高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示命题与探究 新人教A版必修1.doc

1.2 函数及其表示典题精讲例1:判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.(1)y=x-1,xr与y=x-1,xn;(2)y=与y= ;(3)y=1+与u=1+;(4)y=x2与y=x;(5)y=2|x|与y=思路分析:此题的考查目的在于强化函数是三要素构成的整体,且三要素中值域是由定义域和对应法则共同确定的,判断时可以只考虑定义域和对应法则是否相同.解:(1)不同,因为它们的定义域不同.前者的定义域是全体实数,后者的定义域是全体自然数.(2)不同,前者的定义域是x|x2或x-2,后者的定义域是x|x2.(3)相同,定义域均为非零实数,对应法则都是自变量取倒数后加1.(4)不相同,定义域是相同的,但对应法则不同,值域不同,前者的值域是y|y2,后者的值域是y|yr .(5)相同,将y=2|x|利用绝对值定义去掉绝对值,结果就是y=2例2:如果f()=,则f(x)=_.思路解析:函数解析式y=f(x)是自变量x确定y值的关系式,本题实质是求经怎样的变形得到这一结果.方法一:f()=,f(x)=(xr且x0,x1).方法二:设t=,则x=,代入f()=,得f(t)=,f(x)= (xr且x0,x1).答案: 例3:作出下列函数的图象:(1)y=1-x,xz;(2)y=2x2-4x-3(0x3);(3)y=|x-1|+|3-x|;(4)y=|x2-4x+3|.思路分析:(1)这个函数的图象是由一些点组成的,这些点都在直线y=1-x上.xz,yz,这些点称为整点.(如图1-2-2)(2)0x3,这个函数的图象是抛物线y=2x2-4x-3介于0x0,对应法则是“求平方”;(3)a=xr |x0,b=r,对应法则是“求平方根”;(4)a=平面内的圆,b=平面内的矩形,对应法则是“作圆的内接矩形”.思路分析:只有(1)是映射,因为a中的任何一个元素,在b中都能找到唯一的元素与之对应.(2)不是从集合a到集合b的映射.因为a中的元素0,在集合b中没有象.(3)不是从集合a到集合b的映射.因为任何正数的平方根都有两个值,即集合a中的任何元素,在集合b中都有两个元素与之对应,象不唯一.(4)不是从集合a到集合b的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合a中任何一个元素在集合b中有无穷多个元素与之对应,象不唯一.答案:(1)是;(2)不是;(3)不是;(4)不是.例5:如图1-2-7所示,在梯形abcd中,ab=10,cd=6,ad=bc=4,动点p从b点开始沿着折线bc、cd、da前进至a,若p点运动的路程为x,pab的面积为y.图1-2-7(1)写出y=f(x)的解析式,并求出函数的定义域;(2)画出函数的图象并求出函数的值域.思路分析:首先通过画草图可以发现,p点运动到不同的位置,y的求法是不同的(如图1-2-8的阴影部分所示).图1-2-8 可以看出上述三个阴影三角形的底是相同的,它们的面积由其高来定,所以只要由运动里程x来求出各段的高即可.解:(1)分类讨论:当p在bc上运动时,易知b=60,则知y=10xsin60=x,0x4.当p点在cd上运动时,y=102=10,4x10.当p在da上运动时,y=10(14-x)sin60=-x+35,10x14.综上所述,函数的关系式为y=f(x)= (2)f(x)的图象如图1-2-11所示.图1-2-11由图象可知y的取值范围是0y10.这表明函数f(x)的值域为0,10.例6:纵观历史,中国电信业的发展主要是在20世纪的后20年,尤其是90年代至今真正实现了电信的“起飞”.中国电话网规模从1995年的第4位提升为目前的第2位,进入世界前列.目前,中国的电话用户,特别是移动电话还在加速增长,截止到2001年9月,中国的电话用户达到3.03亿户,其中固定电话1.72亿户,移动电话达到1.31亿户.在2001年前9个月里,移动电话用户平均每个月新增500多万户,中国移动电话用户的总规模已超过美国,排世界第一位.中国每百人电话机普及率在80年代和90年代的年均增长率分别达到9%和30%左右.到2001年9月,全国电话普及率达到24.4%,移动电话普及率达到9.2%.中国电信业的起飞,为中国的经济发展和社会进步奠定了一个良好的基础. 中国网通为了配合客户的不同需要,设有a、b两种优惠方案,这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图1-2-13所示(mncd).图1-2-13(1)若通话时间为2小时,按方案a、b各付话费多少元？(2)方案b从500分钟以后,每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内,方案b才会比方案a优惠？思路分析:这是一个生活中的实际问题,分段算出每个方案的话费与通话时间之间的函数关系,然后求出每个函数的函数值即可.解:设方案a与方案b中应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的函数关系分别为y=和由图知又所以,方案a与方案b中应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的函数关系分别为y=与y=(1)若x=120