等面积方位投影公式 4 2方位投影 四 等距离方位投影根据等距离条件 即 1 1 来确定 f Z 的函数形式 4 2方位投影 现将等距离方位投影的公式汇集如下 对于正轴情况下 只需要用 代替 用90 代替Z 即得到正轴等距离方位投影公式 4 2方位投影 五 透视方位投影透视方位投影是用透视原理来确定 f Z 的函数形式 如图所示 4 2方位投影 现将透视方位投影的公式汇集如下 在这组公式中 由于视点D的位置还没有设定 需要根据视点D的位置进一步确定透视关系 4 2方位投影 根据视点与球心的相对距离D 透视方位投影可分为 1 当D 时 正射投影 2 当R D 时 外心投影 3 当D R时 球面投影 4 当0 D R时 内心投影 5 当D 0时 球心投影 4 2方位投影 根据投影面与地球的相对位置 0 0 透视方位投影可分为 1 当 0 90 时 正轴投影 2 当 0 0 时 横轴投影 3 当0 0 90 时 斜轴投影 4 2方位投影 六 方位投影变形分析与应用1 由切割关系决定的变形特点 方位投影的各种变形均是天顶距Z的函数 与方位角 无关 同一等高圈上的变形是相同的 在切方位投影中 切点Q上没有变形 其变形随着远离Q点而增大 在割方位投影中 所割的等高圈上 2 1 其他变形自所割等高圈向内 向外增大 4 2方位投影 2 由投影性质决定的变形特点 等角方位投影 垂直圈长度比与等高圈长度比相等 1 2 角度没有变形 但面积变形较大 P 12 等面积方位投影 等高圈长度比与垂直圈长度比互为倒数 1 2 1 面积没有变形 但角度变形较大 等距离方位投影 变形介于等角投影与等面积投影之间 垂直圈长度比保持为1 1 1 等高圈长度比与面积比相等 2 P 4 2方位投影 3 方位投影的应用方位投影应用广泛 特别是在编制 航海图 航空图 和 世界地图集 中多有应用 就制图区域形状而言 适宜于具有圆形轮廓的地区 就制图区域地理位置而言 两极地区 正轴投影 赤道地区 横轴投影 其它地区 斜轴投影 4 2方位投影 4 3圆柱投影 一 圆柱投影的一般公式及分类二 等角圆柱投影三 高斯 克吕格投影四 通用横轴墨卡托投影五 等面积圆柱投影六 等距离圆柱投影七 圆柱投影变形分析与应用 一 圆柱投影的一般公式及分类1 圆柱投影的定义假设一个圆柱面与地球面相切或相割 根据某种条件 如等角 等面积 透视等 将地球上的经纬线投影到圆柱面上 然后沿圆柱面的一条母线 经线 切开展平 即得到圆柱投影 4 3圆柱投影 CylindricalProjection 4 3圆柱投影 2 圆柱投影的分类 1 按圆柱面与地球面的切割关系分 切圆柱投影 割圆柱投影 2 按圆柱面和地球面的位置关系分 正轴圆柱投影 横轴圆柱投影 斜轴圆柱投影 3 按投影的变形性质分 等角圆柱投影 等积圆柱投影 任意圆柱投影 4 3圆柱投影 3 圆柱投影的一般公式以正轴圆柱投影为例纬线投影后为平行直线 其间距x是纬度 的函数 函数形式由投影性质和投影条件决定 经线投影后也为平行直线 且与纬线正交 各经线的间距y与相应经差 成正比 以某一经线的投影作X轴 以赤道的投影作Y轴 则平面直角坐标公式为 4 3圆柱投影 设平面矩形A B C D 是地球面上微分梯形ABCD的投影 根据经纬线长度比定义 有 在正轴圆柱投影中 经纬线投影后仍保持互相垂直 所以经纬线方向就是主方向 即m a n b 根据面积比和角度变形定义 有 4 3圆柱投影 现将圆柱投影的一般公式汇集如下 在这组公式中 由于x的函数形式未定 y中还有待定系数 需要根据投影条件进一步确定 4 3圆柱投影 二 等角圆柱投影根据等角条件 0 即m n 来确定x f 的函数形式 4 3圆柱投影 公式中仍有常数 需要确定 4 3圆柱投影 常数 需要根据圆柱面与地球面的切割关系来确定 在割圆柱投影中 圆柱面割于赤道南北两条同名纬线 K上 则 当 K 0 0 时 圆柱面切于赤道上 割圆柱投影变为切圆柱投影 则 ac是地球椭球体的长半径 4 3圆柱投影 现将等角圆柱投影的一般公式汇集如下 当 K 0 时 圆柱面切于赤道上 这时 ac ac是地球椭球体的长半径 4 3圆柱投影 4 3圆柱投影 等角圆柱投影 荷兰地图学家墨卡托 MercatorGerardus1512 1594 于1569年创建 故又名墨卡托投影 它不仅保持了方向和相对位置的正确 而且使等角航线在图上表现为直线 这一特性对航海具有重要的实用价值 等角航线 是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线 在地球表面上除经纬线以外 等角航线都是以极点为渐近点的螺旋曲线 大圆航线 是地球表面上通过两点间的大圆弧线 即两点间的最短距离线 4 3圆柱投影 三 高斯 克吕格投影1 高斯 克吕格投影 等角横切椭圆柱投影 的定义是以椭圆柱为投影面 使地球椭球体的某一经线与椭圆柱相切 然后按等角条件 将中央经线两侧各一定范围内的经纬线投影到椭圆柱面上 再将其展成平面而得 该投影由德国数学家 天文学家高斯 C F Gauss 1777 1855 及大地测量学家克吕格 J Kr ger 1857 1923 共同创建 4 3圆柱投影 2 高斯 克吕格投影的三个条件 1 中央经线和赤道投影后为互相垂直的直线 且为投影的对称轴 2 投影具有等角性质 3 中央经线投影后保持长度不变 3 高斯 克吕格投影的直角坐标公式长度比公式和子午线收敛角公式 略 4 3圆柱投影 这是高斯 克吕格投影6 带内长度变形表 4 3圆柱投影 4 高斯 克吕格投影变形规律 1 除中央经线上长度比m0 1以外 其它任何点上长度比均大于1 2 在同一条纬线上 离中央经线越远 则变形越大 最大值位于投影带的边缘 3 在同一条经线上 纬度越低 变形越大 最大值位于赤道上 4 本投影属于等角性质 故没有角度变形 面积比为长度比的平方 4 3圆柱投影 我国基本比例尺地形图1 2 5万 1 5万 1 10万 1 25万 1 50万均采用6 分带的高斯 克吕格投影 1 5千 1 1万地形图则采用3 分带的高斯 克吕格投影 为保证精度 高斯 克吕格投影采用6 或3 分带投影方法 4 3圆柱投影 为了保证我国范围内的高斯 克吕格投影y坐标均为正值 规定将每带的纵坐标轴向西平移500公里 yA 245863 7myB 168474 8m yA通 20745863 7myB通 20331525 2m 4 3圆柱投影 四 通用横轴墨卡托投影1 通用横轴墨卡托投影 UniversalTransverseMercator 简称UTM投影 的定义其实质是等角横割圆柱投影 它是以圆柱为投影面 使圆柱割于地球椭球体的两条等高圈上 然后按等角条件 将中央经线两侧各一定范围内的经纬线投影到圆柱面上 再将其展成平面而得 4 3圆柱投影 2 UTM投影的直角坐标公式可根据高斯 克吕格投影公式 0 9996得到 3 UTM投影的变形特点 1 中央经线和赤道投影后为互相垂直的直线 且为投影的对称轴 2 无角度变形 中央经线长度比为0 9996 距中央经线约 180km处的两条割线上无变形 长度变形 0 04 3 亦采用6 或3 分带投影的方法 4 3圆柱投影 4 UTM投影与高斯 克吕格投影的区别 1 中央经线长度比不同 UTM投影是0 9996 而高斯 克吕格投影是1 2 带的划分相同 而带号的起算不同 3 对于中 低纬度地区 UTM投影的变形优于高斯 克吕格投影 4 西方国家 美 英 德 法 多采用UTM投影作为国家基本地形图投影 东方国家 中 苏 蒙 朝 多采用高斯 克吕格投影作为国家基本地形图投影 4 3圆柱投影 五 等面积圆柱投影根据等面积条件P 1 即mn 1 来确定 f 的函数形式 在该公式中 仍然有常数 需要确定 下面我们讨论确定常数 的方法 4 3圆柱投影 常数 需要根据圆柱面与地球面的切割关系来确定 在割圆柱投影中 圆柱面割于赤道南北两条同名纬线 K上 则 当 K 0 0 时 圆柱面切于赤道上 割圆柱投影变为切圆柱投影 则 ac是地球椭球体的长半径 4 3圆柱投影 现将等面积圆柱投影的一般公式汇集如下 当 K 0 时 圆柱面切于赤道上 这时 ac ac是地球椭球体的长半径 4 3圆柱投影 4 3圆柱投影 六 等距离圆柱投影根据等距离条件 即m 1 来确定 f 的函数形式 在该公式中 仍然有常数 需要确定 下面我们讨论确定常数 的方法 4 3圆柱投影 常数 需要根据圆柱面与地球面的切割关系来确定 在割圆柱投影中 圆柱面割于赤道南北两条同名纬线 K上 则 当 K 0 0 时 圆柱面切于赤道上 割圆柱投影变为切圆柱投影 则 ac是地球椭球体的长半径 4 3圆柱投影 现将等距离圆柱投影的一般公式汇集如下 当 K 0 时 圆柱面切于赤道上 这时 ac ac是地球椭球体的长半径 4 3圆柱投影 4 3圆柱投影 七 圆柱投影变形分析与应用1 由切割关系决定的变形特点 圆柱投影的各种变形均是纬度 的函数 与经度 无关 同一纬线上的变形是相同的 在切圆柱投影中 标准纬线上的长度比n0 1 其余纬线上长度比均大于1 并向南 北方向增大 在割圆柱投影中 在双标准纬线处的长度比n1 n2 1 变形自标准纬线向内 向外增大 在双标准纬线之间 n1 4 3圆柱投影 2 由投影性质决定的变形特点 等角圆柱投影 由于经线长度比与纬线长度比相等 m n 角度没有变形 但面积变形较大 P m2 等面积圆柱投影 由于经线长度比与纬线长度比互为倒数 mn 1 面积没有变形 但角度变形较大 等距离圆柱投影 变形介于等角投影与等面积投影之间 经线长度比保持为1 m 1 纬线长度比与面积比相等 n P 4 3圆柱投影 3 圆柱投影的应用圆柱投影应用广泛 适宜于低纬度沿纬线方向伸展的地区 并且可以表示经度大于3600的范围 特别是在编制 航海图 航空图 世界时区图 和 世界地图集 中多有应用 4 3圆柱投影 圆锥投影 方位投影 圆柱投影之间的关系 为圆锥系数 由于圆锥展开后成为扇形 顶角 不足360 而地球极点处的 360 所以0 1 当 1时 圆锥顶角 达到360 伸展成平面 则成为方位投影 当 0时 圆锥顶角伸向无穷远 则成为圆柱投影 因此可以说 方位投影和圆柱投影是圆锥投影的特例 4 3圆柱投影 4 4伪圆锥投影 伪圆柱投影 伪方位投影和多圆锥投影 一 伪圆锥投影二 伪圆柱投影三 伪方位投影四 多圆锥投影 一 伪圆锥投影1 伪圆锥投影的定义该投影的纬线投影为同心圆弧 中央经线投影为通过各纬线共同圆心的直线 其他经线投影为对称于中央经线的曲线 4 4伪圆锥投影 伪圆柱投影 伪方位投影和多圆锥投影 2 伪圆锥投影的一般公式 根据伪圆锥投影的定义 由于伪圆锥投影的经 纬线不正交 所以不可能有等角投影 而只能有等面积和任意投影 4 4伪圆锥投影 伪圆柱投影 伪方位投影和多圆锥投影 3 彭纳投影在伪圆锥投影中 最著名的是彭纳投影 它是法国水利工程师彭纳 Bonne1727 1795 于1752年为制作法国地图而创建的 4 4伪圆锥投影 伪圆柱投影 伪方位投影和多圆锥投影 4 彭纳投影的条件 1 中央经线投影为直线 并保持长度无变形 即m0 1 其他经线为对称于中央经线的曲线 2 纬线投影为同心圆圆弧 且保持长度无变形 即n 1 3 中央经线与所有纬线正交 而中间纬线 切纬线 则与所有经线正交 4 面积比P 1 5 彭纳投影的一般公式 4 4伪圆锥投影 伪圆柱投影 伪方位投影和多圆锥投影 二 伪圆柱投影1 伪圆柱投影的定义该投影的纬线投影为相互平行的直线 中央经线投影为垂直于各纬线的直线 其他经线投影后成为对称于中央经线的曲线 由于伪圆柱投影的经 纬线不正交 所以不可能有等角投影 而只能有等面积和任意投影 在具体应用中 以等面积性质居多 4 4伪圆锥投影 伪圆柱投影 伪方位投影和多圆锥投影 2 伪圆柱投影的一般公式 4 4伪圆锥投影 伪圆柱投影 伪方位投影和多圆锥投影 1 桑逊 Sanson Flamsteed 投影经线为正弦曲线的等面积伪圆柱投影 纬线为间隔相等的平行直线 每条纬线上经线间隔相等 由法国桑逊于1650年设计 投影特点 P 1无面积变形n 1纬线长度比等于1m0 1中央经线长度比等于1m 1经线长度比大于1 4 4伪圆锥投影 伪圆柱投影 伪方位投影和多圆锥投影 2 爱凯特 Eckert 投影经线为正弦曲线 极点投影成极线的等面积伪圆柱投影 纬线是平行于赤道的一组平行直线 每条纬线上经线间隔相等 由爱凯特于1906年在桑逊投影的基础上改进完成 投影特点 P 1无面积变形 m 1经线长度比大于1 4 4伪圆锥投影 伪圆柱投影 伪方位投影和多圆锥投影 3 摩尔威特 Mollweide 投影经线为椭圆曲线的等积伪圆柱投影 纬线是平行于赤道的一组平行直线 每条纬线上经线间隔相等 离中央经线经差为 90 的经线投影后全成一个圆 其面积等于地球面积的一半 由德国摩尔威特于1805年设计 投影特点 P 1无面积变形S90 Searth 2赤道长度 中央经线 2 4 4伪圆锥投